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第二章圖形變換 計算機圖形學的基礎理論知識 第一節(jié)矩陣及其運算一 矩陣的基本概念 說明 1 m n個數(shù)排成行列的數(shù)表叫做m n階矩陣 當m n時 又叫做n階方陣 矩陣 是一組元素所排成的數(shù)表 例如 2 矩陣與行列式是兩個不同的概念 n階行列式是一個數(shù) 而n階矩陣不是一個數(shù) 而是n個數(shù)排列的數(shù)表 二 矩陣的運算1 加法和減法 運算條件 兩個矩陣的行和列都相同 運算原則 每對對應元素實行加法或減法 如 二 矩陣的運算2 乘法 運算規(guī)則 矩陣A中的第i行元素與矩陣B中的第j列對應元素乘積之和就是矩陣C中第i行第j列元素 運算條件 第一個矩陣的列數(shù)必須等于第二個矩陣的行數(shù) 乘法方可進行 矩陣乘法實例 一個m n階矩陣乘以一個n q階矩陣產(chǎn)生一個m q階矩陣 矩陣乘法規(guī)則 適應結合律 A BC AB C適應分配律 A B C AB AC A B C AC BC交換律不成立 AB BA在進行級聯(lián) 矩陣連乘 時 特別注意矩陣的前后次序 第二節(jié)二維圖形的矩陣變換 二維空間 平面 的一個點P 可以用它的坐標 X Y 來表示 也可以用一個的矩陣 XY 來表示 點由某一位置 X Y 變換到另一個位置 如右圖所示 可以利用矩陣乘法來實現(xiàn) 即 變換矩陣 矩陣 稱為變換矩陣 變換后 點的新坐標取決于A B C D的值 二維圖形變換程序 畫一個的矩形 鍵入不同的A B C D值 觀看其對圖形的影響 頭文件 intmain void requestautodetection intgdriver DETECT gmode errorcode inti xmax ymax floatA B C D floatpx 10 py 10 x 10 y 10 initializegraphicsandlocalvariables initgraph include include include include 主程序入口 變量 數(shù)組定義 繪圖初始化 二維圖形變換程序 續(xù) printf A B C D scanf f f f f readresultofinitialization errorcode graphresult anerroroccurred if errorcode grOk printf Graphicserror s n grapherrormsg errorcode printf Pressanykeytohalt getch exit 1 對繪圖初始化的結果進行判別 如有錯誤 則退出 讀入A B C D 對矩形的四個角點進行賦值 二維圖形變換程序 續(xù) i 1 do x i A px i C py i y i B px i D py i x i 1 A px i 1 C py i 1 y i 1 B px i 1 D py i 1 獲得屏幕的最大象素點的x y的坐標 畫出屏幕的四邊框 對前面賦值的矩形進行圖形變換 setcolor getmaxcolor xmax getmaxx ymax getmaxy drawadiagonalline line 0 0 0 ymax line 0 ymax xmax ymax line xmax ymax xmax 0 line xmax 0 0 0 二維圖形變換程序 續(xù) 設置繪圖的顏色 cleanup getch closegraph return0 繪原矩形 繪變換后的矩形 關閉繪圖方式 setcolor 5 line 160 px i 300 py i 160 px i 1 300 py i 1 setcolor 11 line 160 x i 300 y i 160 x i 1 300 y i 1 i while i 5 一 恒等變換 若想使圖形按原位置 原大小顯示出來 則應A D 1 B C 0 變換矩陣為 顯然 新坐標與舊坐標相等 點的位置在變化前后沒發(fā)生變動 所以此時變換矩陣T稱為恒等變換矩陣 這種變換即為恒等變換 二 比例變換 要對一個圖形進行放大或縮小 可通過比例變換來實現(xiàn) 使B C 0 則比例變換矩陣為 A為X方向的比例因子 D為Y方向的比例因子 例 A 1 B 0 C 0 D 2所顯示的圖形 三 反射變換 變換前后的圖形對稱于X軸或Y軸 或對稱于某一特定的直線 如45 線 45 線 或某一特定的點 如原點 1 對Y軸的反射 變換矩形為 右圖為A 1 B 0 C 0 D 1時所顯示的對Y軸反射的圖形 2 對X軸的反射 變換矩形為 右圖為A 1 B 0 C 0 D 1時所顯示的對X軸反射的圖形 3 對45 軸的反射 變換矩形為 右圖為A 0 B 1 C 1 D 0時所顯示的對45 線反射的圖形 4 對 45 軸的反射 變換矩形為 右圖為A 0 B 1 C 1 D 0時所顯示的對 45 線反射的圖形 5 對原點的反射 變換矩形為 變換結果是對原點的反射 右圖是A 1 B 0 C 0 D 1時所顯示的圖形 四 錯切變換1 沿X方向的錯切 變換矩形為 錯切結果如右圖所示 在圖中 CY 沿X正負方向的錯切 若C 0 圖形沿X軸正方向錯切 如圖13 10所示 若C 0 圖形沿X軸負方向錯切 如圖13 11所示 2 沿Y方向的錯切 變換矩形為 若B 0 圖形沿Y軸正方向錯切 如圖13 12所示 若B 0 圖形沿Y軸負方向錯切 如圖13 13所示 五 旋轉變換 平面圖形的旋轉 是指圖形繞坐標原點旋轉一個 角度 此時變換矩形為 注意 這個旋轉矩陣是特指圖形繞原點 0 0 旋轉的變換矩陣 并且規(guī)定逆時針方向旋轉時 旋轉角 取正值 反之 按順時針方向旋轉時 旋轉角 取負值 旋轉變換實例 將程序稍作修改 用ZJ表示旋轉角 將數(shù)據(jù)輸入改為 printf ZJ scanf f A COS ZJ B SIN ZJ C B D A輸入旋轉角ZJ 即可按要求畫出圖形了 六 平移變換及齊次坐標 平移變換是二維變換中最基本的一種 但是 一般的矩陣不能完成平移變換 原因是平移為 一般矩陣的任何積都不能找到上述關系 在此引入一個附加坐標 使 平移變換矩陣 平移變換矩陣為 M為沿X方向的平移量 N為沿Y方向的平移量 二維圖形的變換矩陣 前面所講的幾種變換 都可以表示為 用3 3階矩陣 表示包括平移在內(nèi)的各種線性變換了 齊次坐標 用三維向量表示二維向量或者說用n 1維向量表示一個n維向量的方法 稱為齊次坐標表示法 一般地把稱為點的齊次坐標 其中H為任意實數(shù) 當H 1時 就是點的正常化 或標準化 的齊次坐標 例 齊次坐標 正?；R次坐標為 它表示二維空間點 點的齊次坐標并不是唯一的 例如 2 5 的齊次坐標可認為是 4 10 2 20 50 10 2 1 5 25 1 05 或者 2 5 1 等等 2 5 1 就是點的正?；R次坐標 二維變換圖形的性質 前面所講比例 反射 錯切 旋轉 平移等變換都具有仿射變換的性質 即變換前后的圖形之間仍保持 1 從屬性 變換前一直線上的每一點在變換后的直線上都有一確定的對應點 2 同屬性 變換前的點或直線 變換后仍是一個點或直線 即點對應點 直線對應直線 3 平行性 兩平行直線經(jīng)過變換后仍保持平行 4 定比性 變換前兩線段之比等于變換后對應之比 第三節(jié)組合變換 很多變換是不能用上述的某個矩陣進行單一的變換來實現(xiàn)的 而要用幾個變換組合起來方可完成 這種變換稱為組合變換或級聯(lián)變換 一 平面圖形繞任意點旋轉的變換 1 將旋轉中心點P m n 移到原點 原圖形隨之一起平移 這可用一個平移矩陣來實現(xiàn) 平移量X方向為 m Y方向為 n 一般情況下圖形繞平面上任意點P m n 的旋轉 可按下述步驟進行 2 繞原點旋轉所需要的轉角 這用一個旋轉矩陣來實現(xiàn) 3 將旋轉后的圖形再移回原位置 這用一個平移矩陣來實現(xiàn) 平移量為m n 三個變換矩陣T1 T2 T3的級聯(lián) 就是平面圖形繞任意點旋轉的變換矩陣T 平面圖形繞任意點旋轉的變換 平面圖形繞任意點旋轉的變換矩陣T 這樣只要知道了旋轉中心的坐標 m n 和旋轉角 即可進行圖形變換 平面圖形繞任意點旋轉的變換實例 例使三角形A 6 4 B 9 4 C 6 6 繞點P 5 3 旋轉60 求變換后的圖形 二 平面圖形以任意點為中心的比例變換 我們前面所講的比例變換 是專指以原點為中心的比例變換 如果以任意點為中心進行比例變換 圖形不僅大小或形狀發(fā)生了變化 而且其位置也隨比例發(fā)生了變化 以任意點P m n 為中心的比例變換則較好地解決了定位問題 以任意點為中心的比例組合變換步驟 1 將比例中心P m n 即變換后的不動點 平移到原點 圖形隨之一同平移 這可以用一個平移矩陣來實現(xiàn) 平移量X方向為 m Y方向為 n 2 將平移后的圖形按要求的比例進行縮放變換