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高考專(zhuān)題突破四 高考中的不等式問(wèn)題試題 理 北師大版1正三棱柱ABCA1B1C1中,D為BC中點(diǎn),E為A1C1中點(diǎn),則DE與平面A1B1BA的位置關(guān)系為()A相交 B平行C垂直相交 D不確定答案B解析如圖取B1C1中點(diǎn)為F,連接EF,DF,DE,則EFA1B1,DFB1B,平面EFD平面A1B1BA,DE平面A1B1BA.2設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面,對(duì)下列四種情形:x、y、z均為直線;x、y是直線,z是平面;z是直線,x、y是平面;x、y、z均為平面其中使“xz且yzxy”為真命題的是()A BC D答案C解析由正方體模型可知為假命題;由線面垂直的性質(zhì)定理可知為真命題3(2016成都模擬)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖(左視圖中的弧線是半圓),則該幾何體的表面積是()A203 B243C204 D244答案A解析根據(jù)幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個(gè)正方體和一個(gè)半圓柱的組合體,其中正方體的棱長(zhǎng)為2,半圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2,故該幾何體的表面積為4522203.4(2016沈陽(yáng)模擬)設(shè),是三個(gè)平面,a,b是兩條不同直線,有下列三個(gè)條件:a,b;a,b;b,a.如果命題“a,b,且_,則ab”為真命題,則可以在橫線處填入的條件是_(把所有正確的序號(hào)填上)答案或解析由線面平行的性質(zhì)定理可知,正確;當(dāng)b,a時(shí),a和b在同一平面內(nèi),且沒(méi)有公共點(diǎn),所以平行,正確故應(yīng)填入的條件為或.5.如圖,在三棱錐PABC中,D,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn)若PAAC,PA6,BC8,DF5.則直線PA與平面DEF的位置關(guān)系是_;平面BDE與平面ABC的位置關(guān)系是_(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析因?yàn)镈,E分別為棱PC,AC的中點(diǎn),所以DEPA.又因?yàn)镻A 平面DEF,DE平面DEF,所以直線PA平面DEF.因?yàn)镈,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點(diǎn),PA6,BC8,所以DEPA,DEPA3,EFBC4.又因?yàn)镈F5,故DF2DE2EF2,所以DEF90,即DEEF.又PAAC,DEPA,所以DEAC.因?yàn)锳CEFE,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE平面ABC,又DE平面BDE,所以平面BDE平面ABC.題型一求空間幾何體的表面積與體積例1(2016全國(guó)甲卷)如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AECF,EF交BD于點(diǎn)H,將DEF沿EF折到DEF的位置(1)證明:ACHD;(2)若AB5,AC6,AE,OD2,求五棱錐DABCFE的體積(1)證明由已知得ACBD,ADCD,又由AECF得,故ACEF,由此得EFHD,折后EF與HD保持垂直關(guān)系,即EFHD,所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5,AC6得DOBO4,所以O(shè)H1,DHDH3,于是OD2OH2(2)2129DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHDH,所以AC平面DHD,于是ACOD,又由ODOH,ACOHO,所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.五邊形ABCFE的面積S683.所以五棱錐DABCFE的體積V2思維升華(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體,則可直接利用公式進(jìn)行求解其中,等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體積(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體,則將不規(guī)則的幾何體通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體,再利用公式求解(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解正三棱錐的高為1,底面邊長(zhǎng)為2,內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切(如圖)求:(1)這個(gè)正三棱錐的表面積;(2)這個(gè)正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積解(1)底面正三角形中心到一邊的距離為2,則正棱錐側(cè)面的斜高為.S側(cè)329.S表S側(cè)S底9(2)296.(2)設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球球心為O,連接OP,OA,OB,OC,而O點(diǎn)到三棱錐的四個(gè)面的距離都為球的半徑r.VPABCVOPABVOPBCVOPACVOABCS側(cè)rSABCrS表r(32)r.又VPABC(2)212,(32)r2,得r2.S內(nèi)切球4(2)2(4016).V內(nèi)切球(2)3(922).題型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系例2(2016濟(jì)南模擬)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,ABBC,AA1AC2,BC1,E,F(xiàn)分別是A1C1,BC的中點(diǎn)(1)求證:平面ABE平面B1BCC1;(2)求證:C1F平面ABE;(3)求三棱錐EABC的體積(1)證明在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1底面ABC.因?yàn)锳B平面ABC,所以BB1AB.又因?yàn)锳BBC,BCBB1B,所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.(2)證明方法一如圖1,取AB中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G.因?yàn)镋,F(xiàn)分別是A1C1,BC的中點(diǎn),所以FGAC,且FGAC.因?yàn)锳CA1C1,且ACA1C1,所以FGEC1,且FGEC1,所以四邊形FGEC1為平行四邊形,所以C1FEG.又因?yàn)镋G平面ABE,C1F 平面ABE,所以C1F平面ABE.方法二如圖2,取AC的中點(diǎn)H,連接C1H,F(xiàn)H.因?yàn)镠,F(xiàn)分別是AC,BC的中點(diǎn),所以HFAB,又因?yàn)镋,H分別是A1C1,AC的中點(diǎn),所以EC1綊AH,所以四邊形EAHC1為平行四邊形,所以C1HAE,又C1HHFH,AEABA,所以平面ABE平面C1HF,又C1F平面C1HF,所以C1F平面ABE.(3)解因?yàn)锳A1AC2,BC1,ABBC,所以AB.所以三棱錐EABC的體積VSABCAA112.思維升華(1)證明面面垂直,將“面面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”問(wèn)題,再將“線面垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”問(wèn)題證明C1F平面ABE:()利用判定定理,關(guān)鍵是在平面ABE中找(作)出直線EG,且滿足C1FEG.()利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行,則先要確定一個(gè)平面C1HF滿足面面平行,實(shí)施線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化(2)計(jì)算幾何體的體積時(shí),能直接用公式時(shí),關(guān)鍵是確定幾何體的高,不能直接用公式時(shí),注意進(jìn)行體積的轉(zhuǎn)化如圖,在三棱錐SABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,ASAB.過(guò)A作AFSB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn)求證:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.證明(1)由ASAB,AFSB知F為SB中點(diǎn),則EFAB,F(xiàn)GBC,又EFFGF,ABBCB,因此平面EFG平面ABC.(2)由平面SAB平面SBC,平面SAB平面SBCSB,AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC,則AFBC.又BCAB,AFABA,則BC平面SAB,又SA平面SAB,因此BCSA.題型三平面圖形的翻折問(wèn)題例3(2015陜西)如圖1,在直角梯形 ABCD中,ADBC,BAD,ABBC1,AD2,E是AD的中點(diǎn),O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到A1BE的位置,如圖2.(1)證明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值(1)證明在題圖1中,連接EC,因?yàn)锳BBC1,AD2,BAD,ADBC,E為AD中點(diǎn),所以BC綊ED,BC綊AE,所以四邊形BCDE為平行四邊形,故有CDBE,所以ABCE為正方形,所以BEAC,即在題圖2中,BEOA1,BEOC,且A1OOCO,從而B(niǎo)E平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC為二面角A1BEC的平面角,所以A1OC.如圖,以O(shè)為原點(diǎn),以O(shè)B,OC,OA所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)锳1BA1EBCED1,BCED,所以B,E,A1,C,得,(,0,0),設(shè)平面A1BC的法向量n1(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2(x2,y2,z2),平面A1BC與平面A1CD夾角為,則得取n1(1,1,1);得取n2(0,1,1),從而cos |cosn1,n2|,即平面A1BC與平面A1CD夾角的余弦值為.思維升華平面圖形的翻折問(wèn)題,關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況一般地,翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化,不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化(2016深圳模擬)如圖(1),四邊形ABCD為矩形,PD平面ABCD,AB1,BCPC2,作如圖(2)折疊,折痕EFDC.其中點(diǎn)E,F(xiàn)分別在線段PD,PC上,沿EF折疊后,點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M,并且MFCF.(1)證明:CF平面MDF;(2)求三棱錐MCDE的體積(1)證明因?yàn)镻D平面ABCD,AD平面ABCD,所以PDAD.又因?yàn)锳BCD是矩形,CDAD,PD與CD交于點(diǎn)D,所以AD平面PCD.又CF平面PCD,所以ADCF,即MDCF.又MFCF,MDMFM,所以CF平面MDF.(2)解因?yàn)镻DDC,PC2,CD1,PCD60,所以PD,由(1)知FDCF,在直角三角形DCF中,CFCD.如圖,過(guò)點(diǎn)F作FGCD交CD于點(diǎn)G,得FGFCsin 60,所以DEFG,故MEPE,所以MD .SCDEDEDC1.故VMCDEMDSCDE.題型四立體幾何中的存在性問(wèn)題例4(2016邯鄲第一中學(xué)研究性考試)在直棱柱ABCA1B1C1中,AA1ABAC1,E,F(xiàn)分別是CC1,BC的中點(diǎn),AEA1B1,D為棱A1B1上的點(diǎn)(1)證明:DFAE.(2)是否存在一點(diǎn)D,使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為?若存在,說(shuō)明點(diǎn)D的位置;若不存在,說(shuō)明理由(1)證明AEA1B1,A1B1AB,AEAB.又AA1AB,AA1AEA,AB平面A1ACC1.又AC平面A1ACC1,ABAC.以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則有A(0,0,0),E(0,1,),F(xiàn)(,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1)設(shè)D(x,y,z),且(0,1),即(x,y,z1)(1,0,0),則D(,0,1),(,1)(0,1,),0,DFAE.(2)解結(jié)論:存在一點(diǎn)D,使得平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為.理由如下:由題意知平面ABC的法向量為m(0,0,1)設(shè)平面DEF的法向量為n(x,y,z),則(,),(,1),即令z2(1),則n(3,12,2(1)平面DEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為,|cosm,n|,即,解得或(舍去),存在滿足條件的點(diǎn)D,此時(shí)D為A1B1的中點(diǎn)思維升華(1)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問(wèn)題,首先假設(shè)存在,然后在該假設(shè)條件下,利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證,尋找假設(shè)滿足的條件,若滿足則肯定假設(shè),若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè)(2)對(duì)于探索性問(wèn)題用向量法比較容易入手一般先假設(shè)存在,設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問(wèn)題,若有解且滿足題意則存在,若有解但不滿足題意或無(wú)解則不存在如圖,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)棱A1A底面ABCD,ABDC,ABAD,ADCD1,AA1AB2,E為棱AA1的中點(diǎn)(1)證明:B1C1CE;(2)求二面角B1CEC1的正弦值;(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上,且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為,求線段AM的長(zhǎng)(1)證明如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn),分別以AD,AA1,AB所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0)易得(1,0,1),(1,1,1),于是0,所以B1C1CE.(2)解(1,2,1)設(shè)平面B1CE的法向量m(x,y,z),則即消去x,得y2z0,不妨令z1,可得一個(gè)法向量為m(3,2,1)由(1)知,B1C1CE,又CC1B1C1,CC1CEC,可得B1C1平面CEC1,故(1,0,1)為平面CEC1的一個(gè)法向量于是cosm,從而sinm,所以二面角B1CEC1的正弦值為.(3)解(0,1,0),(1,1,1),設(shè)(,),01,有(,1,)可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量設(shè)為直線AM與平面ADD1A1所成的角,則sin |cos,|,于是,解得(負(fù)值舍去),所以AM.1(2016北京順義區(qū)一模)如圖所示,已知平面平面l,.A,B是直線l上的兩點(diǎn),C,D是平面內(nèi)的兩點(diǎn),且ADl,CBl,DA4,AB6,CB8.P是平面上的一動(dòng)點(diǎn),且有APDBPC,則四棱錐PABCD體積的最大值是()A48 B16 C24 D144答案C解析由題意知,PAD,PBC是直角三角形,又APDBPC,所以PADPBC.因?yàn)镈A4,CB8,所以PB2PA.作PMAB于點(diǎn)M,由題意知,PM.令A(yù)Mt(0t0知EHG是銳角,由EHG30,得tanEHGtan 30,即k.故k的取值范圍為k.9(2016鐵嶺模擬)如圖所示,平面ABDE平面ABC,ABC是等腰直角三角形,ACBC4,四邊形ABDE是直角梯形,BDAE,BDBA,BDAE2,O,M分別為CE,AB的中點(diǎn)(1)求證:OD平面ABC;(2)求直線CD和平面ODM所成角的正弦值;(3)能否在EM上找一點(diǎn)N,使得ON平面ABDE?若能,請(qǐng)指出點(diǎn)N
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