浙江2019版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第三篇滲透數(shù)學(xué)思想提升學(xué)科素養(yǎng)一函數(shù)與方程思想數(shù)形結(jié)合思想試題.docx

1函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是要讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是指學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的有特定意義的綜合性能力，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能，具有綜合性、整體性和持久性，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)思想方法在具體學(xué)習(xí)領(lǐng)域的表現(xiàn)二輪復(fù)習(xí)中如果能自覺滲透數(shù)學(xué)思想，加強(qiáng)個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，就會(huì)在復(fù)習(xí)中高屋建瓴，對(duì)整體復(fù)習(xí)起到引領(lǐng)和導(dǎo)向作用一、函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題，常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題.一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系求解.1設(shè)0a1，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則a，ae，ea1的大小關(guān)系為()Aea1aaeBaeaea1Caeea1aDaea10，則f(x)ex1，f(x)在(0，)上是增函數(shù)，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0aae，從而ea1aae.2已知定義在R上的函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)，滿足g(x)g(x)1的解集為_答案(，0)解析函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱，g(0)g(4)1.設(shè)f(x)，則f(x).又g(x)g(x)0，f(x)f(0)，x2m4x恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_答案(，1)(2，)解析t，8，f(t).問題轉(zhuǎn)化為m(x2)(x2)20恒成立，當(dāng)x2時(shí)，不等式不成立，x2.令g(m)m(x2)(x2)2，m.問題轉(zhuǎn)化為g(m)在上恒大于0，則即解得x2或x1.4若x2,1時(shí)，不等式ax3x24x30恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.答案6，2解析當(dāng)2x0時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為a.令f(x)(2x0)，則f(x)，故f(x)在2，1上單調(diào)遞減，在(1,0)上單調(diào)遞增，此時(shí)有af(x)minf(1)2.當(dāng)x0時(shí)，不等式恒成立當(dāng)0x1時(shí)，a，則f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，此時(shí)有af(x)maxf(1)6.綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是6，2二、函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題，常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，一般利用二次函數(shù)；等差數(shù)列或等比數(shù)列的基本量的計(jì)算一般化歸為方程(組)來解決.5已知an是等差數(shù)列，a1010，其前10項(xiàng)和S1070，則其公差d等于()ABC.D.答案D解析設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則即解得d.6已知在數(shù)列an中，前n項(xiàng)和為Sn，且Snan，則的最大值為()A3B1C3D1答案C解析當(dāng)n2時(shí)，Snan，Sn1an1，兩式作差可得ananan1，即1.由函數(shù)y1在(1，)上是減函數(shù)，可得在n2時(shí)取得最大值3.7在等差數(shù)列an中，若a10, 設(shè)Snf(n)，則f(n)為二次函數(shù)，又由f(7)f(17)知，f(n)的圖象開口向上，關(guān)于直線n12對(duì)稱，故Sn取最小值時(shí)n的值為12.8設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S42，S63，則nSn的最小值為_答案9解析由解得a12，d1，所以Sn，故nSn.令f(x)，則f(x)x25x，令f(x)0，得x0或x，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又n是正整數(shù)，當(dāng)n3時(shí)，nSn9，n4時(shí)，nSn8，故當(dāng)n3時(shí)，nSn取得最小值9.三、函數(shù)與方程思想在解析幾何中的應(yīng)用解析幾何中求斜率、截距、半徑、點(diǎn)的坐標(biāo)、離心率、幾何量等經(jīng)常要用到方程(組)的思想；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，可以通過轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式進(jìn)行解決；求變量的取值范圍和最值問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最值，用函數(shù)的思想分析解答.9以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A2B4C6D8答案B解析不妨設(shè)拋物線C：y22px(p0)，圓的方程設(shè)為x2y2r2(r0)，如圖，又可設(shè)A(x0，2)，D，點(diǎn)A(x0，2)在拋物線y22px上，82px0，點(diǎn)A(x0，2)在圓x2y2r2上，x8r2，點(diǎn)D在圓x2y2r2上，52r2，聯(lián)立，解得p4(負(fù)值舍去)，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p4，故選B.10如圖，已知雙曲線C：1(a0，b0)的右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，若PAQ60，且3，則雙曲線C的離心率為()A.B.C.D.答案B解析因?yàn)镻AQ60，|AP|AQ|，所以|AP|AQ|PQ|，設(shè)|AQ|2R，又3，則|OP|PQ|R.雙曲線C的漸近線方程是yx，A(a，0)，所以點(diǎn)A到直線yx的距離d，所以2(2R)2R23R2，即a2b23R2(a2b2)，在OQA中，由余弦定理得，|OA|2|OQ|2|QA|22|OQ|QA|cos60(3R)2(2R)223R2R7R2a2.由得所以雙曲線C的離心率為e.11設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線ykx(k0)與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)若6，則k的值為_答案或解析依題意得橢圓的方程為y21，直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k0)如圖，設(shè)D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2滿足方程(14k2)x24，故x2x1.由6知，x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2.由點(diǎn)D在AB上知x02kx02，得x0.所以，化簡(jiǎn)得24k225k60，解得k或k.12已知直線l：yk(x1)與拋物線C：y24x交于不同的兩點(diǎn)A，B，且以AB為直徑的圓過拋物線C的焦點(diǎn)F，則k_.答案或解析點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)，當(dāng)k0時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，因此k0.將yk(x1)代入y24x，消去y，得k2x22(k22)xk20，依題意知，x1，x2是的不相等的兩個(gè)實(shí)根，則由以AB為直徑的圓過F，得AFBF，即kAFkBF1，所以1，即x1x2y1y2(x1x2)10，所以x1x2k2(x11)(x21)(x1x2)10，所以(1k2)x1x2(k21)(x1x2)1k20，把x1x2，x1x21代入得2k210，解得k，經(jīng)檢驗(yàn)k適合式綜上所述，k.一、數(shù)形結(jié)合思想在解方程或函數(shù)零點(diǎn)問題中的應(yīng)用討論方程的解(或函數(shù)零點(diǎn))的問題一般可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).構(gòu)造函數(shù)時(shí)，要先對(duì)方程進(jìn)行變形，盡量構(gòu)造兩個(gè)比較熟悉的函數(shù).1函數(shù)f(x)2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3答案B解析在同一平面直角坐標(biāo)系下，作出函數(shù)y12x和y2的圖象，如圖所示函數(shù)f(x)2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于2x的根的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)y12x和y2圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由圖可知只有一個(gè)交點(diǎn)，所以只有一個(gè)零點(diǎn)故選B.2若關(guān)于x的方程kx2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則k的取值范圍為_答案解析x0是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)x0時(shí)，方程kx2可化為(x4)|x|，x4，k0，設(shè)f(x)(x4)|x|(x4且x0)，y，則兩函數(shù)圖象有三個(gè)非零交點(diǎn)f(x)(x4)|x|的大致圖象如圖所示，由圖可得0.所以k的取值范圍為.3已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x1)f(x1)，當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)x3，則關(guān)于x的方程f(x)|cosx|在上的所有實(shí)數(shù)解之和為_答案7解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以函數(shù)f(x)的周期為2.又當(dāng)x1,0時(shí)，f(x)x3，由此在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y1f(x)與y2|cosx|的圖象如圖所示由圖象知關(guān)于x的方程f(x)|cosx|在上的實(shí)數(shù)解有7個(gè)不妨設(shè)x1x2x3x4x5x61時(shí)，f(x)lnx，f(x)，設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，lnx1)，則，解得x1，故kAC.結(jié)合圖象可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.二、數(shù)形結(jié)合思想在求解不等式或參數(shù)范圍中的應(yīng)用構(gòu)建函數(shù)模型，分析函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合其圖象特征研究量與量之間的大小關(guān)系、求參數(shù)的取值范圍或解不等式.5(2018全國(guó) )設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x1)f(2x)的x的取值范圍是()A(，1 B(0，)C(1,0) D(，0)答案D解析方法一當(dāng)即x1時(shí)，f(x1)f(2x)即為2(x1)22x，即(x1)2x，解得x1.因此不等式的解集為(，1當(dāng)時(shí)，不等式組無解當(dāng)即1x0時(shí)，f(x1)f(2x)即122x，解得x0.因此不等式的解集為(1,0)當(dāng)即x0時(shí)，f(x1)1，f(2x)1，不合題意綜上，不等式f(x1)f(2x)的解集為(，0)故選D.方法二f(x)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示由圖可知，當(dāng)x10且2x0時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，故f(x1)f(2x)轉(zhuǎn)化為x12x.此時(shí)x1.當(dāng)2x0且x10時(shí)，f(2x)1，f(x1)1，滿足f(x1)f(2x)此時(shí)1x0.綜上，不等式f(x1)f(2x)的解集為(，1(1,0)(，0)故選D.6設(shè)A，B在圓x2y21上運(yùn)動(dòng)，且|AB|，點(diǎn)P在直線l：3x4y120上運(yùn)動(dòng)，則|的最小值為()A3B4C.D.答案D解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由平行四邊形法則可知2，所以當(dāng)且僅當(dāng)O，D，P三點(diǎn)共線時(shí)，|取得最小值，此時(shí)OP垂直于直線3x4y120，OPAB，因?yàn)閳A心到直線的距離為，|OD|，所以|的最小值為2.7若不等式|x2a|xa1對(duì)xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案解析作出y1|x2a|和y2xa1的簡(jiǎn)圖，如圖所示依題意得故a.8已知函數(shù)f(x)若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得f(x1)f(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案0，)解析根據(jù)題意知f(x)是一個(gè)分段函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，是一個(gè)開口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸方程為xa；當(dāng)x1時(shí)，如圖(1)所示，符合題意；當(dāng)0a1時(shí)，如圖(2)所示，符合題意；當(dāng)a0)若圓C上存在點(diǎn)P，使得APB90，則m的最大值為()A7B6C5D4答案B解析根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r1，且|AB|2m，因?yàn)锳PB90，連接OP，可知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圓C上的點(diǎn)P到原點(diǎn)O的最大距離因?yàn)閨OC|5，所以|OP|max|OC|r6，即m的最大值為6.10設(shè)雙曲線C：1(a0，b0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與雙曲線左支的一個(gè)交點(diǎn)為P.若以A1A2為直徑的圓與直線PF2相切，則雙曲線C的離心率為()A.B.C2D.答案D解析如圖所示，設(shè)以A1A2為直徑的圓與直線PF2的切點(diǎn)為Q，連接OQ，則OQPF2.又PF1PF2，O為F1F2的中點(diǎn)，所以|PF1|2|OQ|2a.又|PF2|PF1|2a，所以|PF2|4a.在RtF1PF2中，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，得4a216a220a24c2，即e.11已知拋物線的方程為x28y，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,4)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使APF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_答案解析因?yàn)?2)21，設(shè)af(2)1，bef(3)1，則a，b的大小關(guān)系為()AabCabD無法確定答案A解析令g(x)exf(x)ex，則g(x)exf(x)f(x)10，即g(x)在R上為增函數(shù)所以g(3)g(2)，即e3f(3)e3e2f(2)e2，整理得ef(3)1f(2)1，即ab.2定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且在0,1上是減函數(shù)，則有()AfffBfffCfffDfff答案C解析因?yàn)閒(x2)f(x)f(x)，f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱；又T4，作圖，由圖知ff0，b0)的右焦點(diǎn)F作直線yx的垂線，垂足為A，交雙曲線左支于B點(diǎn)，若2，則該雙曲線的離心率為()A.B2C.D.答案C解析設(shè)F(c，0)，則直線AB的方程為y(xc)，代入雙曲線漸近線方程yx，得A.由2，可得B，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入1，得1，c25a2，離心率e.5記實(shí)數(shù)x1，x2，xn中最小數(shù)為minx1，x2，xn，則定義在區(qū)間0，)上的函數(shù)f(x)minx21，x3,13x的最大值為()A5B6C8D10答案C解析在同一坐標(biāo)系中作出三個(gè)函數(shù)yx21，yx3，y13x的圖象如圖由圖可知，在實(shí)數(shù)集R上，minx21，x3,13x為yx3上A點(diǎn)下方的射線，拋物線AB之間的部分，線段BC與直線y13x在點(diǎn)C下方的部分的組合體顯然，在區(qū)間0，)上，在C點(diǎn)時(shí)，yminx21，x3,13x取得最大值解方程組得點(diǎn)C(5,8)所以f(x)max8.6若關(guān)于x的不等式3|xa|x2在(，0)上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.答案A解析3|xa|x2可化為3x2|xa|，畫出y3x2與y|xa|的草圖如圖所示，當(dāng)yxa與y3x2相切時(shí)，a；當(dāng)yax過點(diǎn)(0,3)時(shí)，a3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.7已知函數(shù)f(x)若不等式f(x)mx恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()A32，32B32，0C32，0D(，3232，)答案C解析函數(shù)f(x)及ymx的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)m0時(shí)，不等式f(x)mx不恒成立，設(shè)過原點(diǎn)的直線與函數(shù)f(x)x23x2(x0時(shí)能成立，令g(x)ex(x23x3)，則ag(x)min，而g(x)ex(x2x)，由g(x)0，可得x(，0)(1，)，由g(x)0，可得x(0,1)據(jù)此可知，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為g(1)e，ae.綜上可得，實(shí)數(shù)a的最小值為e.9已知正四棱錐的體積為，則正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)的最小值為_答案2解析如圖所示，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為h.則該正四棱錐的體積Va