華科量子力學(xué)第六章

1電子的自旋 2電子的自旋算符和自旋波函數(shù) 3簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng) 4兩個(gè)角動(dòng)量耦合 5光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 6全同粒子的特性 7全同粒子體系波函數(shù)Pauli原理 8兩電子自旋波函數(shù) 9氦原子 微擾法 第六章自旋與全同粒子 返回 一 Stern Gerlach實(shí)驗(yàn) 二 光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu) 三 電子自旋假設(shè) 四 回轉(zhuǎn)磁比率 1電子的自旋 返回 1 實(shí)驗(yàn)描述 處于S態(tài)的氫原子 2 結(jié)論 I 氫原子有磁矩因在非均勻磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn) II 氫原子磁矩只有兩種取向即空間量子化的 S態(tài)的氫原子束流 經(jīng)非均勻磁場(chǎng)發(fā)生偏轉(zhuǎn) 在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線 一 Stern Gerlach實(shí)驗(yàn) 3 討論 磁矩與磁場(chǎng)之夾角 原子Z向受力 分析 若原子磁矩可任意取向 則cos 可在 1 1 之間連續(xù)變化 感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶 但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果是 出現(xiàn)的兩條分立線對(duì)應(yīng)cos 1和 1 處于S態(tài)的氫原子 0 沒(méi)有軌道磁矩 所以原子磁矩來(lái)自于電子的固有磁矩 即自旋磁矩 鈉原子光譜中的一條亮黃線 5893 用高分辨率的光譜儀觀測(cè) 可以看到該譜線其實(shí)是由靠的很近的兩條譜線組成 其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些線組成的現(xiàn)象 稱之為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu) 該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能得到解釋 二 光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu) Uhlenbeck和Goudsmit1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè) 1 每個(gè)電子都具有自旋角動(dòng)量 它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值 2 每個(gè)電子都具有自旋磁矩 它與自旋角動(dòng)量的關(guān)系為 自旋磁矩 在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值 Bohr磁子 三 電子自旋假設(shè) 1 電子回轉(zhuǎn)磁比率 我們知道 軌道角動(dòng)量與軌道磁矩的關(guān)系是 2 軌道回轉(zhuǎn)磁比率 則 軌道回轉(zhuǎn)磁比率為 可見(jiàn)電子回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍 四 回轉(zhuǎn)磁比率 2電子的自旋算符和自旋波函數(shù) 返回 自旋角動(dòng)量是純量子概念 它不可能用經(jīng)典力學(xué)來(lái)解釋 自旋角動(dòng)量也是一個(gè)力學(xué)量 但是它和其他力學(xué)量有著根本的差別 通常的力學(xué)量都可以表示為坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù) 而自旋角動(dòng)量則與電子的坐標(biāo)和動(dòng)量無(wú)關(guān) 它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征 是描寫(xiě)電子狀態(tài)的第四個(gè)自由度 第四個(gè)變量 與其他力學(xué)量一樣 自旋角動(dòng)量也是用一個(gè)算符描寫(xiě) 記為 自旋角動(dòng)量軌道角動(dòng)量異同點(diǎn) 與坐標(biāo) 動(dòng)量無(wú)關(guān) 不適用 同是角動(dòng)量 滿足同樣的角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系 一 自旋算符 由于自旋角動(dòng)量在空間任意方向上的投影只能取 2兩個(gè)值 算符的本征值是 仿照 自旋量子數(shù)s只有一個(gè)數(shù)值 因?yàn)樽孕请娮觾?nèi)部運(yùn)動(dòng)自由度 所以描寫(xiě)電子運(yùn)動(dòng)除了用 x y z 三個(gè)坐標(biāo)變量外 還需要一個(gè)自旋變量 SZ 于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫(xiě)為 由于SZ只取 2兩個(gè)值 所以上式可寫(xiě)為兩個(gè)分量 寫(xiě)成列矩陣 規(guī)定列矩陣第一行對(duì)應(yīng)于Sz 2 第二行對(duì)應(yīng)于Sz 2 若已知電子處于Sz 2或Sz 2的自旋態(tài) 則波函數(shù)可分別寫(xiě)為 二 含自旋的狀態(tài)波函數(shù) 1 SZ的矩陣形式 電子自旋算符 如SZ 是作用與電子自旋波函數(shù)上的 既然電子波函數(shù)表示成了2 1的列矩陣 那末 電子自旋算符的矩陣表示應(yīng)該是2 2矩陣 因?yàn)?1 2描寫(xiě)的態(tài) SZ有確定值 2 所以 1 2是SZ的本征態(tài) 本征值為 2 即有 矩陣形式 同理對(duì) 1 2處理 有 最后得SZ的矩陣形式 SZ是對(duì)角矩陣 對(duì)角矩陣元是其本征值 2 三 自旋算符的矩陣表示與Pauli矩陣 2 Pauli算符 1 Pauli算符的引進(jìn) 因?yàn)镾x Sy Sz的本征值都是 2 所以 x y z的本征值都是 1 x2 y2 Z2的本征值都是 即 2 反對(duì)易關(guān)系 基于 的對(duì)易關(guān)系 可以證明 各分量之間滿足反對(duì)易關(guān)系 證 左乘 y 右乘 y 同理可證 x y分量的反對(duì)易關(guān)系亦成立 證畢 或 由對(duì)易關(guān)系和反對(duì)易關(guān)系還可以得到關(guān)于Pauli算符的如下非常有用性質(zhì) y2 1 3 Pauli算符的矩陣形式 根據(jù)定義 求Pauli算符的其他兩個(gè)分量 令 X簡(jiǎn)化為 令 c exp i 為實(shí) 則 由力學(xué)量算符厄密性 得 b c 或c b x2 I 求 y的矩陣形式 這里有一個(gè)相位不定性 習(xí)慣上取 0 于是得到Pauli算符的矩陣形式為 從自旋算符與Pauli矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示 寫(xiě)成矩陣形式 1 歸一化 波函數(shù)的歸一化時(shí)必須同時(shí)對(duì)自旋求和和對(duì)空間坐標(biāo)積分 即 2 幾率密度 表示t時(shí)刻在r點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到電子的幾率 表示t時(shí)刻r點(diǎn)處單位體積內(nèi)找到自旋Sz 2的電子的幾率 表示t時(shí)刻r點(diǎn)處單位體積內(nèi)找到自旋Sz 2的電子的幾率 在全空間找到Sz 2的電子的幾率 在全空間找到Sz 2的電子的幾率 四 含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度 波函數(shù) 這是因?yàn)?通常自旋和軌道運(yùn)動(dòng)之間是有相互作用的 所以電子的自旋狀態(tài)對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)有影響 但是 當(dāng)這種相互作用很小時(shí) 可以將其忽略 則 1 2對(duì) x y z 的依賴一樣 即函數(shù)形式是相同的 此時(shí) 可以寫(xiě)成如下形式 求 自旋波函數(shù) Sz SZ的本征方程 令 一般情況下 1 2 二者對(duì) x y z 的依賴是不一樣的 五 自旋波函數(shù) 因?yàn)镾z是2 2矩陣 所以在S2 Sz為對(duì)角矩陣的表象內(nèi) 1 2 1 2都應(yīng)是2 1的列矩陣 代入本征方程得 由歸一化條件確定a1 所以 二者是屬于不同本征值的本征函數(shù) 彼此應(yīng)該正交 引進(jìn)自旋后 任一自旋算符的函數(shù)G在Sz表象表示為2 2矩陣 算符G在任意態(tài) 中對(duì)自旋求平均的平均值 算符G在 態(tài)中對(duì)坐標(biāo)和自旋同時(shí)求平均的平均值是 六 力學(xué)量平均值 3簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng) 返回 塞曼效應(yīng) 氫原子和類氫原子在外磁場(chǎng)中 其光譜線發(fā)生分裂的現(xiàn)象 該現(xiàn)象在1896年被Zeeman首先觀察到 1 簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng) 在強(qiáng)磁場(chǎng)作用下 光譜線的分裂現(xiàn)象 2 復(fù)雜塞曼效應(yīng) 當(dāng)外磁場(chǎng)較弱 軌道 自旋相互作用不能忽略時(shí) 將產(chǎn)生復(fù)雜塞曼效應(yīng) 一 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象 取外磁場(chǎng)方向沿Z向 則磁場(chǎng)引起的附加能 CGS制 為 磁場(chǎng)沿Z向 二 Schrodinger方程 考慮強(qiáng)磁場(chǎng)忽略自旋 軌道相互作用 體系Schrodinger方程 二 氫 類氫原子在外場(chǎng)中的附加能 根據(jù)上節(jié)分析 沒(méi)有自旋 軌道相互作用的波函數(shù)可寫(xiě)成 代入S 方程 最后得 1滿足的方程 同理得 2滿足的方程 1 當(dāng)B 0時(shí) 無(wú)外場(chǎng) 是有心力場(chǎng)問(wèn)題 方程退化為不考慮自旋時(shí)的情況 其解為 I 對(duì)氫原子情況 II 對(duì)類氫原子情況 如Li Na 等堿金屬原子 核外電子對(duì)核庫(kù)侖場(chǎng)有屏蔽作用 此時(shí)能級(jí)不僅與n有關(guān) 而且與 有關(guān) 記為En 則有心力場(chǎng)方程可寫(xiě)為 三 求解Schrodinger方程 由于 2 當(dāng)B 0時(shí) 有外場(chǎng) 時(shí) 所以在外磁場(chǎng)下 n m仍為方程的解 此時(shí) 同理 1 分析能級(jí)公式可知 在外磁場(chǎng)下 能級(jí)與n l m有關(guān) 原來(lái)m不同能量相同的簡(jiǎn)并現(xiàn)象被外磁場(chǎng)消除了 2 外磁場(chǎng)存在時(shí) 能量與自旋狀態(tài)有關(guān) 當(dāng)原子處于S態(tài)時(shí) l 0 m 0的原能級(jí)Enl分裂為二 這正是Stern Gerlach實(shí)驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象 四 簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng) 3 光譜線分裂 I B 0無(wú)外磁場(chǎng)時(shí) 電子從En 到En 的躍遷的譜線頻率為 II B 0有外磁場(chǎng)時(shí) 根據(jù)上一章選擇定則可知 所以譜線角頻率可取三值 無(wú)磁場(chǎng)時(shí)的一條譜線被分裂成三條譜線 Sz 2時(shí) 取 Sz 2時(shí) 取 我們已分別討論過(guò)了只有L和只有S的情況 忽略了二者之間的相互作用 實(shí)際上 在二者都存在的情況下 就必須同時(shí)考慮軌道角動(dòng)量和自旋 也就是說(shuō) 需要研究L與S的耦合問(wèn)題 下面我們普遍討論一下兩個(gè)角動(dòng)量的耦合問(wèn)題 一 總角動(dòng)量 二 耦合表象和無(wú)耦合表象 4兩個(gè)角動(dòng)量耦合 返回 設(shè)有J1 J2兩個(gè)角動(dòng)量 分別滿足如下角動(dòng)量對(duì)易關(guān)系 因?yàn)槎呤窍嗷オ?dú)立的角動(dòng)量 所以相互對(duì)易 即 其分量對(duì)易關(guān)系可寫(xiě)為 證 同理 對(duì)其他分量成立 證畢 一 總角動(dòng)量 證 同理 對(duì)其他分量亦滿足 證 上面最后一步證明中 使用了如下對(duì)易關(guān)系 由上面證明過(guò)程可以看出 若對(duì)易括號(hào)將J12用J1代替 顯然有如下關(guān)系 這是因?yàn)?證 1 本征函數(shù) 也兩兩對(duì)易 故也有共同完備的本征函數(shù)系 記為 耦合表象基矢 非耦合表象基矢 二 耦合表象和無(wú)耦合表象 由于這兩組基矢都是正交歸一完備的 所以可以相互表示 即 稱為矢量耦合系數(shù)或Clebsch Gorldon系數(shù) 于是上式求和只需對(duì)m2進(jìn)行即可 考慮到m1 m m2 則上式可改寫(xiě)為 或 2 C G系數(shù)的么正性 我們知道 兩個(gè)表象之間的么正變換有一個(gè)相位不定性 如果取適當(dāng)?shù)南辔灰?guī)定 就可以使C G系數(shù)為實(shí)數(shù) 共軛式 將上式左乘 j1j2j m 并考慮正交歸一關(guān)系 對(duì)m m m m 1 于是 將 j1 m1 j2 m2 用耦合表象基矢 j1 j2 j m 展開(kāi) C G系數(shù)實(shí)數(shù)性 共軛式 左乘上式 并注意非耦合表象基矢的正交歸一性 對(duì)m2 m2情況 得 考慮到上式兩個(gè)C G系數(shù)中總磁量子數(shù)與分量子數(shù)之間的關(guān)系 m2 m m 1和m2 m m1最后得 3 j的取值范圍 j與j1 j2的關(guān)系 1 對(duì)給定j1j2 求jmax 因?yàn)閙m1m2取值范圍分別是 m j j 1 j 1 j mmax j m1 j1 j1 1 j1 1 j1 m1 max j1 m2 j2 j2 1 j2 1 j2 m2 max j2 再考慮到m m1 m2 則有 mmax m1 max m2 max j jmax 于是 jmax j1 j2 2 求jmin 由于基矢 j1m1 j2m2 對(duì)給定的j1j2分別有2j1 1和2j2 1個(gè) 所以非耦合表象的基矢 j1 m1 j2 m2 j1 m1 j2 m2 的數(shù)目為 2j1 1 2j2 1 個(gè) 另一方面 對(duì)于一個(gè)j值 j1 j2 j m 基矢有2j 1個(gè) 那末j從jmin到j(luò)max的所有基矢數(shù)則由下式給出 等差級(jí)數(shù)求和公式 Jmax j1 j2 由于非耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨(dú)立的 等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等 所以耦合表象基矢 j1 j2 j m 的數(shù)亦應(yīng)等于 2j1 1 2j2 1 個(gè) 從非耦合表象到耦合表象的變換由下式給出 等式兩邊基矢數(shù)應(yīng)該相等 于是 j1 j2 1 2 jmin2 2j1 1 2j2 1 從而可解得 jmin j1 j2 3 j的取值范圍 由于j只取 0的數(shù) 所以當(dāng)j1j2給定后 j的可能取值由下式給出 j j1 j2 j1 j2 1 j1 j2 2 j1 j2 該結(jié)論與舊量子論中角動(dòng)量求和規(guī)則相符合 j1 j2和j所滿足的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系 表示為 j1 j2 j 求得j m后 J2 Jz的本征值問(wèn)題就得到解決 本征矢 作為一個(gè)例子下面列出了電子自旋角動(dòng)量j2 1 2情況下幾個(gè)C G系數(shù)公式 將這些系數(shù)代入本征矢表達(dá)式可得 一 復(fù)習(xí)類氫原子能譜 無(wú)自旋軌道作用 二 有自旋軌道相互作用情況 1 無(wú)耦合表象 2 耦合表象 1 Hamilton量 2 微擾法求解 3 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 4 零級(jí)近似波函數(shù) 本節(jié)討論無(wú)外場(chǎng)作用下 考慮電子自旋對(duì)類氫原子能級(jí)和譜線的影響 5光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 返回 1 無(wú)耦合表象 類氫原子Hamilton量 對(duì)類氫原子在不考慮核外電子對(duì)核電得屏蔽效應(yīng)情況下 勢(shì)場(chǎng)可寫(xiě)為 因?yàn)镠0 L2 Lz和Sz兩兩對(duì)易 所以它們有共同完備得本征函數(shù) 無(wú)耦合表象基矢 可見(jiàn)電子狀態(tài)由n l ml ms四個(gè)量子數(shù)確定 能級(jí)公式 只與n有關(guān) 能級(jí)簡(jiǎn)并度 不計(jì)電子自旋時(shí) 是n2度簡(jiǎn)并 考慮電子自旋后 因ms有二值 故En是2n2度簡(jiǎn)并 一 復(fù)習(xí)類氫原子能譜 無(wú)自旋軌道作用 2 耦合表象 電子總角動(dòng)量 因?yàn)長(zhǎng)2 S2 J2 Jz兩兩對(duì)易且與H0對(duì)易 故體系定態(tài)也可寫(xiě)成它們得共同本征函數(shù) 耦合表象基矢 電子狀態(tài)用n l j m四個(gè)量子數(shù)確定 1 Hamilton量 基于相對(duì)論量子力學(xué)和實(shí)驗(yàn)依據(jù) L S自旋軌道作用可以表示為 稱為自旋軌道耦合項(xiàng) 二 有自旋軌道相互作用情況 于是體系Hamilton量 由于H中包含有自旋 軌道耦合項(xiàng) 所以Lz Sz與H不再對(duì)易 二者不再是守恒量 相應(yīng)的量子數(shù)ml ms都不是好量子數(shù)了 不能用以描寫(xiě)電子狀態(tài) 現(xiàn)在好量子數(shù)是l j m 這是因?yàn)槠湎鄳?yīng)的力學(xué)量算符L2 J2 Jz都與H對(duì)易的緣故 證 所以L2 J2 Jz都與H 對(duì)易從而也與H對(duì)易 2 微擾法求解 因?yàn)镠0的本征值是簡(jiǎn)并的 因此需要使用簡(jiǎn)并微擾法求解 H0的波函數(shù)有兩套 耦合表象波函數(shù)和非耦合表象波函數(shù) 為方便計(jì) 我們選取耦合表象波函數(shù)作為零級(jí)近似波函數(shù) 之所以方便 是因?yàn)槲_Hamilton量H 在耦合表象矩陣是對(duì)角化的 而簡(jiǎn)并微擾法解久期方程的本質(zhì)就是尋找正確的零級(jí)波函數(shù)是H 對(duì)角化 這樣我們就可以省去求解久期方程的步驟 令 展開(kāi)系數(shù)滿足如下方程 其中矩陣元 下面我們計(jì)算此矩陣元 其中 代入關(guān)于Cljm的方程得 為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)捷將l j m 用ljm代替 由于Cljm 0 所以能量一級(jí)修正 3 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 1 簡(jiǎn)并性 由上式給出的能量一級(jí)修正可以看出 L S耦合使原來(lái)簡(jiǎn)并能級(jí)分裂開(kāi)來(lái) 簡(jiǎn)并消除 但是是部分消除 這是因?yàn)镋nlj 1 仍與m無(wú)關(guān) 同一j值 m可取2j 1個(gè)值 所以還有2j 1度簡(jiǎn)并 2 精細(xì)結(jié)構(gòu) 對(duì)給定的n 值 j 1 2 有二值 0除外 具有相同n 的能級(jí)有二個(gè) 由于 r 通常很小 所以這二個(gè)能級(jí)間距很小 這就是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因 例 鈉原子2p項(xiàng)精細(xì)結(jié)構(gòu) 求 關(guān)于上式積分具體計(jì)算參見(jiàn)E U CondonandG H Shortley TheTheoryofAtomicSpectra p 120 125 原能級(jí)分裂為 4 零級(jí)近似波函數(shù) 波函數(shù)的零級(jí)近似取為 nljm對(duì)不同m的線性組合 也可以就直接取為 nljm因?yàn)槲_Hamilton量H 在該態(tài)的矩陣元已是對(duì)角化的了 上述波函數(shù)是耦合表象基矢 表示成相應(yīng)的Dirac符號(hào)后并用非耦合表象基矢表示出來(lái) 上述討論適用于 0的情況 當(dāng) 0時(shí) 沒(méi)有自旋軌道耦合作用 因而能級(jí)不發(fā)生移動(dòng) 作業(yè) 周世勛 量子力學(xué)教程 7 2 7 4 7 5 7 7曾謹(jǐn)言 量子力學(xué)導(dǎo)論 8 1 8 5 8 6 9 6 一 全同粒子和全同性原理 二 波函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì) 三 波函數(shù)對(duì)稱性的不隨時(shí)間變化 四 Fermi子和Bose子 6全同粒子的特性 返回 1 全同粒子 質(zhì)量 電荷 自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子 2 經(jīng)典粒子的可區(qū)分性 經(jīng)典力學(xué)中 固有性質(zhì)完全相同的兩個(gè)粒子 是可以區(qū)分的 因?yàn)槎Ｗ釉谶\(yùn)動(dòng)中 有各自確定的軌道 在任意時(shí)刻都有確定的位置和速度 可判斷哪個(gè)是第一個(gè)粒子哪個(gè)是第二個(gè)粒子 一 全同粒子和全同性原理 3 微觀粒子的不可區(qū)分性 量子力學(xué) 在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的 4 全同性原理 全同粒子所組成的體系中 二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變 全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一 1 Hamilton算符的對(duì)稱性 N個(gè)全同粒子組成的體系 其Hamilton量為 調(diào)換第i和第j粒子 體系Hamilton量不變 即 表明 N個(gè)全同粒子組成的體系的Hamilton量具有交換對(duì)稱性 交換任意兩個(gè)粒子坐標(biāo) qi qj 后不變 二 波函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì) 2 對(duì)稱和反對(duì)稱波函數(shù) 考慮全同粒子體系的含時(shí)Shrodinger方程 將方程中 qi qj 調(diào)換 得 由于Hamilton量對(duì)于 qi qj 調(diào)換不變 表明 qi qj 調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrodinger方程的解 因此 二者相差一常數(shù)因子 再做一次 qi qj 調(diào)換 對(duì)稱波函數(shù) 反對(duì)稱波函數(shù) 引入粒子坐標(biāo)交換算符 全同粒子體系波函數(shù)的這種對(duì)稱性不隨時(shí)間變化 即初始時(shí)刻是對(duì)稱的 以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是對(duì)稱的 初始時(shí)刻是反對(duì)稱的 以后時(shí)刻永遠(yuǎn)是反對(duì)稱的 證 方法I 設(shè)全同粒子體系波函數(shù) s在t時(shí)刻是對(duì)稱的 由體系哈密頓量是對(duì)稱的 所以H s在t時(shí)刻也是對(duì)稱的 在t dt時(shí)刻 波函數(shù)變化為 對(duì)稱 對(duì)稱 二對(duì)稱波函數(shù)之和仍是對(duì)稱的 依次類推 在以后任何時(shí)刻 波函數(shù)都是對(duì)稱的 同理可證 t時(shí)刻是反對(duì)稱的波函數(shù) a 在t以后任何時(shí)刻都是反對(duì)稱的 三 波函數(shù)對(duì)稱性的不隨時(shí)間變化 方法II 全同粒子體系哈密頓量是對(duì)稱的 結(jié)論 描寫(xiě)全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的 其對(duì)稱性不隨時(shí)間改變 如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱 或反對(duì)稱 態(tài)上 則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱 或反對(duì)稱 態(tài)上 實(shí)驗(yàn)表明 對(duì)于每一種粒子 它們的多粒子波函數(shù)的交換對(duì)稱性是完全確定的 而且該對(duì)稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系 1 Bose子 凡自旋為 整數(shù)倍 s 0 1 2 的粒子 其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換2個(gè)粒子總是對(duì)稱的 遵從Bose統(tǒng)計(jì) 故稱為Bose子 如 光子 s 1 介子 s 0 四 Fermi子和Bose子 2 Fermi子 凡自旋為 半奇數(shù)倍 s 1 2 3 2 的粒子 其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換2個(gè)粒子總是反對(duì)稱的 遵從Fermi統(tǒng)計(jì) 故稱為Fermi子 例如 電子 質(zhì)子 中子 s 1 2 等粒子 3 由 基本粒子 組成的復(fù)雜粒子 如 粒子 氦核 或其他原子核 如果在所討論或過(guò)程中 內(nèi)部狀態(tài)保持不變 即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié) 則全同概念仍然適用 可以作為一類全同粒子來(lái)處理 偶數(shù)個(gè)Fermi子組成 Bose子組成 奇數(shù)個(gè)Fermi子組成 奇數(shù)個(gè)Fermi子組成 一 2個(gè)全同粒子波函數(shù) 二 N個(gè)全同粒子體系波函數(shù) 三 Pauli原理 7全同粒子體系波函數(shù)Pauli原理 返回 1 對(duì)稱和反對(duì)稱波函數(shù)的構(gòu)成 I2個(gè)全同粒子Hamilton量 II單粒子波函數(shù) 一 2個(gè)全同粒子波函數(shù) III交換簡(jiǎn)并 粒子1在i態(tài) 粒子2在j態(tài) 則體系能量和波函數(shù)為 驗(yàn)證 粒子2在i態(tài) 粒子1在j態(tài) 則體系能量和波函數(shù)為 IV滿足對(duì)稱條件波函數(shù)的構(gòu)成 全同粒子體系要滿足對(duì)稱性條件 而 q1 q2 和 q2 q1 僅當(dāng)i j二態(tài)相同時(shí) 才是一個(gè)對(duì)稱波函數(shù) 當(dāng)i j二態(tài)不同時(shí) 既不是對(duì)稱波函數(shù) 也不是反對(duì)稱波函數(shù) 所以 q1 q2 和 q2 q1 不能用來(lái)描寫(xiě)全同粒子體系 構(gòu)造具有對(duì)稱性的波函數(shù) C為歸一化系數(shù) 顯然 S q1 q2 和 A q1 q2 都是H的本征函數(shù) 本征值皆為 V S和 A的歸一化 若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的 則 q1 q2 和 q2 q1 也是正交歸一化的 證 同理 而 同理 證畢 首先證明 然后考慮 S和 A歸一化 則歸一化的 S 同理對(duì) A有 上述討論是適用于二粒子間無(wú)相互作用的情況 當(dāng)粒子間有互作用時(shí) 但是下式仍然成立 歸一化的 S A依舊 因H的對(duì)稱性式2成立 1 Shrodinger方程的解 上述對(duì)2個(gè)全同粒子的討論可以推廣到N個(gè)全同粒子體系 設(shè)粒子間無(wú)互作用 單粒子H0不顯含時(shí)間 則體系 單粒子本征方程 二 N個(gè)全同粒子體系波函數(shù) 2 Bose子體系和波函數(shù)對(duì)稱化 2個(gè)Bose子體系 其對(duì)稱化波函數(shù)是 1 2粒子在i j態(tài)中的一種排列 N個(gè)Bose子體系 其對(duì)稱化波函數(shù)可類推是 N個(gè)粒子在i j k態(tài)中的一種排列 歸一化系數(shù) 對(duì)各種可能排列p求和 nk是單粒子態(tài) k上的粒子數(shù) 例 N 3Bose子體系 設(shè)有三個(gè)單粒子態(tài)分別記為 1 2 3 求 該體系對(duì)稱化的波函數(shù) I n1 n2 n3 1 II n1 3 n2 n3 0n2 3 n1 n3 0n3 3 n2 n1 0 III n1 2 n2 1 n3 0 另外還有5種可能的狀態(tài) 分別是 n1 1 n2 0 n3 2 n1 0 n2 1 n3 2 n1 0 n2 2 n3 1 n1 1 n2 2 n3 0 n1 2 n2 0 n3 1 附注 關(guān)于重復(fù)組合問(wèn)題 從m個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素 元素可重復(fù)選取 不管排列順序構(gòu)成一組稱為重復(fù)組合 記為 m可大于 等于或小于n 重復(fù)組合與通常組合不同 其計(jì)算公式為 通常組合計(jì)算公式 重復(fù)組合計(jì)算公式表明 從m個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的重復(fù)組合的種數(shù)等于從 m n 1 個(gè)不同元素中每次取n個(gè)元素的普通組合的種數(shù) 應(yīng)用重復(fù)組合 計(jì)算全同Bose子體系可能狀態(tài)總數(shù)是很方便的 如上例 求體系可能狀態(tài)總數(shù)的問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)從3個(gè)狀態(tài)中每次取3個(gè)狀態(tài)的重復(fù)組合問(wèn)題 3 Fermi子體系和波函數(shù)反對(duì)稱化 2個(gè)Fermi子體系 其反對(duì)稱化波函數(shù)是 行列式的性質(zhì)保證了波函數(shù)反對(duì)稱化 推廣到N個(gè)Fermi子體系 兩點(diǎn)討論 I 行列式展開(kāi)后 每一項(xiàng)都是單粒子波函數(shù)乘積形式 因而 A是本征方程H E 的解 II 交換任意兩個(gè)粒子 等價(jià)于行列式中相應(yīng)兩列對(duì)調(diào) 由行列式性質(zhì)可知 行列式要變號(hào) 故是反對(duì)稱化波函數(shù) 此行列式稱為Slater行列式 1 二Fermi子體系 其反對(duì)稱化波函數(shù)為 若二粒子處于相同態(tài) 例如都處于i態(tài) 則 寫(xiě)成Slater行列式 兩行相同 行列式為0 2 NFermi子體系 三 Pauli原理 如果N個(gè)單粒子態(tài) i j k中有兩個(gè)相同 則行列式中有兩行相同 于是行列式為0 即 兩行同態(tài) 上述討論表明 NFermi子體系中 不能有2個(gè)或2個(gè)以上Fermi子處于同一狀態(tài) 這一結(jié)論稱為Pauli不相容原理 波函數(shù)的反對(duì)稱化保證了全同F(xiàn)ermi子體系的這一重要性質(zhì) 3 無(wú)自旋 軌道相互作用情況 在無(wú)自旋 軌道相互作用情況 或該作用很弱 從而可略時(shí) 體系總波函數(shù)可寫(xiě)成空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)乘積形式 若是Fermi子體系 則 應(yīng)是反對(duì)稱化的 對(duì)2粒子情況 反對(duì)稱化可分別由 的對(duì)稱性保證 I 對(duì)稱 反對(duì)稱 II 反對(duì)稱 對(duì)稱 一 二電子波函數(shù)的構(gòu)成 二 總自旋S2 SZ算符的本征函數(shù) 三 二電子波函數(shù)的再解釋 8兩電子自旋波函數(shù) 返回 當(dāng)體系Hamilton量不含二電子自旋相互作用項(xiàng)時(shí) 二電子自旋波函數(shù) 單電子自旋波函數(shù) 可構(gòu)成4種相互獨(dú)立二電子自旋波函數(shù) 由此又可構(gòu)成4組具有一定對(duì)稱性的二電子自旋波函數(shù) 對(duì)稱波函數(shù) 反對(duì)稱波函數(shù) 一 二電子波函數(shù)的構(gòu)成 1 總自旋算符 二 總自旋S2 SZ算符的本征函數(shù) 2 S A是S2SZ的本征函數(shù) 證 計(jì)算表明 sI是S2和SZ的本征函數(shù) 其本征值分別為2 2和 相應(yīng)的自旋角動(dòng)量量子數(shù)S 1 磁量子數(shù)mZ 1 同理可求得 上述結(jié)果表明 下面從兩個(gè)角動(dòng)量耦合的觀點(diǎn)對(duì)二電子波函數(shù)作一解釋 以加深對(duì)此問(wèn)題的理解 單電子自旋波函數(shù) 1 無(wú)耦合表象 2 耦合表象 耦合表象基矢 3 二表象基矢間的關(guān)系 耦合表象基矢按無(wú)耦合表象基矢展開(kāi) C G系數(shù) 三 二電子波函數(shù)的在解釋 S 1 ms 1 0 1 ms 1 ms 0 ms 1 S 0 ms 0 盡管氦原子在結(jié)構(gòu)上的簡(jiǎn)單程度僅次于氫原子 但是對(duì)氦原子能級(jí)的解釋 Bohr理論遇到了嚴(yán)重的困難 其根本原因是在二電子情況下 必須考慮電子的自旋和Pauli不相容原理 一 氦原子Hamilton量 二 微擾法下氦原子的能級(jí)和波函數(shù) 三 討論 9氦原子 微擾法 返回 由于H中不含自旋變量 所以氦原子定態(tài)波函數(shù)可寫(xiě)成空間坐標(biāo)波函數(shù)和自旋波函數(shù)乘積形式 空間坐標(biāo)波函數(shù)滿足