三角函數(shù)性質(zhì)——定義域、值域講解

三角函數(shù)定義域和值域一、求定義域例1.求下列函數(shù)的定義域：（1） (2)（3） （4） （5） (6) 解：（1） (2) （3）（4） 即，故函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?） 即故函數(shù)的定義域?yàn)?6) 函數(shù)的定義域?yàn)?(*) 的解集，由于y=tanx的最小正周期為，y=sinx的最小正周期為2，所以原函數(shù)的周期為2，應(yīng)結(jié)合三角函數(shù)y=tanx和y=sinx的圖象先求出(， )上滿足（*）的x的范圍，再據(jù)周期性易得所求定義域?yàn)閤2kx2k+ ，或2k+ x2k+ ，kZ 總結(jié)：在確定三角函數(shù)的定義域時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、 正、余弦函數(shù)的定義域是R，正切函數(shù)的定義域是;2、 若函數(shù)是分式函數(shù)，則分母不能為零；3、 若函數(shù)是偶次根式函數(shù)，則被被開方式非負(fù)；4、 若函數(shù)是形如的函數(shù)，則定義域由確定；5、 若函數(shù)是有多個(gè)函數(shù)通過四則運(yùn)算而構(gòu)成，則函數(shù)定義域應(yīng)是各部分定義域的交集。二、求值域、最值1、 型：當(dāng)時(shí)， ； 當(dāng)時(shí) 例1、若函數(shù)的最大值是1，最小值是，求a,b2、型： 利用公式，可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角函數(shù)的情形。3、型：這是關(guān)于的二次齊次式，通過正余弦的降冪公式以及正弦的倍角公式，可轉(zhuǎn)化為的形式。例1、求函數(shù)的最大值和最小值。答案：例2、求函數(shù)的最大值和最小值。答案：4、型：此類型可化為在區(qū)間上的最值問題。例1、求函數(shù)（）的最值解：函數(shù)的最大值為，最小值為。例2、求函數(shù)的最小值。解： ，若，則當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，。練習(xí)：函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則的值是 （ D ）A0B C D 5、型：利用換元法，設(shè), ，則,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù).例1、 求函數(shù)的最大值分析 若有 可以令： 解：設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，有最大值為（換元法）求函數(shù)的最大值和最小值，并指出當(dāng)x分別為何值時(shí)取到最大值和最小值。解：定義域?yàn)?x1，可設(shè)且，即當(dāng)或，即 =0或（此時(shí)x=1或x=0），y=1；當(dāng)，即時(shí)，（此時(shí)），當(dāng)x=0或x=1時(shí)，y有最小值1；當(dāng)時(shí)，y有最大值。評(píng)析：利用三角換元法求解此類問題時(shí)，要注意所設(shè)角的取值范圍，要同原函數(shù)定義域相一致，盡量恰到好處。6、型： 可以分離常數(shù)，利用正弦函數(shù)的有界性。例1 求函數(shù)的值域。解法一：由變形為，知，則有，則此函數(shù)的值域是。解法二：，利用來解。練習(xí)：1、求函數(shù)的值域 2、函數(shù)的定義域?yàn)閍，b，值域?yàn)?，則b-a的最大值和最小值之和為 bA B C D7、型：此類型最值問題可考慮如下幾種解法： 轉(zhuǎn)化為再利用輔助角公式求其最值； 采用數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為斜率問題）求最值； 也可利用導(dǎo)數(shù)。例1、求函數(shù)的值域。解法1：將函數(shù)變形為，由，解得：， 故值域是解法2：數(shù)形結(jié)合法求原函數(shù)的值域等價(jià)于求單位圓上的點(diǎn)P(cosx, sinx)與定點(diǎn)Q(2, 0)所確定的直線的斜率的范圍。作出如圖得圖象，當(dāng)過Q點(diǎn)的直線與單位圓相切時(shí)得斜率便是函數(shù)得最值，由幾何知識(shí)，易求得過Q的兩切線得斜率分別為、。結(jié)合圖形可知，此函數(shù)的值域是。練習(xí)：求函數(shù)的最值。解：由于 y/2即為單位圓上的點(diǎn)(cos，sin)與定點(diǎn)(3，1)連線