層次分析法的基本原理和步驟

第3章層次分析法模型及應用 3 1層次分析法的基本原理和步驟3 2模糊層次分析方法 AHPmodelanditsapplication 一 遞階層次結構建立 1 1 遞階層次結構及組成 二 構造比較判斷矩陣 四 層次總排序 前言 3 1層次分析法的基本原理和步驟 1 背景知識 2 基本思想與建模步驟 1 2 四個注意點 2 1 兩兩比較法 2 2 比較判斷矩陣的四個說明 3 1 單準則下的排序 三 單準則下的排序及一致性檢驗 3 2 一致性的檢驗 4 1 層次總排序的步驟 4 2 總排序一致性檢驗 五 判斷矩陣的調整 六 群組決策 6 1 比較判斷矩陣綜合法 6 2 權重向量綜合排序法 人們在各項日?；顒又?常常會面對一些決策問題 比如 大學畢業(yè)生對職業(yè)的選擇 他們會從專業(yè)對口 發(fā)展?jié)摿?單位的名氣 地點 收入等各方面加以考慮 比較 判斷 然后進行決策 假如有m個單位可供選擇 你會選擇哪一個 前言 隨著人們面對的決策問題越來越復雜 例如 科研成果的評價 綜合國力 地區(qū)綜合實力 比較 各工業(yè)部門對國民經濟貢獻的比較 企業(yè)評估 人才選拔等問題 項目決策者與決策的模型及方法之間的交互作用變得越來越強烈和越來越重要 許多問題由于結構復雜且缺乏必要的數據 很難用數學模型來解決 1 背景知識 由美國運籌學家T L saaty教授在70年代中期提出的層次分析法 AnalyticHierarchyProcess 簡稱AHP 是指將決策問題的有關元素分解成目標 準則 方案等層次 在此基礎上進行定性分析和定量分析的一種決策方法 這一方法的特點 是在對復雜決策問題的本質 影響因素及其內在關系等進行深入分析之后 構建一個層次結構模型 然后利用較少的定量信息 把決策的思維過程數學化 從而為求解多準則或無結構特性的復雜決策問題提供一種簡便的決策方法 前言 層次分析法的發(fā)展過程可追溯到上個世紀的70年代初期 1971年 美國匹茲堡大學數學教授在為美國國防部研究 應急計劃 中 充分注意到了當前社會的特點及很多決策科學方法的弱點 他開始尋求一種能綜合進行定量與定性的決策方法 這種方法不僅能夠保證模型的系統(tǒng)性 合理性 又能讓決策人員充分運用其有價值的經驗與判斷能力 Saaty教授在1972年發(fā)表用其有價值的經驗與判斷能力 Saaty教授在1972年發(fā)表了 用于排序和計劃的特征根分配模型 之后 Saaty教授又發(fā)表了一系列關于AHP應用方面的文章 1977年獲得了美國管理研究院的最佳應用研究成果獎 同年 Saaty教授在第一屆國際數學建模會議上發(fā)表了 無結構決策問題的建模 層次分析理論 從此 AHP方法開始受到人們的關注 得到深入的研究和應用 前言 AHP的應用范圍十分廣泛 涉及面主要有以下幾個方面 經濟與計劃 能源政策與資源分配 政治問題及沖突 人力資源管理 預測 項目評價 教育發(fā)展 環(huán)境工程 醫(yī)療衛(wèi)生 企業(yè)管理與生產經營決策 會計 軍事指揮 武器評價 以上種種只是給出一些總體范圍 在每個范疇內 又有許多不同的應用 前言 2 基本思想與建模步驟 層次分析法的基本思路與人們對復雜的決策問題的思維判斷過程大體一樣的 當一個決策者在對問題進行分析時 首先要將分析對象的因素建立起彼此相關因素的層次遞階系統(tǒng)結構 這種層次遞階結構可以清晰地反映出諸相關因素 目標 準則 對象 的彼此關系 使得決策者能夠把復雜的問題順理成章 然后進行逐一比較 判斷 從中選出最優(yōu)的方案 運用層次分析法建模 大體上分成四個步驟 建立遞階層次結構 構造比較判別矩陣 在單準則下的排序及一致性檢驗 總的排序選優(yōu) 前言 層次分析法首先把決策問題層次化 所謂層次化根據問題的性質以及要達到的目標 把問題分解為不同的組成因素 并按各因素之間的隸屬關系和關聯(lián)程度分組 形成一個不相交的層次 引例大學畢業(yè)生對職業(yè)的選擇 假設有四個單位可供他們選擇 他們會從專業(yè)對口 發(fā)展?jié)摿?單位的名氣 地點 收入等多方面進行反復的考慮 比較 從中選出自己最滿意的職業(yè) 按照這種思路 我們可以得到這樣的分析圖 見圖3 1 一 遞階層次結構的建立 1 1 遞階層次結構及組成 滿意的職業(yè) 圖3 1最佳職業(yè)的遞階層次結構 一 遞階層次結構的建立 在AHP方法中 首先要建立決策問題的遞階層次結構的模型 通過調查分析弄清決策問題的范圍和目標 問題包含的因素 各因素之間的相互關系 然后將各個因素按照他們的性質聚集成組 并把它們的共同特征看成是系統(tǒng)中高一層次的一些因素 如此構成一個以目標 若干準則層及方案層所組成的遞階層次結構 在圖3 1中上一層次的元素對相鄰的下一層次的全部或部分元素起支配作用 從而形成一個自上而下的逐層支配關系 具有這種性質的結構稱為遞階層次結構 典型的遞階層次結構見下面圖3 2 一 遞階層次結構的建立 層次分析法先將層次分為若干層次 最高一層稱為目標層 這一層中只有一個元素 就是該問題要達到目標或理想的結果 中間層為準則層 層中的元素為實現目標所采用的措施 政策 準則等 準則層中可以不止一層 可以根據問題規(guī)模的大小和復雜程度 分為準則層 子準則層 最低一層為方案層 這一層包括了實現目標可供選擇的方案 在遞階層次結構中 各層均由若干因素構成 當某個層次包含因素較多時 可將該層次進一步劃分成若干子層次 通常應使各層次中的各因素支配的元素一般不超過9個 這是因為支配元素過多會給兩兩比較帶來困難 一 遞階層次結構的建立 決策目標 圖3 2典型遞階層次結構 準則層 一 遞階層次結構的建立 整個結構不受層次限制 一個好的遞階層次結構對解決問題極為重要 因此在建立遞階層次結構時 應注意到 從上到下順序地存在支配關系 用直線段表示上一層次因素與下一層次因素之間的關系 同一層次及不相鄰元素之間不存在支配關系 最高層只有一個元素 每個元素所支配元素一般不超過9個 元素過多可進一步分層 對某些具有子層次結構可引入虛元素 使之成為典型遞階層次結構 一 遞階層次結構的建立 1 2 四個注意點 遞階層次結構是最簡單的層次結構形式 在實際問題中我們常常會遇到更復雜的層次結構 如層次內部因素之間存在相互影響類型的內部依存層次結構 例如以行駛性能為目標對各種型號汽車作評價時 準則層有剎車 轉向 加速 運行等 這些準則之間就是相關的 下層反過來對上層有支配作用 形成循環(huán) 從而無法區(qū)分上下層類型的反饋層次結構 例如可以用教學 科研等多項指標評價幾位教師 也可以反過來對于每一個教師比較他的教學 科研等哪一方面表現最為突出 從而在指標層和對象層之間形成循環(huán) 在這里我們只討論遞階層次結構 其余的模型讀者可參閱其他文獻 一 遞階層次結構的建立 在建立遞階層次結構后 上下層元素間的隸屬關系就被確定了 假設以上一層次元素C為準則 所支配的下一層次的關系為u1 u2 un 我們的目的是要按它們對于準則C相對重要性賦予u1 u2 un相應的權重 對于有些問題可以直接給出權重 如學生的考試成績 某工程的投資額 但在大多數社會經濟活動中 尤其是較復雜的問題中 元素的權重無法直接獲得 這就需要通過適當的方法導出它們的權重 AHP所用導出權重的方法就是兩兩比較方法 二 構造比較判斷矩陣 2 1 兩兩比較法 兩兩比較法具體方法是 當以上一層次某個因素C作為比較準則時 可用一個比較標度aij來表達下一層次中第i個因素與第j個因素的相對重要性 或偏好優(yōu)劣 的認識 aij的取值一般取正整數1 9 稱為標度 及其倒數 由aij構成的矩陣稱為比較判斷矩陣A aij 關于aij取值的規(guī)則見表3 1 表3 1元素aij取值的規(guī)則 二 構造比較判斷矩陣 比較判斷矩陣的特點 aij取值也可以取上述各數的中值2 4 6 8及其倒數 即若因素i與因素j比較得aij 則因素j與因素i比較得1 aij 具有上述三個特點的n階矩陣稱為正互反矩陣 二 構造比較判斷矩陣 在引例的圖3 1中 以滿意的職業(yè)為準則 C 支配著5個因素 對專業(yè)對口 u1 發(fā)展?jié)摿?u2 單位名氣 u3 地點 u4 收入 u5 五個因素作出成對比較 得到比較判斷矩陣 仔細分析比較判斷矩陣A可以發(fā)現 既然u1與u2之比為1 1 3 u1與u3之比為1 3 那么u2與u3之比應該為1 9 而不是1 5 這樣才能說明問題是合理的 也就是中的所有的的元素aij必須具有傳遞性 即aij滿足等式 aijajk aik i j k 1 2 n 二 構造比較判斷矩陣 定義3 1 1設n階矩陣A aij 為正互反矩陣 若對于一切i j k 都有aijajk aik i j k 1 2 n 稱A為一致矩陣 由比較判斷矩陣A知 在對n個因素比較中 我們只要作n n 1 2次成對比較即可 但要求這n n 1 2次斷矩陣A一定滿足一致性 比較全部一致 太苛刻在實際工作中 我們并不要求比較判斷矩陣A一定要滿足一致性 關于比較判斷矩陣 有以下四個問題需要我們進一步說明 二 構造比較判斷矩陣 2 2 比較判斷矩陣的四個說明 為什么要用兩兩比較 涉及到社會 經濟 人文等因素的決策問題的主要困難在于 這些因素通常不易定量地測量 人們往往憑自己的經驗和知識進行判斷 當因素較多時給出的結果是不全面和不準確的 如果只是定性結果 又常常不被人們接受 如果采用把所有的因素放在一起兩兩比較 得到一種相對的標度 既能適應各種屬性測度 又能充分利用專家經驗和判斷 提高準確度 其二 在比較判斷矩陣建立上 教授采用了1 9比例標度 這是因為人們在估計成對事物的差別時 用五種判斷級別就能很好地表示 即相等 較強 強 很強 極強表示差別程度 如果再細分 可在相鄰兩級中再插入一級 正好9級 用9個數字來表達就夠用了 為什么要用1 9比例標度 二 構造比較判斷矩陣 一般地在一個準則下被比較的對象不超過9個 是因為心理學家認為 進行成對比較因素太多將超出人的判斷能力 最多大致在7 2范圍 如果以9個為限 用1 9比例標度表示它們之間的差別正合適 為什么要限制比較個數不超過9 為什么要比較n n 1 2次 最后 在把n個因素與某個因素進行比較時 有人認為只需要進行n 1次就可以了 這種做法的弊病在于 任何一個判斷的失誤都可能導致不合理的排序 對于難以定量的系統(tǒng)更應該盡量避免判斷失誤 進行n n 1 2次成對比較 可以提供更多的信息量 從不同角度進行比較 以得到一個合理的排序 二 構造比較判斷矩陣 例1某一個顧客選購電視機時 對市場正在出售的四種電視機考慮了八項準則作為評估依據 建立層次分析模型如圖3 3所示 對之構造比較判斷矩陣 二 構造比較判斷矩陣 二 構造比較判斷矩陣 解 構造比較判別矩陣如表3 2 表3 2滿意電視機的比較判別表 例2設某港務局要改善一條河道的過河運輸條件 為此需要確定是否建立橋梁或隧道以代替現有的輪渡 分析 在此問題中 過河的方式的決策取決于過河方式的效益與代價 即成本 的之比通常我們用費效比 即效益 代價 作為選擇方案的標準 為此我們分別給出下面兩個層次結構 它們分別考慮了影響過河的效益與代價的因素 這些因素可分為三類 經濟的 社會的和環(huán)境的 二 構造比較判斷矩陣 過河的效益A 二 構造比較判斷矩陣 過河的代價a 二 構造比較判斷矩陣 注意 上面兩個模型中的判斷依據都是由決策者自行設計的 這就需要用到設計者的專業(yè)知識 決策的制定將取決于根據兩個層次結構確定的方案的效益權重與代價權重之比 例如 我們構造過河的效益比較判別矩陣如下 二 構造比較判斷矩陣 3 1 單準則下的排序 三 單準則下的排序及一致性檢 層次分析法的信息基礎是比較判斷矩陣 由于每個準則都支配下一層若干個因素 這樣對于每一個準則及它所支配的因素都可以得到一個比較判斷矩陣 因此根據比較判斷矩陣如何求出各因素u1 u2 un 對于準則的相對排序權重的過程稱為單準則下的排序 計算權重w1 w2 wn的方法有許多種 其中特征根方法是AHP中比較成熟并得到廣泛應用的方法 它對于AHP的發(fā)展在理論上和實踐上都有重要意義 特征根方法的理論依據是正矩陣的Perron定理 它保證了所得到的排序向量的正值性和唯一性 特征根方法的理論依據 三 單準則下的排序及一致性檢 定理3 1 1 Perron定理 設n階方陣A O lmax為A的模最大特征根 則 lmax必為正特征根 且對應特征向量為正向量 對于A的任何其它特征值 恒有 l lmax lmax為A的單特征根 因而它所對應的特征向量除相差一個常數因子外是唯一的 定理3 1 2對于任何一個正互反矩陣均有l(wèi)max n 其中l(wèi)max為A的模最大特征根 證明 證明 略 是其最大特征值所對應的特征向量 三 單準則下的排序及一致性檢 兩邊同除以wi 得 兩邊同時對i求和 得 三 單準則下的排序及一致性檢 三 單準則下的排序及一致性檢 定理3 1 3n階正互反矩陣A aij 為一致矩陣的充分必要條件是A的最大特征根為n 證明 必要性 因為n階矩陣A為一致矩陣 設 三 單準則下的排序及一致性檢 充分性 是一個正互反矩陣 三 單準則下的排序及一致性檢 那么如何求一般正互反矩陣A的最大特征根呢 這實際上有一定的困難 特別是當A的階數很高時 由于在做比較判斷矩陣時我們基本上是定性比較量化的結果 對它的精確計算是沒有必要的 所以我們可用一些簡便的方法計算判斷矩陣的最大特征值及所對應的特征向量 下面介紹一些求正互反矩陣排序向量的方法 在實際應用中 比較判斷矩陣A并不一定是一致矩陣 由定理3 1 2知比較判斷矩陣A的階數n不超過A的最大特征值lmax 三 單準則下的排序及一致性檢 求正互反矩陣排序向量的方法 特征根方法 EVM 對于正矩陣 有一種求特征向量的簡易算法 冪法 下面的定理為冪法提供了理論依據 第一步 將判斷矩陣的列向量歸一化 三 單準則下的排序及一致性檢 和法 解 三 單準則下的排序及一致性檢 第一步 將判斷矩陣的列向量歸一化 三 單準則下的排序及一致性檢 根法 解 三 單準則下的排序及一致性檢 三 單準則下的排序及一致性檢 3 2 一致性的檢驗 由于客觀事物的復雜性 會使我們的判斷帶有主觀性和片面性 完全要求每次比較判斷的思維標準一致是不大可能的 因此在我們構造比較判斷矩陣時 我們并不要求n n 1 2次比較全部一致 但這可能出現甲與乙相對重要 乙與丙相比極端重要 丙與甲相比相對重要 這種比較判斷嚴重不一致這種情況 事實上 在作比較判斷矩陣時 我們雖然不要求判斷具有一致性 但一個混亂的 經不起推敲的比較判斷矩陣有可能導致決策的失誤 所以我們希望在判斷時應大體上的一致 而上述計算權重方法 當判斷矩陣過于偏離一致性時 其可靠程度也就值得懷疑了 故對于每一層次作單準則排序時 均需要作一致性的檢驗 設A為n階正互反矩陣 由定理3 1 2知 當判斷矩陣A的最大特征值稍大于n 稱A具有滿意的一致性 然而 滿意的一致性 說法不夠準確 A的最大特征值lmax與n是怎樣的接近為滿意 這必須有一個量化 三 單準則下的排序及一致性檢 三 單準則下的排序及一致性檢 Saaty教授采用的方法 固定n 隨機構造正互反矩陣A aij n 其中aij是從1 2 3 9 1 2 1 3 1 9共17個數中隨即抽取 這樣的正互反矩陣A是最不一致的 計算1000次上述隨機判斷矩陣的最大特征lmax Saaty教授給出了RI值 稱為平均隨即一致性指標 見表3 3 表3 3平均隨機一致性指標 表3 3中n 1 2時RI 0 因1 2階判斷矩陣總是一致的 當n 3時 令CR CI RI 稱CR為一致性比例 當CR 0 1 認為比較判斷矩陣的一致性可以接受 否則應對判斷矩陣作適當的修正 三 單準則下的排序及一致性檢 在例1中最佳電視機的決策問題中我們已得到第二層 準則層 對第一層 目標層 只有一個因素 的比較判別矩陣 由冪法求出權重向量 記作 用同樣的方法構造第三層 方案層 見圖3 3 對第二層的每一個準則的比較判斷矩陣 不妨設它們?yōu)?三 單準則下的排序及一致性檢 這里矩陣Bk k 1 2 8 中的元素b k ij是方案 電視機 Pi與Pj對于準則Ck 品牌 外形等 優(yōu)越性的比較尺度 由第3層的比較判斷矩陣Bk計算出權向量w 3 k 最大特征值lmax和一致性指標CIk 其結果列入表3 4 表3 4電視機選購問題第3層的計算結果 三 單準則下的排序及一致性檢 由于當n 3時 隨機一致性指標RI 0 58 經計算可知CR1 0 117 0 1 CR2 0 213 0 1 CR3 0 117 0 1 CR6 0 170 0 1 因此第1 2 3 6個比較判斷矩陣的一致性沒有通過 需要對比較判斷矩陣進行修改 而第4 5 7 8個比較判斷矩陣通過一致性檢驗 計算同一層次中所有元素對于最高層 總目標 的相對重要性標度 又稱排序權重向量 稱為層次總排序 為了把這個問題搞清楚 來看一個事實 設有五塊石頭A1 A2 A3 A4 A5分成兩組 第一組由A1 A2組成 第二組由A3 A4 A5組成 這兩組石頭可看成一塊石頭分裂成石塊A1 A2 A3 A4 A5 把系統(tǒng)劃分成三個層次 如圖3 4所示 四 層次總排序 圖3 4分裂成石塊的巨礫 四 層次總排序 已知最高層對第二層的排序向量為 而第三層對第二層單準則的排序為 則第三層五個元素相對總重量的排序權值向量為 四 層次總排序 4 1 層次總排序的步驟 計算同一層次所有因素對最高層相對重要性的排序權向量 這一過程是自上而下逐層進行 層次總排序的步驟為 設已計算出第k 1層上有nk 1個元素相對總目標的排序權向量為 第k層有nk個元素 它們對于上一層次 第k 1層 的某個因素ui的單準則排序權向量為 對于與k 1層第i個元素無支配關系的對應uij取值為0 第k層nk個元素相對總目標的排序權向量為 四 層次總排序 4 2 總排序一致性檢驗 人們在對各層元素作比較時 盡管每一層中所用的比較尺度基本一致 但各層之間仍可能有所差異 而這種差異將隨著層次總排序的逐漸計算而累加起來 因此需要從模型的總體上來檢驗這種差異尺度的累積是否顯著 檢驗的過程稱為層次總排序的一致性檢驗 可認為評價模型在k層水平上整個達 到局部滿意一致性 四 層次總排序 層次分析法的基本步驟為以下四步 總排序 即計算各方案對總系統(tǒng)目標排序權向量 建立系統(tǒng)的遞階層次結構 構造兩兩比較判斷矩陣 計算下一個層次對上一層的某個準則的排序權向量 下面舉例來說明層次分析法的基本步驟 例5某工廠在擴大企業(yè)自主權后 有一筆留成利潤 要由廠領導和職代會來決定如何使用 可供選擇的方案有 P1 發(fā)獎金 P2 擴建集體福利事業(yè) P3 辦職工業(yè)余技校 P4 建圖書館 俱樂部 P5 引進新設備 這些方案都各具有其合理的因素 因此如何對這些方案進行綜合評價 并由此進行方案排序及優(yōu)選是廠領導和職代會面臨的實際問題 四 層次總排序 分析 上述問題屬于方案排序與優(yōu)選問題 且各待選方案的具體內容已經確定 故可采用AHP法來解決 解 建立方案評價的遞階層次結構模型 該模型最高一層為總目標A 合理使用企業(yè)利潤 第二層設計為方案評價的準則層 它包含有三個準則 最低層為方案層 它包含從P1 P5五種方案 其遞階層次結構如圖3 5 四 層次總排序 B1 進一步調動職工勞動積極性 B2 提高企業(yè)技術水平 B3 改善職工物質與文化生活 合理使用企業(yè)利潤A 圖3 5合理分配利潤的遞階層次結構 四 層次總排序 構造比較判斷矩陣 分別給出第三層對第二層的三個比較判別矩陣 四 層次總排序 層次單排序及其一致性檢驗 對于上述各比較判斷矩陣 用Matlab數學軟件求出其最大的特征值及其對應的特征向量 將特征向量經歸一化后 即可得到相應的層次單排序的相對重要性權重向量 以及一致性指標CI和一致性比例CR 見表3 5 表3 5合理使用企業(yè)利潤的計算結果 由此可見 所有四個層次單排序的CR的值均小于0 1 符合滿意一致性要求 四 層次總排序 層次總排序 已知第二層 B層 相對于總目標A的排序向量為 而第三層 P層 以第二層第i個因素Bi為準則時的排序向量分別為 四 層次總排序 則第三層 P層 相對于總目標的排序向量為 層次總排序的一致性檢驗 總排序一致性通過 四 層次總排序 結論 某工廠合理使用企業(yè)留成利潤這一總目標 所考慮的五種方案排序的相對優(yōu)先排序為 P3 開辦職工業(yè)務技校 權重為0 4011 P5 引進新技術設備 權重為0 1723 P2 擴建集體福利事業(yè) 權重為0 1564 P1 發(fā)獎金 權重為0 1488 P4 建圖書館 俱樂部 權重為0 1215 廠領導和職代會可根據上述分析結果 決定各種方案的實施先后次序 或決定分配使用企業(yè)留成利潤的比例 四 層次總排序 Matlab程序 詳見P195 197 從略 經驗調整法 讓專家對判斷矩陣的某些元素進行重新調整 這類方法存在著一定的主觀隨意性 缺乏理論科學依據 五 判斷矩陣的調整 當一個比較判斷矩陣過于偏離一致性時 其可靠程度就值得懷疑了 這時就必須對判斷矩陣進行調整 在實際應用中 需要對判斷矩陣進行多次調整 才能夠通過一致性檢驗 目前 關于修正判斷矩陣的方法有多種 大致分成三類 用一定的方法 構造一個完全一致的判斷矩陣 通過甲醛方法提取原始判斷矩陣與完全一致矩陣的信息 以達到調整的目的 此類方法具有一定的盲目性 利用矩陣元素的變化與一致性之間的關系 確定影響一致性的關鍵元素并進行調整 此類方法對原始判斷矩陣的元素改變較少 保留了較多的原始信息 五 判斷矩陣的調整 下面介紹一種屬于第三類的判斷矩陣調整方法 稱之為AHP判斷矩陣一致性調整的前瞻算法 具體算法如下 構造矩陣 是判斷矩陣A中的元素aij用aikakj 稱為元素aij的第k種間接判斷 替換 而aji用1 aikakj替換后得到的矩陣 即 其中 由于askakt可能大于9 1 askakt可能小于1 9 這與判斷矩陣的定義不相符合 需要進行微調 作微調如下 五 判斷矩陣的調整 計算以及Dij x 表示對x進行四舍五入取整 以后所有的矩陣都是經過微調得到的矩陣 由于是成對的微調 故有 是矩陣A中的元素aij進行第k種調整后一致性比率變小的數值 表征著aij進行第k種調整對矩陣一致性的改善程度 五 判斷矩陣的調整 五 判斷矩陣的調整 計算Tij Tij是aij對矩陣一致性的最大可能改善程度Dij所對應的調整策略序號 稱aij的第Tij種調整方法為aij的最優(yōu)調整方向 若Dij 0 說明aij的所有調整方向都無助于改善判斷矩陣的一致性 令Tij 0 構造矩陣T Tij n n 則T是對稱矩陣 選D為 Dij n n中最大元素 確定該元素所在的行與列 找到判斷矩陣相對應的元素就是最矛盾 不一致 元素 對它按上述方法進行調整 直到得到通過一致性檢驗 五 判斷矩陣的調整 解 使用MATLAB計算 得排序向量為 五 判斷矩陣的調整 五 判斷矩陣的調整 五 判斷矩陣的調整 D13 0 1361是的最大元素 相應判斷矩陣元素a13是矛盾元素 需要調整 由于對應調整方向是T13 2 調整方案是 將a13用a12a23替換 即a13 a12a23 7 1 8 7 8 并取a13 1 1 7 8 1 得到新的判斷矩陣 由此得到排序向量 通過了一致性檢驗 可以證明 上述的算法是收斂的 六 群組決策 我們知道 AHP方法不僅可以進行定量分析 也可以進行定性分析 它可以把決策過程中的定量與定性因素有機地結合起來 用一種統(tǒng)一的方法進行處理 AHP法改變了最優(yōu)化技術中只能對定量問題進行處理的局限 不僅如此 它的方法簡單 直觀 容易掌握 是一種很好的決策方法 但應該看到 AHP方法也有著應用上的局限 主要有以下三個方面 AHP方法的應用主要是針對那種方案大體確定的決策問題 即只能從原方案中選優(yōu) 不能生成新的方案 AHP方法比較粗糙 不適應于精度要求很高的決策問題 對于這類問題 若將AHP和別的方法結合起來使用 會得到令人滿意的結果 由于AHP方法的使用受人的主觀因素影響較大 得到的決策結果不易為眾人接受 六 群組決策 針對上述存在的問題 我們可以采用AHP方法與群組決策相結合的方法 盡量使得決策結果得到眾人的認可 在運用AHP方法進行決策分析時 評判者往往不是一個人 而是由若干個專家組成的小組 尤其是在對重大問題的決策分析時 評判者有時甚至是一個龐大的專家團 這就會遇到群組判斷問題 專家群組的判斷是否符合客觀實際 將對定權產生直接的影響 若干個專家參加決策 各個專家都可以給出一個比較判斷矩陣 如何根據這眾多的比較判斷矩陣進行最終決策 我們給出兩類處理方法 一類是將各個專家的比較判斷矩陣綜合成一個判斷矩陣 然后求出這個矩陣的排序向量 稱此法為比較判斷矩陣綜合法 另一類是先求出各個專家的排序向量 然后再將它們綜合成群組排序向量 稱此法為權重向量綜合法 六 群組決策 6 1 比較判斷矩陣綜合法 加權幾何平均法 設由s個專家的的評判矩陣為 構造綜合判斷矩陣 其中其中l(wèi)k是第k個專家的權重 然后再選用單準則下權重向量的算法 求出綜合判斷矩陣的排序向量 由數理統(tǒng)計的知識 我們對矩陣A進行分析 計算總體標準差 當總體標準差sij e 這組群組判斷可采用 這里e是事先給定的值 通常取e 0 5 1 六 群組決策 加權算術平均法 設由s個專家的的評判矩陣為 構造綜合判斷矩陣 其中其中l(wèi)k是第k個專家的權重 然后再選用單準則下權重向量的算法 求出綜合判斷矩陣的排序向量 應當注意的是 無論采用加權幾何平均法還是采用加權算術平均法后的綜合判斷矩陣都已失去正互反性了 6 2 權重向量綜合排序法 六 群組決策 加權幾何平均法 設第k個專家給出的排序向量為 對s個排序向量進行加權幾何平均 得到排序向量 六 群組決策 由數理統(tǒng)計的知識 我們對所求的W進行分析 即計算 由此建立一個新的總體判斷矩陣 計算總體標準差 表示第k個專家給出的判斷矩陣的第i行第j列的元素 計算個體的標準差 否則將信息反饋給有關專家 供修改時參考 六 群組決策 六 群組決策 加權算術平均綜合排序向量法 設由s個專家的的評判矩陣 得到s個排序向量 對s個排序向量進行加權算術平均 得到排序向量 六 群組決策 按照上述的分析 計算各個標準差 將信息反饋給有關專家供參考 例1