江蘇蘇州第五中學(xué)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第6講不等式的證明課件

第6講不等式的證明 知識(shí)梳理1 基本不等式 1 定理 如果a b R 那么a2 b2 2ab 當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí) 等號(hào)成立 a b 2 三個(gè)正數(shù)的算術(shù) 幾何平均不等式 a b c 不小于 不小于 a1 a2 an 4 證明不等式的方法 1 比較法 求差比較法知道a b a b 0 ab 只要證明即可 這種方法稱為求差比較法 a b 0 2 分析法從所要證明的結(jié)論入手向反推直至達(dá)到已知條件為止 這種證法稱為分析法 即 執(zhí)果索因 的證明方法 3 綜合法從已知條件出發(fā) 利用不等式的性質(zhì) 或已知證明過的不等式 推出所要證明的結(jié)論 即 由因?qū)す?的方法 這種證明不等式的方法稱為綜合法 4 反證法的證明步驟第一步 作出與所證不等式的假設(shè) 第二步 從出發(fā) 應(yīng)用正確的推理方法 推出矛盾的結(jié)論 否定假設(shè) 從而證明原不等式成立 使它成立的充分條件 相反 條件和假設(shè) 5 放縮法所謂放縮法 即要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)?以利于化簡(jiǎn) 并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯 從而得到欲證不等式成立 6 數(shù)學(xué)歸納法設(shè) Pn 是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合 如果 1 證明起始命題P1 或P0 成立 2 在假設(shè)Pk成立的前提下 推出Pk 1也成立 那么可以斷定 Pn 對(duì)一切正整數(shù)成立 放大或縮小 規(guī)律方法分析法是證明不等式的重要方法 當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式 基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系 較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí) 可用分析法來尋找證明途徑 使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆 訓(xùn)練1 已知a b c R 且a b c 1 求證 1 a 1 b 1 c 8 1 a 1 b 1 c 證明 a b c R 且a b c 1 要證原不等式成立 即證 a b c a a b c b a b c c 8 a b c a a b c b a b c c 也就是證 a b c a a b b c c a b c 8 b c c a a b 考點(diǎn)二用綜合法證明不等式 例2 已知實(shí)數(shù)a b c d滿足a b c d 規(guī)律方法證不等式時(shí) 在不等式的兩邊分別作恒等變形 在不等式的兩邊同時(shí)加上 或減去 一個(gè)數(shù)或代數(shù)式 移項(xiàng) 在不等式的兩邊同時(shí)乘以 或除以 一個(gè)正數(shù)或一個(gè)正的代數(shù)式 得到的不等式都和原來的不等式等價(jià) 這些方法 也是利用綜合法和分析法證明不等式時(shí)常常用到的技巧 考點(diǎn)三利用柯西不等式求最值 例3 設(shè)x 2y 3z 3 求4x2 5y2 6z2的最小值 規(guī)律方法柯西不等式的應(yīng)用比較廣泛 常見的有證明不等式 求函數(shù)最值 解方程等 應(yīng)用時(shí) 通過拆常數(shù) 重新排序 添項(xiàng) 改變結(jié)構(gòu)等手段改變題設(shè)條件 以利于應(yīng)用柯西不等式 訓(xùn)練3 2012 鹽城市期末考試 已知a b c為正數(shù) 且a2 b2 c2 14 試求a 2b 3c的最大值 解由柯西不等式 得 a 2b 3c 2 a2 b2 c2 12 22 32 142 當(dāng)且僅當(dāng)a 2b 3c時(shí)等號(hào)成立 所以a 2b 3c 14 即a 2b 3c的最大值為14 答題模板16 利用算術(shù) 幾何平均不等式求最值 反思感悟 1 利用算術(shù) 幾何平均不等式證明不等式或求最值問題 是不等式問題中的一個(gè)重要類型 重點(diǎn)要抓住算術(shù) 幾何平均不等式的結(jié)