相干信號(hào)源最大似然波達(dá)方向估計(jì)的分辨率能.doc

相干信號(hào)源最大似然波達(dá)方向估計(jì)的分辨率性能摘要：本文著重討論了在任意幾何中心對(duì)稱陣列條件下的最大似然方向估計(jì)函數(shù)的性質(zhì)及其在信源真實(shí)方向上的微分特性。關(guān)鏈詞：最大似然方向估計(jì)，高斯曲率Abstraet:The property and the differential characteristic of maximum likelihood direction-of-arrival estimation（MLE）function for every variety of centrosymmetric array are investigated in the paper.Key words:Maximum likelihood direction-of-arrival estimation,Gauss curvity一、引言相干信源的超分辨是超分辨技術(shù)中的一個(gè)難題，首先提出的解決方法有Shan等的空間平滑MUSIC，后來有williams改進(jìn)的空間平滑MUSIC 、高世偉與保錚的廣義信號(hào)子空間方法3 、Wax的最大似然法、以及Viberg等的加權(quán)子空間擬合方法 (WSF)等。前三種方法是以犧牲陣列孔徑為代價(jià)的，計(jì)算量小且僅用于等距線陣，后兩種方法不損失任何孔徑，但需要多維搜索。本文主要研究雷達(dá)低角跟蹤的情況，這時(shí)信源比較簡單，只有目標(biāo)及其影像的回波，兩者近似是全相干的，用最大似然法分析時(shí)，實(shí)際是用陣列流行的線性組合逼近數(shù)據(jù)向量，若信號(hào)源之間相互獨(dú)立，則數(shù)據(jù)向量能張成信號(hào)子空間，上述逼近性能較好；若信號(hào)源全相干，從數(shù)據(jù)向量只能得到信號(hào)子空間的一個(gè)向量(即所謂秩虧損)，雖然用上述流形逼近在理論上仍能搜索到信源方向，但分辨性能要差得多。在低角跟蹤情況下，用全孔徑的最大似然法，如果采用等距線陣(或幾何中心對(duì)稱陣列)，雖然兩信源全相干，在一般情況，它仍然可從數(shù)據(jù)向量得到兩個(gè)獨(dú)立的信號(hào)空間向量，由于將數(shù)據(jù)向量共扼倒置，可得新的向量，只有信源之間的相位差(以陣列幾何中心作為參考點(diǎn))為0和例外，因?yàn)檫@時(shí)取共扼倒置得不到相位差不同的新的數(shù)據(jù)向量，最大似然法隱含地利用了這一性質(zhì)。在低角跟蹤里隨著目標(biāo)的移動(dòng)，兩信源之間的相位差會(huì)改變，因而當(dāng)相位差在0或及其附近時(shí)，分辨性能會(huì)下降很多。用它作為例子來分析分辨性能是很直觀的。雷達(dá)里一般用等距線陣，上述結(jié)論對(duì)任意幾何中心對(duì)稱陣列都適用，為使討論具有一般性，我們討論幾何中心對(duì)稱的情形，在分析其最大似然函數(shù)性質(zhì)時(shí)，暫不對(duì)信源數(shù)目作限制，下面就結(jié)合雷達(dá)低角跟蹤這一具體實(shí)例來討論在幾何中心對(duì)稱陣列條件下的最大似然方向估計(jì)函數(shù)的性質(zhì)及其在信源真實(shí)方向上的微分特性。二、陣列模型及假設(shè)設(shè)有M個(gè)空間信源入射到由N個(gè)相同陣元所構(gòu)成的任一陣列( N M )，且信源充分遠(yuǎn)離陣列，陣列輸出向量可寫為： （1）其中，在窄帶假設(shè)條件下，為復(fù)包絡(luò)，且為相位參考點(diǎn)上的信號(hào)，為陣列方向向量。記，則存在下列矩陣形式： （2）其中，一般稱為陣列流行。對(duì)于模型（1）或（2）我們有下面的假設(shè)：由個(gè)方向向量構(gòu)成集合的任意子集中的向量是線性獨(dú)立的（唯一性）；：各陣元上的噪聲是互相獨(dú)立的，且服從分布，并與信源相獨(dú)立。三、最大似然方向估計(jì)函數(shù)的性質(zhì)1、 幾何中心對(duì)稱陣列方向向量的性質(zhì)對(duì)于任意幾何中心(中心取為坐標(biāo)原點(diǎn)，并作為相位參考點(diǎn))對(duì)稱陣列，由于(中心)對(duì)稱性，（2）式的方向向量可以寫成對(duì)稱結(jié)構(gòu)。分兩種情形，其一：幾何中心上無陣元，即偶數(shù)陣元陣列時(shí)（) （3）其二：幾何中心上有陣元，即奇數(shù)陣元列（） （4），“”表示復(fù)空間，為的共軛倒置向量。對(duì)于陣元間距為的均勻線陣，且信源與陣列共面時(shí)（為空間來向與陣列法線的夾角）， （5）性質(zhì)1：任意幾何中心對(duì)稱陣列的方向向量總與該向量的共軛倒置向量相等，即： （6a）并且下式總成立 （6b）其中，“”表示實(shí)空間對(duì)于單個(gè)信源情形，接收的信號(hào)向量為，為信號(hào)在陣列幾何中心上的復(fù)包絡(luò)，若初相角為或，復(fù)包絡(luò)為實(shí)數(shù)，則信號(hào)向量與其共軛倒置向量相同。2、 最大似然方向估計(jì)函數(shù)的性質(zhì)在陣元噪聲樣本為零均值、方差為高斯分布的條件下，當(dāng)信號(hào)為確定性信號(hào)時(shí)，最大似然方向估計(jì)的公式為： （7a） （7b）其中，表示矩陣求跡運(yùn)算，為列空間上的投影矩陣，并且 （8），根據(jù)式（8），式（7b）可寫為： （9）記 (10)為式（9）的無擾動(dòng)項(xiàng)，再無噪聲下，只要它在相應(yīng)信源的多維坐標(biāo)上出現(xiàn)極值，就可以分辨信源。但是噪聲的擾動(dòng)作用會(huì)使極值變化，從而可能使有些信源分辨不出來。因此，有必要研究的微分特性。下面先研究的性質(zhì)。性質(zhì)2：對(duì)于幾何中心對(duì)稱陣列，下列等式總成： （11）其中“”表示對(duì)復(fù)數(shù)取實(shí)部。因此，最大似然方向估計(jì)式（7a，7b）為： （12a） （12b） （13）由性質(zhì)2可見：在其它參數(shù)不變的條件下，的結(jié)構(gòu)直接影響最大似然法的方向估計(jì)與分辨性能。在下一章我們通過計(jì)算最大似然函數(shù)的高斯曲率定量的給出的結(jié)構(gòu)對(duì)最大似然方向估計(jì)的影響。四、最大似然方向估計(jì)函數(shù)的微分特性眾所周知，關(guān)于最大似然方向估計(jì)性能的分析在大樣本條件下已有文獻(xiàn)68的結(jié)論，但人們至今還沒有給出一般性的結(jié)果。因此有必要給出一種評(píng)價(jià)來直觀的表述最大似然法的性能。大量分析表明，最大似然方向估計(jì)性能取決于其目標(biāo)函數(shù)的無擾動(dòng)項(xiàng)在信源方向鄰域內(nèi)的特性。這里我們根據(jù)微分幾何學(xué)中高斯曲率的概念來對(duì)這一無擾動(dòng)項(xiàng)進(jìn)行討論，建立對(duì)最大似然方向估計(jì)性能的直觀評(píng)價(jià)。下面首先我們畫出這一無擾動(dòng)項(xiàng)在一維情形兩相干信源時(shí)的圖形。1、 最大似然方向估計(jì)函數(shù)的圖形根據(jù)式（9），最大似然方向估計(jì)函數(shù)的無擾動(dòng)項(xiàng)如式（10）所示?？紤]到計(jì)算量，這里我們?nèi)￡嚵袨榈染嗑€陣（相位參考點(diǎn)取為陣列的中心），陣元數(shù)為16，陣元間距為，并取信號(hào)環(huán)境為低角跟蹤環(huán)境，有： （14）其中，由于顯然，當(dāng)，即：時(shí)，的秩為1；而當(dāng)，即時(shí)，的秩為2。這與我們?cè)谇懊骊P(guān)于數(shù)據(jù)向量獨(dú)立性的定性說明相一致。當(dāng)取并且兩回波方向及想干系數(shù)分別取、和、時(shí)，我們有圖1中在區(qū)域D上的兩幅圖形，其中為區(qū)域D上的點(diǎn)。從圖1中可以看出，這兩幅圖的峰點(diǎn)鄰域的彎曲的尖銳程度是不相同的。這種彎曲程度的大小是由陣列參數(shù)和信源參數(shù)來共同確定的。曲率是微分幾何學(xué)中表征彎曲的一種度量。為了簡便起見，我們這里僅討論一維中心對(duì)稱陣列在兩信源條件下最大似然方向估計(jì)函數(shù)的高斯曲率。2、 高斯曲率的數(shù)學(xué)定義根據(jù)文獻(xiàn)9中的結(jié)論，對(duì)于任意曲面，其上任一點(diǎn)的高斯曲率定義為該點(diǎn)兩個(gè)主曲率的乘積，即： （15）其中，有的文獻(xiàn)，高斯曲率所給出的對(duì)于曲面的一般彎曲性的分析是從各個(gè)方向法曲率分布概括出來的。對(duì)于最大似然方向估計(jì)函數(shù)的無擾動(dòng)項(xiàng)，這里，即有：，上面各量的計(jì)數(shù)請(qǐng)參見附錄B，由于在（信源方向）點(diǎn)，則在時(shí)高斯曲率為： （16）3、 低角跟蹤條件下最大似然方向估計(jì)函數(shù)無擾動(dòng)項(xiàng)的高斯曲率采用上述等距線陣，選取低角跟蹤參數(shù)為：陣列法線方向?yàn)樗椒较?，陣列天線高度（陣列中心距海平面的高度）為，目標(biāo)高度為，且做水平飛行，起始跟蹤距離為，海面反射系數(shù)的模為、相角為，并設(shè)在整個(gè)跟蹤過程中信號(hào)功率不變。則根據(jù)式（16）畫出了單頻工作（）時(shí)最大似然方向估計(jì)函數(shù)無擾動(dòng)項(xiàng)在回波真實(shí)方向上的高斯曲率關(guān)于跟蹤距離的曲線如圖2所示。從圖2中可以看出：（1）信號(hào)功率越大則高斯曲率越大，即在相同噪聲和快拍數(shù)的條件下，信號(hào)功率越大，估計(jì)性能和分辨率越好；（2）跟蹤距離越近，高斯曲率越大，這是因?yàn)殡S著距離的縮短，兩回波方向的夾角增大，從而使二維波束更尖銳；（3）在一些距離點(diǎn)上高斯曲率相對(duì)很小，這些距離點(diǎn)對(duì)應(yīng)于兩回波信號(hào)的相位差（的相角為）為的整數(shù)倍的情形，我們稱其為奇異點(diǎn)。在這些距離點(diǎn)及其鄰近區(qū)域上，方向估計(jì)和分辨性能很差；（4）在相鄰兩奇異點(diǎn)中間有相對(duì)最大高斯曲率的距離點(diǎn)，這些距離點(diǎn)對(duì)應(yīng)于兩回波信號(hào)的相位差為（為整數(shù)）的情形。由性質(zhì)2可見，在這些距離點(diǎn)上，兩相干回波信號(hào)等價(jià)于兩獨(dú)立信源情形，因而方向估計(jì)和分辨性能最好?？梢?，應(yīng)用高斯曲率可直觀的評(píng)述最大似然方向估計(jì)的性能。當(dāng)陣列參數(shù)和信源方向角給定時(shí)，要提高最大似然法的估計(jì)性能就必須設(shè)法減小噪聲的影響，減小噪聲影響的途徑有二：一是加大信噪比，而是增加快拍數(shù)。當(dāng)然在低角跟蹤情形，快拍數(shù)和信噪比均受到實(shí)際條件的限制，因此要克服奇異點(diǎn)及其鄰近區(qū)域的影響必須施行頻率分集，即多頻應(yīng)用，關(guān)于多頻應(yīng)用的結(jié)果請(qǐng)參見文獻(xiàn)10。應(yīng)當(dāng)指出：高斯曲率的曲線與方向估計(jì)方差的CR界曲線在形式上是相同的，但CR界曲線是方向估計(jì)的極限性