必修四2.4.平面向量的數(shù)量積(教案).doc

學習資料收集于網(wǎng)絡，僅供參考 2.4 平面向量的數(shù)量積教案 A第1課時教學目標 一、知識與技能1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運算律；3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；二、過程與方法本節(jié)學習的關鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識三、情感、態(tài)度與價值觀通過問題的解決，培養(yǎng)學生觀察問題、分析問題和解決問題的實際操作能力；培養(yǎng)學生的交流意識、合作精神；培養(yǎng)學生敘述表達自己解題思路和探索問題的能力教學重點、難點教學重點：平面向量數(shù)量積的定義教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應用.教學關鍵：平面向量數(shù)量積的定義的理解教學方法本節(jié)學習的關鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識 學習方法通過類比物理中功的定義，來推導數(shù)量積的運算教學準備教師準備: 多媒體、尺規(guī).學生準備: 練習本、尺規(guī).教學過程一、創(chuàng)設情境，導入新課在物理課中，我們學過功的概念，即如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W可由下式計算： W=| F | | s | cos， 其中是F與s的夾角我們知道力和位移都是向量，而功是一個標量（數(shù)量） 故從力所做的功出發(fā)，我們就順其自然地引入向量數(shù)量積的概念二、主題探究，合作交流提出問題ab的運算結果是向量還是數(shù)量？它的名稱是什么？由所學知識可以知道，任何一種運算都有其相應的運算律，數(shù)量積是一種向量的乘法運算，它是否滿足實數(shù)的乘法運算律？ 師生活動:已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作ab，即ab=|a|b|cos（0）其中是a與b的夾角，|a|cos（|b|cos）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影在教師與學生一起探究的活動中，應特別點撥引導學生注意:（1）兩個非零向量的數(shù)量積是個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積；（2）零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即a0=0；（3）符號“”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替；（4）當00，從而ab0；當時，cos0，從而ab0，則ABC是銳角三角形；在ABC中，若0，則ABC為鈍角三角形；ABC為直角三角形的充要條件是=0；ABC為斜三角形的充要條件是0其中為真命題的是（ ）A B C D3設|a|=8，e為單位向量，a與e的夾角為60，則a在e方向上的投影為（ ）A4 B4 C42 D8+4設a、b、c是任意的非零平面向量，且它們相互不共線，有下列四個命題:（ab）c-（ca）b=0； |a|-|b| Bm Dm3若a=（cos，sin），b=（cos，sin），則（ ）Aab Bab C（a+b）（a-b） D（a+b）（a-b）4與a=（u，v）垂直的單位向量是（ ）A（） B（）C（） D（）或（）5已知向量a=（cos23，cos67），b=（cos68，cos22），u=a+tb（tR），求u的模的最小值6已知a，b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角7已知ABC的三個頂點為A（1，1），B（3，1），C（4，5），求ABC的面積參考答案：1C 2D 3C 4D5|a|=1，同理有|b|=1又ab=cos23cos68+cos67cos22=cos23cos68+sin23sin68=cos45=，|u|2=（a+tb）2=a2+2tab+t2b2=t2+t+1=（t+）2+當t=時，|u|min=6由已知（a+3b）（7a-5b）（a+3b）（7a-5b）=07a2+16ab-15b2=0又 （a-4b）（7a-2b）（a-4b）（7a-2b）=07a2-30ab+8b2=0 -得46ab=23b2，即ab=將代入，可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，即|a|2=|b|2，有|a|=|b|，若記a與b的夾角為，則cos=又0，180，=60，即a與b的夾角為607分析：SABC=|sinBAC，而|，|易求，要求sinBAC可先求出cosBAC解：=（2，0），=（3，4），|=2，|=5，cosBAC=sinBAC=SABC=|sinBAC=25=4教案 B第一課時教學目標一、知識與技能1. 了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2. 體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運算律，并能運用性質(zhì)和運算律進行相關的判斷和運算二、過程與方法體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力三、情感、態(tài)度與價值觀通過自主學習、主動參與、積極探究，學生能感受數(shù)學問題探究的樂趣和成功的喜悅，增加學習數(shù)學的自信心和積極性，并養(yǎng)成良好的思維習慣教學重點平面向量數(shù)量積的定義，用平面向量的數(shù)量積表示向量的模、夾角教學難點平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解，平面向量數(shù)量積的應用教 具多媒體、實物投影儀內(nèi)容分析本節(jié)學習的關鍵是啟發(fā)學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導學生推導數(shù)量積的運算律，然后通過概念辨析題加深學生對于平面向量數(shù)量積的認識主要知識點：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的3個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算律教學流程概念引入概念獲得簡單運用運算律探究理解掌握反思提高教學設想：一、情境設置：問題1：回憶一下物理中“功”的計算，功的大小與哪些量有關？結合向量的學習你有什么想法？力做的功：W = |cosq，q是與的夾角（引導學生認識功這個物理量所涉及的物理量，從“向量相乘”的角度進行分析）二、新課講解1平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫a與b的數(shù)量積，記作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）并規(guī)定：0與任何向量的數(shù)量積為0問題2：定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關系？運算結果還是向量嗎？（引導學生認清向量數(shù)量積運算定義中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，運算結果是數(shù)量）注意：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab；今后要學到兩個向量的外積ab，而ab是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分符號“ ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替（3）在實數(shù)中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因為其中cosq有可能為0（4）已知實數(shù)a、b、c（b0），則ab=bc a=c但是在向量的數(shù)量積中，ab = bc 推導不出a = c .如下圖：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc ，但a c. （5）在實數(shù)中，有（ab）c = a（bc），但是在向量中，（ab）c a（bc） 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線（ “投影”的概念）：作圖2定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影投影也是一個數(shù)量，不是向量；當q為銳角時投影為正值；當q為鈍角時投影為負值；當q為直角時投影為0；當q = 0時投影為 |b|；當q = 180時投影為 -|b|3向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積例1 已知平面上三點A、B、C滿足|=2，|=1，|=，求+的值. 解:由已知,|2+|2=|2，所以ABC是直角三角形.而且ACB=90,從而sinABC=，sinBAC=.ABC=60，BAC=30.與的夾角為120，與的夾角為90，與的夾角為150.故+=21cos120+1cos90+2cos150=-4. 點評:確定兩個向量的夾角,應先平移向量,使它們的起點相同,再考察其角的大小,而不是簡單地看成兩條線段的夾角,如例題中與的夾角是120,而不是60.探究1：非零向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它何時為正，何時為0 ，何時為負？當0 90時ab為正；當 =90時ab為零；90 180時ab為負.探究2：兩個向量的夾角決定了它們數(shù)量積的符號，那么它們共線或垂直時，數(shù)量積有什么特殊性呢？4兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設a、b為兩個非零向量（1）ab ab = 0（2）當a與b同向時，ab = |a|b|；當a與b反向時，ab = -|a|b| 特別的aa = |a|2或（3） |ab| |a|b|公式變形：cosq =探究3：對一種運算自然會涉及運算律，回憶過去研究過的運算律，向量的數(shù)量積應有怎樣的運算律？（引導學生類比得出運算律，老師作補充說明）向量a、b、c 和實數(shù)，有 （1） a b= b a （2）（a） b= （a b ）= a（b） （3）（a +b） c = a c+ b c（進一步）你能證明向量數(shù)量積的運算律嗎？（引導學生證明（1）、（2）例2 判斷正誤：a00；0a；0-；aa；若a0，則對任一非零有a；a，則a與中至少有一個為0；對任意向量a，都有（a）（）；a與是兩個單位向量，則a上述8個命題中只有正確；例3 已知a，當a，a，a與的夾角是60時，分別求a解：當a時，若a與同向，則它們的夾角，aacos036118；若a與反向，則它們的夾角180，aacos18036（-1）-18；當a時，它們的夾角90，a；當a與的夾角是60時，有aacos60369評述：兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關，其范圍是0，180，因此，當a時，有0或180兩種可能評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律三、課堂練習1已知|a|=1，|b|=，且（a-b）與a垂直，則a與b的夾角是（ ）A60 B30 C135 D2已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A2 B2 C6 D123已知a、b是非零向量，若|a|=|b|則（a+b）與（a-b） .4已知向量a、b的夾角為，|a|=2，|b|=1，則|a+b|a-b|= 5已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么ab= 6已知|a|=1，|b|=，（1）若ab，求ab；（2）若a、b的夾角為45，求|a+b|；（3）若a-b與a垂直，求a與b的夾角參考答案:1D 2B 3垂直4 5-3 6. 解：（1）若a、b方向相同，則ab=；若a、b方向相反，則ab=；（2）|a+b|=（3）45四、知識小結（1）通過本節(jié)課的學習，你學到了哪些知識？（2）關于向量的數(shù)量積，你還有什么問題？五、課后作業(yè)教材第108頁習題24 A組 1、2、3、6、7教學后記數(shù)學課堂教學應當是數(shù)學知識的形成過程和方法的教學，數(shù)學活動是以學生為主體的活動，沒有學生積極參與的課堂教學是失敗的本節(jié)課教學設計按照“問題討論解決”的模式進行，并以學生為主體，教師以課堂教學的引導者、評價者、組織者和參與者同學生一起探索平面向量數(shù)量積定義、性質(zhì)和運算律的形成與發(fā)展過程始終做到以“學生為主體、教師為主導、思維為主攻、訓練為主線”第2課時教學目標 一、知識與技能掌握平面向量的數(shù)量積坐標運算及應用二、過程與方法1.通過平面向量數(shù)量積的坐標運算，體會向量的代數(shù)性和幾何性.2.從具體應用體會向量數(shù)量積的作用三、情感、態(tài)度與價值觀學會對待不同問題用不同的方法分析的態(tài)度 .教學重點、難點教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示.教學難點：平面向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用.教 具多媒體、實物投影儀.教學設想一、復習引入向量的坐標表示，為我們解決有關向量的加、減、數(shù)乘運算帶來了極大的方便上一節(jié)，我們學習了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標表示，對平面向量的數(shù)量積的表示方式又會帶來哪些變化呢？由此直接進入主題二、探究新知： 平面兩向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量，試用和的坐標表示設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那么，所以又，所以這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和即2 平面內(nèi)兩點間的距離公式（1）設，則或如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么（平面內(nèi)兩點間的距離公式）（2）向量垂直的判定設，則（3）兩非零向量夾角的余弦（） cosq =三、例題講解例1 已知a = （3， -1），b = （1， 2），求滿足xa = 9與xb = -4的向量x解：設x = （t， s）， 由 . x = （2，-3）.例2 已知a（，），b（，-），則a與b的夾角是多少？ 分析：為求a與b夾角，需先求ab及ab，再結合夾角的范圍確定其值解：由a（，），b（，-）.有ab（-），a，b記a與b的夾角為，則.又，.評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應注重角的范圍的確定例3 如圖，以原點和A（5， 2）為頂點作等腰直角OAB，使B = 90，求點B和向量的坐標解：設B點坐標（x， y），則= （x， y），= （x-5， y-2）. x（x-5） + y（y-2） = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0.又| = | x2 + y2