人教A版高中數(shù)學(xué)必修5第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理教案(3).doc

第一章 解三角形1.1.1 正弦定理一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)通過(guò)學(xué)習(xí)正弦定理,初步形成基本的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.2.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過(guò)特殊三角形,了解三角形的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系.（2）能證明正弦定理.（3）應(yīng)用正弦定理解決三角形相應(yīng)問(wèn)題.3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)理解正弦定理,會(huì)用正弦定理解兩類三角形問(wèn)題.4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)正弦定理的證明與三角形解的個(gè)數(shù)的判斷.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1閱讀教材P1P4.思考:正弦定理的內(nèi)容是什么?你還有哪些方法可以證明正弦定理?正弦定理有哪些應(yīng)用?任務(wù)2默寫(xiě)正弦定理的具體內(nèi)容,查閱三角形面積的計(jì)算公式并進(jìn)行整理.2.預(yù)習(xí)自測(cè)1.在一個(gè)三角形中,各邊和它對(duì)角的（ ）的比相等.A.正弦B.余弦C.正切D.角度答案:A.解析:考查正弦定理的定義: 一個(gè)三角形中,各邊和所對(duì)角的正弦之比相等,且該比值等于該三角形 外接圓的直徑長(zhǎng)度.2.下列各式可以表示ABC的面積的是（ ）A.absinAB.absinBC.absinCD.absinC答案:C.解析:考查三角形面積公式,SabsinCacsinBbcsinA.3.在正弦定理中的值表示ABC的（ ）A.內(nèi)切圓半徑B.內(nèi)切圓直徑C.外接圓半徑D.外接圓直徑答案:D.解析:一個(gè)三角形中,各邊和所對(duì)角的正弦之比相等,且該比值等于該三角形外接圓的直徑長(zhǎng)度.（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）三角形內(nèi)角和為.（2）三角形中兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.（3）在三角形中大邊對(duì)大角.（4）三角形的面積:S（其中ha,hb,hc分別為邊a,b,c上的高）.（5）我們預(yù)習(xí)本課的正弦定理是什么?有哪些方法可以證明呢?2.問(wèn)題探究問(wèn)題探究一 直角三角形的邊角有哪些關(guān)系? 活動(dòng)一 回顧舊知,回憶邊角關(guān)系在初中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)如何解直角三角形,那么在直角三角形中的邊角關(guān)系有哪些呢?通過(guò)作出直角三角形,尋找直角三角形中的邊角關(guān)系.在直角三角形中,若C為直角,銳角A的正弦sinA.同理,sinB.活動(dòng)二 整合舊知,探求邊角新關(guān)系結(jié)合三角函數(shù),你有哪些與眾不同的發(fā)現(xiàn)?在以上直角ABC中,根據(jù)正弦函數(shù)的定義有:,即,.問(wèn)題探究二 上述邊角關(guān)系對(duì)任意三角形都成立嗎?試證明. 重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)活動(dòng)一 大膽猜想,幾何畫(huà)板來(lái)幫忙我們猜想在任意三角形中,都有.為提高直觀認(rèn)識(shí),我們先利用幾何畫(huà)板先作出一個(gè)三角形,度量出三個(gè)內(nèi)角大小及三邊的長(zhǎng)度,分別計(jì)算的值,并觀察三個(gè)值的關(guān)系.然后,再改變?nèi)切涡螤?再觀察三個(gè)比值的變化情況.可以看到,不論三角形如何變化,.活動(dòng)二 集思廣益,證明正弦定理你能在一般的三角形中證明這個(gè)結(jié)論嗎?在銳角ABC中,你能找出asinB,bsinA表示的具體線段嗎?它們的幾何意義是什么?在銳角ABC中,表示的線段都是AB邊上的高CD.因而,有asinBbsinA,則,同理,我們可以得到.在鈍角三角形中是否也能用類似方法證明呢?不妨設(shè)B為鈍角,如圖,因而,有,則,同理,我們可以得到.正弦定理:對(duì)于任意的一個(gè)三角形,都有.活動(dòng)三 反思過(guò)程,發(fā)現(xiàn)面積新公式結(jié)合asinB,bsinA的幾何意義,你能不能得到三角形的面積公式的另外一種形式?由以上探究活動(dòng),asinB,bsinA的幾何意義為AB邊上的高CD,則由三角形面積,有,或,以此類推,還有.所以.活動(dòng)四 利用外接圓,重新認(rèn)識(shí)正弦定理結(jié)合ABC的外接圓,試探究的幾何意義.設(shè)O為ABC的外接圓,連接CO并延長(zhǎng)交O于點(diǎn)A,連接AB,則AA,在ABC中,AC為直徑,則ABC為直角,故,其中R為三角形外接圓的半徑.通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸的思想,將A轉(zhuǎn)化為A,最關(guān)鍵的是將一般三角形中a與A的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直角三角形中的a與A的關(guān)系,不難得到2R,則.以上過(guò)程也是證明正弦定理的另一種方法,你還能想出哪些證明正弦定理的方法?結(jié)合活動(dòng)三得到的三角形的面積公式,我們還可以哪些形式多樣的面積公式?我們可以得到等形式.問(wèn)題探究三 利用正弦定理能解決哪些三角形的問(wèn)題? 重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)活動(dòng)一 初步運(yùn)用,運(yùn)用定理解三角形一般地,我們把三角形的三個(gè)角A,B,C和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.利用正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問(wèn)題?例1 在ABC中,已知A30,B45,a2,解此三角形.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】詳解:根據(jù)三角形內(nèi)角和定理,C180(AB)105,根據(jù)正弦定理,b,c.點(diǎn)撥:正弦定理是對(duì)邊對(duì)角的關(guān)系,在已知一內(nèi)角的條件下,找出該角的對(duì)邊,或知道一邊的情況下,尋求該邊的對(duì)角,注意三角形內(nèi)角和為180這個(gè)條件的運(yùn)用.在解三角形時(shí),我們?cè)谥廊切蔚娜齻€(gè)元素（至少有一邊）時(shí),可以求出另三個(gè)元素,稱“知三求三”.例2 在ABC中,已知A60,a3,b,解三角形.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】詳解:根據(jù)正弦定理,且ba,則BA,故B45,所以C75,.點(diǎn)撥:在已知一角和兩邊（其中一邊為該角的對(duì)邊）的條件下,用正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值,一般可以運(yùn)用大邊對(duì)大角或三角形內(nèi)角和定理對(duì)結(jié)果進(jìn)行篩選或排除,當(dāng)然可以兩者結(jié)合使用.例3在ABC中,已知A45,a2,b,解三角形.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:分類討論、數(shù)形結(jié)合】詳解:根據(jù)正弦定理,sinB,且ba,則BA,故B60或120,當(dāng)B60時(shí),C75,解得；當(dāng)B120時(shí),C15,解得.點(diǎn)撥:和例2類似,已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,用正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值,此時(shí)這個(gè)角有銳角和鈍角兩種情況,注意分類討論,切不可先入為主的認(rèn)為B60而造成漏解.活動(dòng)二 對(duì)比提升,判斷三角形解的個(gè)數(shù)比較例2和例3,對(duì)于任意給定兩邊和其中一邊的對(duì)角,三角形唯一確定嗎?如何討論滿足條件的三角形的解的個(gè)數(shù)?在ABC中,已知a,b,A,結(jié)合例2、例3分析,在求出sinB后,B的解的個(gè)數(shù)決定了三角形解的個(gè)數(shù).不難看到,當(dāng)A為直角或鈍角時(shí),ab,B必為銳角,有唯一解；ab,無(wú)解.當(dāng)A為銳角時(shí),我們可以用以下方法判斷解的個(gè)數(shù).以C為圓心,a為半徑作圓弧,觀察該圓弧能否與c邊相交,交點(diǎn)數(shù)有多少.(1)當(dāng)absinA時(shí),無(wú)解；(2)當(dāng)absinA時(shí),一解；(3)當(dāng)bsinAab時(shí),兩解；(4)當(dāng)ab時(shí),一解.通過(guò)這個(gè)方法,我們進(jìn)一步可以驗(yàn)證當(dāng)A為直角或鈍角時(shí)的情形,(1)當(dāng)ab時(shí),無(wú)解；(2)當(dāng)ab時(shí),一解.活動(dòng)三 歸納提升,綜合應(yīng)用新知識(shí)利用正弦定理,我們可以解哪些已知條件下的三角形?1.已知兩角和任意一邊,求其他的邊和角；2.已知兩邊和其中一邊的對(duì)角,求其他的邊和角.例4 在ABC中,已知A60,b2,c3,求ABC的面積S.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理】詳解:.點(diǎn)撥:直接應(yīng)用三角形的面積公式即可.例5在ABC中,已知A120,a3,b,判斷三角形的解的個(gè)數(shù),如有解,求ABC的面積S.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】詳解:由A為鈍角,且ab,故此三角形有唯一解.根據(jù)正弦定理,則B30,C180(AB)30,所以.點(diǎn)撥:三角形的面積求解需要兩邊及夾角,因此要先通過(guò)正弦定理求B,再用內(nèi)角和定理求C,再用公式即可.例6 已知ABC的外接圓半徑為1,求ABC的面積S.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,兩角和的正弦公式；數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸】詳解:由則.點(diǎn)撥:在已知三角形外接圓半徑時(shí),通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化面積公式顯得更快一些,當(dāng)然也可以利用a2RsinA,b2RsinB求出C的兩條夾邊再求面積,是一樣的道理.3.課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】(1)在ABC中,（R為ABC的外接圓半徑）.(2)在ABC中,.(3)設(shè)A為ABC的最大角,已知a,b,A,解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)判定為:若A為銳角,absinA,無(wú)解；absinA,一解；bsinAab,兩解；ab,一解.若A為直角或鈍角,ab,無(wú)解；ab,一解.【重難點(diǎn)突破】(1)運(yùn)用正弦定理時(shí),有時(shí)需對(duì)它進(jìn)行變形,如等,不論怎么變形,最終都需要將2R約去.(2)運(yùn)用正弦定理求解三角形時(shí),若已知條件是兩邊和其中一邊的對(duì)角,則可能無(wú)解、一解或兩解,判斷方法是三角形中大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角.(3)用正弦定理來(lái)解邊角關(guān)系問(wèn)題時(shí),基本思路是統(tǒng)一角或統(tǒng)一邊,這是三角形的變形問(wèn)題常用的方法.4.隨堂檢測(cè)1.在ABC中,A45,a2,則等于（ ）A.1B.C.2D.4【知識(shí)點(diǎn):正弦定理；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:D 根據(jù)2R,a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC,則2R4,故選D.2.在ABC中,已知b,c1,B45,則a（ ）A.B.C.1D.1【知識(shí)點(diǎn):正弦定理；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:B 根據(jù)正弦定理,sinC,因?yàn)閏b,則CB,故C30,則A105,所以a,故選B.3.在ABC中,已知bcosAacosB,則ABC的形狀為（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.正三角形D.等腰直角三角形【知識(shí)點(diǎn):正弦定理的應(yīng)用,兩角差的正弦公式；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:B 根據(jù)2R,a2RsinA,b2RsinB,則2RsinBcosA2RsinAcosB,即sin(AB)0,得AB,故ABC為等腰三角形,故選B.4.在ABC中,A30,B105,c4,則ABC的外接圓的面積為（ ）A.4B.8C.16D.32【知識(shí)點(diǎn):正弦定理的應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:B 由C180(AB)45,得2R4,R2,圓面積SR28,故選B.5.在ABC中,若a3,cosC,SABC4,則b_ .【知識(shí)點(diǎn):正弦定理的應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:2 由cosC,得sinC,根據(jù)SabsinC4,得b2.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型 自主突破1.已知在.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:由=,解得,.2.在.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:由=,得sinC,因?yàn)閏b,所以CB,則C30,則A90,故ABC為直角三角形,所以.3.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:或.,.4.中,則為( )A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形【知識(shí)點(diǎn):正弦定理；數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸】解:A 由正弦定理得a2b2c2,則故ABC為直角三角形,故選A.5.在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若acosAbsinB,則sinAcosAcos2B()A. B.C.1D.1【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系】解:D 由正弦定理及acosAbsinB,得sinAcosAsin2B.則sinAcosAcos2Bsin2Bcos2B1.6.在ABC中,C120,c2c2cos2A3,則a_.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系】解:2 由c2c2cos2Ac2sin2A3,故csinA,由正弦定理,a2.能力型 師生共研7.在中,是的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷,正弦定理】解:C 首先,由正弦定理得2RsinA2RsinC,故ac,由大邊對(duì)大角,有AC；其次,由AC,得ac,即2RsinA2RsinC,故sinAsinC.故選C.8.在銳角中,若,則邊的取值范圍是（ ）A.B.C.D.(1,3)【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:C應(yīng)用極端原理,當(dāng)B為直角時(shí),c,當(dāng)C為直角時(shí),c,因ABC為銳角三角形,故c,故選C.9.在中,已知,如果利用正弦定理解三角形時(shí)有兩解,則的取值范圍是（ ）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:A 因三角形有兩解,則asinBba,故x2x,解得2x,故選A.10.在中,求證:.【知識(shí)點(diǎn):二倍角的余弦,正弦定理；數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸】解:.探究型 多維突破11.已知,的平分線交AC于點(diǎn)D,求證:.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理的應(yīng)用；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】證明:在內(nèi),利用正弦定理得:在內(nèi),利用正弦定理得:是的平分線,., ,.12.在中,已知,求證:成等差數(shù)列.【知識(shí)點(diǎn):兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦,正弦定理,等差數(shù)列；數(shù)學(xué)思想:轉(zhuǎn)化與化歸】證明:由已知得,由正弦定理可得2b2a2c2,故a2,b2,c2成等差數(shù)列.自助餐1.在中,則為（ ）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合、分類討論】解:A 由=,得sinA,則A60或120,故選A.2.在中,若,則( )A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理】解:C 由=,得sinB,故選C.3.在中,已知,則符合條件的三角形的個(gè)數(shù)有（ ）A.2個(gè)B.1個(gè)C. 0個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:B 由ab,故AB,則三角形只有一解,故選B.4.在ABC中,cosA,a3,b,則符合條件的三角形的個(gè)數(shù)有（ ）A.2個(gè)B.1個(gè)C. 0個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:C 由cosA0,得A為鈍角,又ab,故此三角形無(wú)解,故選C.5.在中,則最短邊的邊長(zhǎng)等于（ ）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解:A 由三角形內(nèi)角和為180知A75,故B角最小,從而b為最小邊,由正弦定理,b,故選A.6.在ABC中,acosAbcosB,則ABC的形狀為（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【知識(shí)點(diǎn):正弦定理】解:D 由acosAbcosB及正弦定理,得sinAcosAsinBcosB,即sin2Asin2B,則2A2B或2A2B180,則AB或AB90,ABC為等腰或直角三角形,故選D.7.在ABC中,若b10,B,tanA2,則a_.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系】解:4 由tanA2,得sinA,又b10,B,根據(jù)正弦定理,得a4.8.已知函數(shù),三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若,a,b1,則的面積S_.【知識(shí)點(diǎn):正弦定理】解: 由,得,又,所以,得,由正弦定理,得,則,則面積.9.如圖所示,扇形AOB中,AOB60,OB1,在弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)P作平行于OB的直線和OA交于點(diǎn)C,則POC面積的最大值為_(kāi).【知識(shí)點(diǎn):正弦定理,解三角形,三角恒等變換；數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合】解: 設(shè)AOP,CPOB,C