高考數學專題五解析幾何第三講圓錐曲線的綜合問題第1課時圓錐曲線的最值、范圍、證明問題限時規(guī)范訓練理.docx

第1課時 圓錐曲線的最值、范圍、證明問題1(2019廣東佛山模擬)已知中心在坐標原點，焦點在x軸上的橢圓M的離心率為，橢圓上異于長軸頂點的任意點A與左、右兩焦點F1，F2構成的三角形中面積的最大值為.(1)求橢圓M的標準方程；(2)若A與C是橢圓M上關于x軸對稱的兩點，連接CF2與橢圓的另一交點為B，求證：直線AB與x軸交于定點P，并求的取值范圍解析：(1)由題意知，2cb，a2b2c2，解得c1，a2，b.所以橢圓M的標準方程是1.(2)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x1，y1)，直線AB：ykxm.將ykxm，代入1得，(4k23)x28kmx4m2120.則x1x2，x1x2.因為B，C，F2共線，所以kBF2kCF2，即，整理得2kx1x2(mk)(x1x2)2m0，所以2k(mk)2m0，解得m4k.所以直線AB：yk(x4)，與x軸交于定點P(4,0)因為y3x，所以(x14，y1)(x11，y1)x5x14yx5x112.因為2x1b0)的左、右焦點分別為點F1，F2，其離心率為，短軸長為2.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點F1的直線l1與橢圓C交于M，N兩點，過點F2的直線l2與橢圓C交于P，Q兩點，且l1l2，證明：四邊形MNPQ不可能是菱形解析：(1)由已知，得，b，又c2a2b2，故解得a24，b23，所以橢圓C的標準方程為1.(2)證明：由(1)，知F1(1，0)，如圖，易知直線MN不能平行于x軸，所以令直線MN的方程為xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立方程得(3m24)y26my90，所以y1y2，y1y2.此時|MN|.同理，令直線PQ的方程為xmy1，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，此時y3y4，y3y4，此時|PQ|，故|MN|PQ|.所以四邊形MNPQ是平行四邊形若平行四邊形MNPQ是菱形，則OMON，即0，于是有x1x2y1y20.又x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)1，所以有(m21)y1y2m(y1y2)10，整理得到0，即12m250，上述關于m的方程顯然沒有實數解，故四邊形MNPQ不可能是菱形3(2019安慶二模)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，且過點(2，)(1)求橢圓C的標準方程；(2)設A、B為橢圓C的左、右頂點，過C的右焦點F作直線l交橢圓于M，N兩點，分別記ABM，ABN的面積為S1，S2，求|S1S2|的最大值解析：(1)根據題意可得：，1，a2b2c2，解得：a28，b2.故橢圓C的標準方程為：1.(2)由(1)知F(2,0)，當直線l的斜率不存在時，S1S2，于是|S1S2|0；當直線l的斜率存在時，設直線l：yk(x2)(k0)，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立得(12k2)x28k2x8k280.x1x2，x1x2，于是|S1S2|4|y1y2|2|k(x1x2)4k|24.當且僅當k時等號成立，此時|S1S2|的最大值為4.綜上，|S1S2|的最大值為4.4(2019朝陽區(qū)模擬)過橢圓W：y21的左焦點F1作直線l1交橢圓于A，B兩點，其中A(0,1)，另一條過F1的直線l2交橢圓于C，D兩點(不與A，B重合)，且D點不與點(0，1)重合過F1作x軸的垂線分別交直線AD，BC于E，G.(1)求B點坐標和直線l1的方程；(2)求證：|EF1|F1G|.解析：(1)由題意可得直線l1的方程為yx1.與橢圓方程聯(lián)立，由可求B.(2)證明：當l2與x軸垂直時，C，D兩點與E，G兩點重合，由橢圓的對稱性，|EF1|F1G|.當l2不與x軸垂直時，設C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程為yk(x1)(k1)由消去y，整理得(2k21)x24k2x2k220.則x1x2，x1x2.由已知，x20，則直線AD的方程為y1x，令x1，得點E的縱坐標yE.把y2k(x21)代入得yE.由已知，x1，則直線BC的方程為y，令x1，得點G的縱坐