華科量子力學(xué)第六章

1電子的自旋 2電子的自旋算符和自旋波函數(shù) 3簡單塞曼效應(yīng) 4兩個角動量耦合 5光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 6全同粒子的特性 7全同粒子體系波函數(shù)Pauli原理 8兩電子自旋波函數(shù) 9氦原子 微擾法 第六章自旋與全同粒子 返回 一 Stern Gerlach實驗 二 光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu) 三 電子自旋假設(shè) 四 回轉(zhuǎn)磁比率 1電子的自旋 返回 1 實驗描述 處于S態(tài)的氫原子 2 結(jié)論 I 氫原子有磁矩因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn) II 氫原子磁矩只有兩種取向即空間量子化的 S態(tài)的氫原子束流 經(jīng)非均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn) 在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線 一 Stern Gerlach實驗 3 討論 磁矩與磁場之夾角 原子Z向受力 分析 若原子磁矩可任意取向 則cos 可在 1 1 之間連續(xù)變化 感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶 但是實驗結(jié)果是 出現(xiàn)的兩條分立線對應(yīng)cos 1和 1 處于S態(tài)的氫原子 0 沒有軌道磁矩 所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩 即自旋磁矩 鈉原子光譜中的一條亮黃線 5893 用高分辨率的光譜儀觀測 可以看到該譜線其實是由靠的很近的兩條譜線組成 其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些線組成的現(xiàn)象 稱之為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu) 該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能得到解釋 二 光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu) Uhlenbeck和Goudsmit1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè) 1 每個電子都具有自旋角動量 它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值 2 每個電子都具有自旋磁矩 它與自旋角動量的關(guān)系為 自旋磁矩 在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值 Bohr磁子 三 電子自旋假設(shè) 1 電子回轉(zhuǎn)磁比率 我們知道 軌道角動量與軌道磁矩的關(guān)系是 2 軌道回轉(zhuǎn)磁比率 則 軌道回轉(zhuǎn)磁比率為 可見電子回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍 四 回轉(zhuǎn)磁比率 2電子的自旋算符和自旋波函數(shù) 返回 自旋角動量是純量子概念 它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋 自旋角動量也是一個力學(xué)量 但是它和其他力學(xué)量有著根本的差別 通常的力學(xué)量都可以表示為坐標(biāo)和動量的函數(shù) 而自旋角動量則與電子的坐標(biāo)和動量無關(guān) 它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征 是描寫電子狀態(tài)的第四個自由度 第四個變量 與其他力學(xué)量一樣 自旋角動量也是用一個算符描寫 記為 自旋角動量軌道角動量異同點 與坐標(biāo) 動量無關(guān) 不適用 同是角動量 滿足同樣的角動量對易關(guān)系 一 自旋算符 由于自旋角動量在空間任意方向上的投影只能取 2兩個值 算符的本征值是 仿照 自旋量子數(shù)s只有一個數(shù)值 因為自旋是電子內(nèi)部運動自由度 所以描寫電子運動除了用 x y z 三個坐標(biāo)變量外 還需要一個自旋變量 SZ 于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為 由于SZ只取 2兩個值 所以上式可寫為兩個分量 寫成列矩陣 規(guī)定列矩陣第一行對應(yīng)于Sz 2 第二行對應(yīng)于Sz 2 若已知電子處于Sz 2或Sz 2的自旋態(tài) 則波函數(shù)可分別寫為 二 含自旋的狀態(tài)波函數(shù) 1 SZ的矩陣形式 電子自旋算符 如SZ 是作用與電子自旋波函數(shù)上的 既然電子波函數(shù)表示成了2 1的列矩陣 那末 電子自旋算符的矩陣表示應(yīng)該是2 2矩陣 因為 1 2描寫的態(tài) SZ有確定值 2 所以 1 2是SZ的本征態(tài) 本征值為 2 即有 矩陣形式 同理對 1 2處理 有 最后得SZ的矩陣形式 SZ是對角矩陣 對角矩陣元是其本征值 2 三 自旋算符的矩陣表示與Pauli矩陣 2 Pauli算符 1 Pauli算符的引進 因為Sx Sy Sz的本征值都是 2 所以 x y z的本征值都是 1 x2 y2 Z2的本征值都是 即 2 反對易關(guān)系 基于 的對易關(guān)系 可以證明 各分量之間滿足反對易關(guān)系 證 左乘 y 右乘 y 同理可證 x y分量的反對易關(guān)系亦成立 證畢 或 由對易關(guān)系和反對易關(guān)系還可以得到關(guān)于Pauli算符的如下非常有用性質(zhì) y2 1 3 Pauli算符的矩陣形式 根據(jù)定義 求Pauli算符的其他兩個分量 令 X簡化為 令 c exp i 為實 則 由力學(xué)量算符厄密性 得 b c 或c b x2 I 求 y的矩陣形式 這里有一個相位不定性 習(xí)慣上取 0 于是得到Pauli算符的矩陣形式為 從自旋算符與Pauli矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示 寫成矩陣形式 1 歸一化 波函數(shù)的歸一化時必須同時對自旋求和和對空間坐標(biāo)積分 即 2 幾率密度 表示t時刻在r點附近單位體積內(nèi)找到電子的幾率 表示t時刻r點處單位體積內(nèi)找到自旋Sz 2的電子的幾率 表示t時刻r點處單位體積內(nèi)找到自旋Sz 2的電子的幾率 在全空間找到Sz 2的電子的幾率 在全空間找到Sz 2的電子的幾率 四 含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度 波函數(shù) 這是因為 通常自旋和軌道運動之間是有相互作用的 所以電子的自旋狀態(tài)對軌道運動有影響 但是 當(dāng)這種相互作用很小時 可以將其忽略 則 1 2對 x y z 的依賴一樣 即函數(shù)形式是相同的 此時 可以寫成如下形式 求 自旋波函數(shù) Sz SZ的本征方程 令 一般情況下 1 2 二者對 x y z 的依賴是不一樣的 五 自旋波函數(shù) 因為Sz是2 2矩陣 所以在S2 Sz為對角矩陣的表象內(nèi) 1 2 1 2都應(yīng)是2 1的列矩陣 代入本征方程得 由歸一化條件確定a1 所以 二者是屬于不同本征值的本征函數(shù) 彼此應(yīng)該正交 引進自旋后 任一自旋算符的函數(shù)G在Sz表象表示為2 2矩陣 算符G在任意態(tài) 中對自旋求平均的平均值 算符G在 態(tài)中對坐標(biāo)和自旋同時求平均的平均值是 六 力學(xué)量平均值 3簡單塞曼效應(yīng) 返回 塞曼效應(yīng) 氫原子和類氫原子在外磁場中 其光譜線發(fā)生分裂的現(xiàn)象 該現(xiàn)象在1896年被Zeeman首先觀察到 1 簡單塞曼效應(yīng) 在強磁場作用下 光譜線的分裂現(xiàn)象 2 復(fù)雜塞曼效應(yīng) 當(dāng)外磁場較弱 軌道 自旋相互作用不能忽略時 將產(chǎn)生復(fù)雜塞曼效應(yīng) 一 實驗現(xiàn)象 取外磁場方向沿Z向 則磁場引起的附加能 CGS制 為 磁場沿Z向 二 Schrodinger方程 考慮強磁場忽略自旋 軌道相互作用 體系Schrodinger方程 二 氫 類氫原子在外場中的附加能 根據(jù)上節(jié)分析 沒有自旋 軌道相互作用的波函數(shù)可寫成 代入S 方程 最后得 1滿足的方程 同理得 2滿足的方程 1 當(dāng)B 0時 無外場 是有心力場問題 方程退化為不考慮自旋時的情況 其解為 I 對氫原子情況 II 對類氫原子情況 如Li Na 等堿金屬原子 核外電子對核庫侖場有屏蔽作用 此時能級不僅與n有關(guān) 而且與 有關(guān) 記為En 則有心力場方程可寫為 三 求解Schrodinger方程 由于 2 當(dāng)B 0時 有外場 時 所以在外磁場下 n m仍為方程的解 此時 同理 1 分析能級公式可知 在外磁場下 能級與n l m有關(guān) 原來m不同能量相同的簡并現(xiàn)象被外磁場消除了 2 外磁場存在時 能量與自旋狀態(tài)有關(guān) 當(dāng)原子處于S態(tài)時 l 0 m 0的原能級Enl分裂為二 這正是Stern Gerlach實驗所觀察到的現(xiàn)象 四 簡單塞曼效應(yīng) 3 光譜線分裂 I B 0無外磁場時 電子從En 到En 的躍遷的譜線頻率為 II B 0有外磁場時 根據(jù)上一章選擇定則可知 所以譜線角頻率可取三值 無磁場時的一條譜線被分裂成三條譜線 Sz 2時 取 Sz 2時 取 我們已分別討論過了只有L和只有S的情況 忽略了二者之間的相互作用 實際上 在二者都存在的情況下 就必須同時考慮軌道角動量和自旋 也就是說 需要研究L與S的耦合問題 下面我們普遍討論一下兩個角動量的耦合問題 一 總角動量 二 耦合表象和無耦合表象 4兩個角動量耦合 返回 設(shè)有J1 J2兩個角動量 分別滿足如下角動量對易關(guān)系 因為二者是相互獨立的角動量 所以相互對易 即 其分量對易關(guān)系可寫為 證 同理 對其他分量成立 證畢 一 總角動量 證 同理 對其他分量亦滿足 證 上面最后一步證明中 使用了如下對易關(guān)系 由上面證明過程可以看出 若對易括號將J12用J1代替 顯然有如下關(guān)系 這是因為 證 1 本征函數(shù) 也兩兩對易 故也有共同完備的本征函數(shù)系 記為 耦合表象基矢 非耦合表象基矢 二 耦合表象和無耦合表象 由于這兩組基矢都是正交歸一完備的 所以可以相互表示 即 稱為矢量耦合系數(shù)或Clebsch Gorldon系數(shù) 于是上式求和只需對m2進行即可 考慮到m1 m m2 則上式可改寫為 或 2 C G系數(shù)的么正性 我們知道 兩個表象之間的么正變換有一個相位不定性 如果取適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定 就可以使C G系數(shù)為實數(shù) 共軛式 將上式左乘 j1j2j m 并考慮正交歸一關(guān)系 對m m m m 1 于是 將 j1 m1 j2 m2 用耦合表象基矢 j1 j2 j m 展開 C G系數(shù)實數(shù)性 共軛式 左乘上式 并注意非耦合表象基矢的正交歸一性 對m2 m2情況 得 考慮到上式兩個C G系數(shù)中總磁量子數(shù)與分量子數(shù)之間的關(guān)系 m2 m m 1和m2 m m1最后得 3 j的取值范圍 j與j1 j2的關(guān)系 1 對給定j1j2 求jmax 因為mm1m2取值范圍分別是 m j j 1 j 1 j mmax j m1 j1 j1 1 j1 1 j1 m1 max j1 m2 j2 j2 1 j2 1 j2 m2 max j2 再考慮到m m1 m2 則有 mmax m1 max m2 max j jmax 于是 jmax j1 j2 2 求jmin 由于基矢 j1m1 j2m2 對給定的j1j2分別有2j1 1和2j2 1個 所以非耦合表象的基矢 j1 m1 j2 m2 j1 m1 j2 m2 的數(shù)目為 2j1 1 2j2 1 個 另一方面 對于一個j值 j1 j2 j m 基矢有2j 1個 那末j從jmin到j(luò)max的所有基矢數(shù)則由下式給出 等差級數(shù)求和公式 Jmax j1 j2 由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨立的 等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等 所以耦合表象基矢 j1 j2 j m 的數(shù)亦應(yīng)等于 2j1 1 2j2 1 個 從非耦合表象到耦合表象的變換由下式給出 等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等 于是 j1 j2 1 2 jmin2 2j1 1 2j2 1 從而可解得 jmin j1 j2 3 j的取值范圍 由于j只取 0的數(shù) 所以當(dāng)j1j2給定后 j的可能取值由下式給出 j j1 j2 j1 j2 1 j1 j2 2 j1 j2 該結(jié)論與舊量子論中角動量求和規(guī)則相符合 j1 j2和j所滿足的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系 表示為 j1 j2 j 求得j m后 J2 Jz的本征值問題就得到解決 本征矢 作為一個例子下面列出了電子自旋角動量j2 1 2情況下幾個C G系數(shù)公式 將這些系數(shù)代入本征矢表達式可得 一 復(fù)習(xí)類氫原子能譜 無自旋軌道作用 二 有自旋軌道相互作用情況 1 無耦合表象 2 耦合表象 1 Hamilton量 2 微擾法求解 3 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 4 零級近似波函數(shù) 本節(jié)討論無外場作用下 考慮電子自旋對類氫原子能級和譜線的影響 5光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 返回 1 無耦合表象 類氫原子Hamilton量 對類氫原子在不考慮核外電子對核電得屏蔽效應(yīng)情況下 勢場可寫為 因為H0 L2 Lz和Sz兩兩對易 所以它們有共同完備得本征函數(shù) 無耦合表象基矢 可見電子狀態(tài)由n l ml ms四個量子數(shù)確定 能級公式 只與n有關(guān) 能級簡并度 不計電子自旋時 是n2度簡并 考慮電子自旋后 因ms有二值 故En是2n2度簡并 一 復(fù)習(xí)類氫原子能譜 無自旋軌道作用 2 耦合表象 電子總角動量 因為L2 S2 J2 Jz兩兩對易且與H0對易 故體系定態(tài)也可寫成它們得共同本征函數(shù) 耦合表象基矢 電子狀態(tài)用n l j m四個量子數(shù)確定 1 Hamilton量 基于相對論量子力學(xué)和實驗依據(jù) L S自旋軌道作用可以表示為 稱為自旋軌道耦合項 二 有自旋軌道相互作用情況 于是體系Hamilton量 由于H中包含有自旋 軌道耦合項 所以Lz Sz與H不再對易 二者不再是守恒量 相應(yīng)的量子數(shù)ml ms都不是好量子數(shù)了 不能用以描寫電子狀態(tài) 現(xiàn)在好量子數(shù)是l j m 這是因為其相應(yīng)的力學(xué)量算符L2 J2 Jz都與H對易的緣故 證 所以L2 J2 Jz都與H 對易從而也與H對易 2 微擾法求解 因為H0的本征值是簡并的 因此需要使用簡并微擾法求解 H0的波函數(shù)有兩套 耦合表象波函數(shù)和非耦合表象波函數(shù) 為方便計 我們選取耦合表象波函數(shù)作為零級近似波函數(shù) 之所以方便 是因為微擾Hamilton量H 在耦合表象矩陣是對角化的 而簡并微擾法解久期方程的本質(zhì)就是尋找正確的零級波函數(shù)是H 對角化 這樣我們就可以省去求解久期方程的步驟 令 展開系數(shù)滿足如下方程 其中矩陣元 下面我們計算此矩陣元 其中 代入關(guān)于Cljm的方程得 為書寫簡捷將l j m 用ljm代替 由于Cljm 0 所以能量一級修正 3 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 1 簡并性 由上式給出的能量一級修正可以看出 L S耦合使原來簡并能級分裂開來 簡并消除 但是是部分消除 這是因為Enlj 1 仍與m無關(guān) 同一j值 m可取2j 1個值 所以還有2j 1度簡并 2 精細(xì)結(jié)構(gòu) 對給定的n 值 j 1 2 有二值 0除外 具有相同n 的能級有二個 由于 r 通常很小 所以這二個能級間距很小 這就是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因 例 鈉原子2p項精細(xì)結(jié)構(gòu) 求 關(guān)于上式積分具體計算參見E U CondonandG H Shortley TheTheoryofAtomicSpectra p 120 125 原能級分裂為 4 零級近似波函數(shù) 波函數(shù)的零級近似取為 nljm對不同m的線性組合 也可以就直接取為 nljm因為微擾Hamilton量H 在該態(tài)的矩陣元已是對角化的了 上述波函數(shù)是耦合表象基矢 表示成相應(yīng)的Dirac符號后并用非耦合表象基矢表示出來 上述討論適用于 0的情況 當(dāng) 0時 沒有自旋軌道耦合作用 因而能級不發(fā)生移動 作業(yè) 周世勛 量子力學(xué)教程 7 2 7 4 7 5 7 7曾謹(jǐn)言 量子力學(xué)導(dǎo)論 8 1 8 5 8 6 9 6 一 全同粒子和全同性原理 二 波函數(shù)的對稱性質(zhì) 三 波函數(shù)對稱性的不隨時間變化 四 Fermi子和Bose子 6全同粒子的特性 返回 1 全同粒子 質(zhì)量 電荷 自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子 2 經(jīng)典粒子的可區(qū)分性 經(jīng)典力學(xué)中 固有性質(zhì)完全相同的兩個粒子 是可以區(qū)分的 因為二粒子在運動中 有各自確定的軌道 在任意時刻都有確定的位置和速度 可判斷哪個是第一個粒子哪個是第二個粒子 一 全同粒子和全同性原理 3 微觀粒子的不可區(qū)分性 量子力學(xué) 在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的 4 全同性原理 全同粒子所組成的體系中 二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變 全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一 1 Hamilton算符的對稱性 N個全同粒子組成的體系 其Hamilton量為 調(diào)換第i和第j粒子 體系Hamilton量不變 即 表明 N個全同粒子組成的體系的Hamilton量具有交換對稱性 交換任意兩個粒子坐標(biāo) qi qj 后不變 二 波函數(shù)的對稱性質(zhì) 2 對稱和反對稱波函數(shù) 考慮全同粒子體系的含時Shrodinger方程 將方程中 qi qj 調(diào)換 得 由于Hamilton量對于 qi qj 調(diào)換不變 表明 qi qj 調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrodinger方程的解 因此 二者相差一常數(shù)因子 再做一次 qi qj 調(diào)換 對稱波函數(shù) 反對稱波函數(shù) 引入粒子坐標(biāo)交換算符 全同粒子體系波函數(shù)的這種對稱性不隨時間變化 即初始時刻是對稱的 以后時刻永遠(yuǎn)是對稱的 初始時刻是反對稱的 以后時刻永遠(yuǎn)是反對稱的 證 方法I 設(shè)全同粒子體系波函數(shù) s在t時刻是對稱的 由體系哈密頓量是對稱的 所以H s在t時刻也是對稱的 在t dt時刻 波函數(shù)變化為 對稱 對稱 二對稱波函數(shù)之和仍是對稱的 依次類推 在以后任何時刻 波函數(shù)都是對稱的 同理可證 t時刻是反對稱的波函數(shù) a 在t以后任何時刻都是反對稱的 三 波函數(shù)對稱性的不隨時間變化 方法II 全同粒子體系哈密頓量是對稱的 結(jié)論 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的 其對稱性不隨時間改變 如果體系在某一時刻處于對稱 或反對稱 態(tài)上 則它將永遠(yuǎn)處于對稱 或反對稱 態(tài)上 實驗表明 對于每一種粒子 它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完全確定的 而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系 1 Bose子 凡自旋為 整數(shù)倍 s 0 1 2 的粒子 其多粒子波函數(shù)對于交換2個粒子總是對稱的 遵從Bose統(tǒng)計 故稱為Bose子 如 光子 s 1 介子 s 0 四 Fermi子和Bose子 2 Fermi子 凡自旋為 半奇數(shù)倍 s 1 2 3 2 的粒子 其多粒子波函數(shù)對于交換2個粒子總是反對稱的 遵從Fermi統(tǒng)計 故稱為Fermi子 例如 電子 質(zhì)子 中子 s 1 2 等粒子 3 由 基本粒子 組成的復(fù)雜粒子 如 粒子 氦核 或其他原子核 如果在所討論或過程中 內(nèi)部狀態(tài)保持不變 即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié) 則全同概念仍然適用 可以作為一類全同粒子來處理 偶數(shù)個Fermi子組成 Bose子組成 奇數(shù)個Fermi子組成 奇數(shù)個Fermi子組成 一 2個全同粒子波函數(shù) 二 N個全同粒子體系波函數(shù) 三 Pauli原理 7全同粒子體系波函數(shù)Pauli原理 返回 1 對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成 I2個全同粒子Hamilton量 II單粒子波函數(shù) 一 2個全同粒子波函數(shù) III交換簡并 粒子1在i態(tài) 粒子2在j態(tài) 則體系能量和波函數(shù)為 驗證 粒子2在i態(tài) 粒子1在j態(tài) 則體系能量和波函數(shù)為 IV滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成 全同粒子體系要滿足對稱性條件 而 q1 q2 和 q2 q1 僅當(dāng)i j二態(tài)相同時 才是一個對稱波函數(shù) 當(dāng)i j二態(tài)不同時 既不是對稱波函數(shù) 也不是反對稱波函數(shù) 所以 q1 q2 和 q2 q1 不能用來描寫全同粒子體系 構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù) C為歸一化系數(shù) 顯然 S q1 q2 和 A q1 q2 都是H的本征函數(shù) 本征值皆為 V S和 A的歸一化 若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的 則 q1 q2 和 q2 q1 也是正交歸一化的 證 同理 而 同理 證畢 首先證明 然后考慮 S和 A歸一化 則歸一化的 S 同理對 A有 上述討論是適用于二粒子間無相互作用的情況 當(dāng)粒子間有互作用時 但是下式仍然成立 歸一化的 S A依舊 因H的對稱性式2成立 1 Shrodinger方程的解 上述對2個全同粒子的討論可以推廣到N個全同粒子體系 設(shè)粒子間無互作用 單粒子H0不顯含時間 則體系 單粒子本征方程 二 N個全同粒子體系波函數(shù) 2 Bose子體系和波函數(shù)對稱化 2個Bose子體系 其對稱化波函數(shù)是 1 2粒子在i j態(tài)中的一種排列 N個Bose子體系 其對稱化波函數(shù)可類推是 N個粒子在i j k態(tài)中的一種排列 歸一化系數(shù) 對各種可能排列p求和 nk是單粒子態(tài) k上的粒子數(shù) 例 N 3Bose子體系 設(shè)有三個單粒子態(tài)分別記為 1 2 3 求 該體系對稱化的波函數(shù) I n1 n2 n3 1 II n1 3 n2 n3 0n2 3 n1 n3 0n3 3 n2 n1 0 III n1 2 n2 1 n3 0 另外還有5種可能的狀態(tài) 分別是 n1 1 n2 0 n3 2 n1 0 n2 1 n3 2 n1 0 n2 2 n3 1 n1 1 n2 2 n3 0 n1 2 n2 0 n3 1 附注 關(guān)于重復(fù)組合問題 從m個不同元素中每次取n個元素 元素可重復(fù)選取 不管排列順序構(gòu)成一組稱為重復(fù)組合 記為 m可大于 等于或小于n 重復(fù)組合與通常組合不同 其計算公式為 通常組合計算公式 重復(fù)組合計算公式表明 從m個不同元素中每次取n個元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從 m n 1 個不同元素中每次取n個元素的普通組合的種數(shù) 應(yīng)用重復(fù)組合 計算全同Bose子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的 如上例 求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問題實質(zhì)上就是一個從3個狀態(tài)中每次取3個狀態(tài)的重復(fù)組合問題 3 Fermi子體系和波函數(shù)反對稱化 2個Fermi子體系 其反對稱化波函數(shù)是 行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對稱化 推廣到N個Fermi子體系 兩點討論 I 行列式展開后 每一項都是單粒子波函數(shù)乘積形式 因而 A是本征方程H E 的解 II 交換任意兩個粒子 等價于行列式中相應(yīng)兩列對調(diào) 由行列式性質(zhì)可知 行列式要變號 故是反對稱化波函數(shù) 此行列式稱為Slater行列式 1 二Fermi子體系 其反對稱化波函數(shù)為 若二粒子處于相同態(tài) 例如都處于i態(tài) 則 寫成Slater行列式 兩行相同 行列式為0 2 NFermi子體系 三 Pauli原理 如果N個單粒子態(tài) i j k中有兩個相同 則行列式中有兩行相同 于是行列式為0 即 兩行同態(tài) 上述討論表明 NFermi子體系中 不能有2個或2個以上Fermi子處于同一狀態(tài) 這一結(jié)論稱為Pauli不相容原理 波函數(shù)的反對稱化保證了全同F(xiàn)ermi子體系的這一重要性質(zhì) 3 無自旋 軌道相互作用情況 在無自旋 軌道相互作用情況 或該作用很弱 從而可略時 體系總波函數(shù)可寫成空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)乘積形式 若是Fermi子體系 則 應(yīng)是反對稱化的 對2粒子情況 反對稱化可分別由 的對稱性保證 I 對稱 反對稱 II 反對稱 對稱 一 二電子波函數(shù)的構(gòu)成 二 總自旋S2 SZ算符的本征函數(shù) 三 二電子波函數(shù)的再解釋 8兩電子自旋波函數(shù) 返回 當(dāng)體系Hamilton量不含二電子自旋相互作用項時 二電子自旋波函數(shù) 單電子自旋波函數(shù) 可構(gòu)成4種相互獨立二電子自旋波函數(shù) 由此又可構(gòu)成4組具有一定對稱性的二電子自旋波函數(shù) 對稱波函數(shù) 反對稱波函數(shù) 一 二電子波函數(shù)的構(gòu)成 1 總自旋算符 二 總自旋S2 SZ算符的本征函數(shù) 2 S A是S2SZ的本征函數(shù) 證 計算表明 sI是S2和SZ的本征函數(shù) 其本征值分別為2 2和 相應(yīng)的自旋角動量量子數(shù)S 1 磁量子數(shù)mZ 1 同理可求得 上述結(jié)果表明 下面從兩個角動量耦合的觀點對二電子波函數(shù)作一解釋 以加深對此問題的理解 單電子自旋波函數(shù) 1 無耦合表象 2 耦合表象 耦合表象基矢 3 二表象基矢間的關(guān)系 耦合表象基矢按無耦合表象基矢展開 C G系數(shù) 三 二電子波函數(shù)的在解釋 S 1 ms 1 0 1 ms 1 ms 0 ms 1 S 0 ms 0 盡管氦原子在結(jié)構(gòu)上的簡單程度僅次于氫原子 但是對氦原子能級的解釋 Bohr理論遇到了嚴(yán)重的困難 其根本原因是在二電子情況下 必須考慮電子的自旋和Pauli不相容原理 一 氦原子Hamilton量 二 微擾法下氦原子的能級和波函數(shù) 三 討論 9氦原子 微擾法 返回 由于H中不含自旋變量 所以氦原子定態(tài)波函數(shù)可寫成空間坐標(biāo)波函數(shù)和自旋波函數(shù)乘積形式 空間坐標(biāo)波函數(shù)滿足