2016年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）含答案解析

第 1 頁（共 23 頁） 2016 年內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科） 一、選擇題 1設(shè)全集 U= 2， 1， 0， 1， 2，集合 M= 1， 0， 1， N=x|x 2=0，則（ N=（ ） A 2 B 1 C 2， 1， 2 D 1， 1 2已知復(fù)數(shù) z= ，則（ ） A z 的實(shí)部為 B z 的虛部為 i C |z|= D z 的共軛復(fù)數(shù)為 + i 3若方程 =1（ a 是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ） A任意實(shí)數(shù) a 方程表示橢圓 B存在實(shí)數(shù) a 方程表示橢圓 C任意實(shí)數(shù) a 方程表示雙曲線 D存在實(shí)數(shù) a 方程表示拋物線 4已知 =（ 1， 2）， =（ 2， 4），且 k + 與 垂直，則 k=（ ） A B C D 5 某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià) x（單位：元）與每天的銷售量 y（單位：個(gè)）的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： x 11 10 9 y 5 6 8 10 10 根據(jù)上表得回歸直線方程 = x+ ，其中 = = ，據(jù)此回歸方程估計(jì)零售價(jià)為 5 元時(shí)銷售量估計(jì)為（ ） A 16 個(gè) B 20 個(gè) C 24 個(gè) D 28 個(gè) 6不等式 2x+m 0 在 R 上恒成立的必要不充分條件是（ ） A m 2 B 0 m 1 C m 0 D m 1 7如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（ ） A 34 B 55 C 78 D 89 8設(shè) 公差 d= 1 的等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，且 等比數(shù)列，則 ） 第 2 頁（共 23 頁） A n B n C +n D +n 9已知某幾何體的三視圖（單位： 圖所示，則該幾何體的體積是（ ） A 100 98 88 780已知 0， | ，若 x= 和 x= 是函數(shù) f（ x） =x+）的兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，將 y=f（ x）的圖象向左平移 個(gè)單位得到函數(shù) y=g（ x）的圖象，則下列說法正確的是（ ） A y=g（ x）是奇函數(shù) B y=g（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對稱 C y=g（ x）的圖象關(guān)于直線 x= 對稱 D y=g（ x）的周期為 11已知點(diǎn) ，過點(diǎn) P 的直線與圓 x2+4 相交于 A， B 兩點(diǎn)，則 |最小值為（ ） A 2 B C D 4 12已知橢圓 的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為 A、 B，左、右焦點(diǎn)分別是線段 有且只有一個(gè)點(diǎn) P 滿足 橢圓的離心率為（ ） A B C D 二、填空題 13已知 + ） = ，且 ，則 14 展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于 第 3 頁（共 23 頁） 15已知長方體 個(gè)頂點(diǎn)都在球面上， ， ， ，過棱 當(dāng) 截面面積最小時(shí)，球心到截面的距離為 16已知函數(shù) f（ x） =2x2+a 在 ， e上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 三、解答題 17設(shè)數(shù)列 前 n 項(xiàng)之和為 滿足 n N* （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）令 n+1） 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 18如圖，在多面體 ，四邊形 正方形， B=1， 正三角形， （ ）求證：面 面 （ ）求該幾何體的體積 19從某校隨機(jī)抽取 200 名學(xué)生，獲得了他們的一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組級頻數(shù)分布直方圖： 編號 分組 頻數(shù) 1 0， 2） 12 2 2， 4） 16 3 4， 6） 34 4 6， 8） 44 5 8， 10） 50 6 10， 12） 24 7 12， 14） 12 8 14， 16） 4 9 16， 18） 4 合計(jì) 200 （ 1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于 12 小時(shí)的概率； （ 2）求頻率分布直方圖中的 a， b 的值； （ 3）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的 200 名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組 第 4 頁（共 23 頁） 20已知橢圓 + =1（ a b 0）的左右焦點(diǎn)分別為 A（ 4， 2 ）在橢圓上，且 x 軸垂直 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）過點(diǎn) 直線與橢圓交于 B、 C 兩點(diǎn)，求 積的最大值 21設(shè)函數(shù) f（ x） =a 0， a 1） （ 1）當(dāng) a=e 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的圖象在點(diǎn)（ 0， f（ 0）的切線方程； （ 2）若存在 1， 1，使得 |f（ f（ | e 1（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 選修 4何證明選講 22如圖，四邊形 O，過點(diǎn) ， 5 （ 1）若 O 的直徑，求 D 的大小； （ 2）若 5，求證： = 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程選講 23在平面直角坐標(biāo)系 ，已知直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為： 2 3 4=0（ 0） （ 1）寫出直線 l 的普通方程與曲線 C 的直角坐標(biāo)系方程； 第 5 頁（共 23 頁） （ 2）設(shè)直線 l 與曲線 C 相交于 A， B 兩點(diǎn)，求 值 選修 4等式選講 24已知 a 0， b 0， c 0，函數(shù) f（ x） =|x a|+|x+b|+c 的最小值為 1 （ 1）求 a+b+c 的值； （ 2）求證： a2+b2+ 第 6 頁（共 23 頁） 2016 年 內(nèi)蒙古赤峰市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題 1設(shè)全集 U= 2， 1， 0， 1， 2，集合 M= 1， 0， 1， N=x|x 2=0，則（ N=（ ） A 2 B 1 C 2， 1， 2 D 1， 1 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 直接由全集 U，集合 M 求出 N（ 答案可求 【解答】 解： 全集 U= 2， 1， 0， 1， 2，集合 M= 1， 0， 1， N=x|x 2=0=1， 2， 2， 2 則 N（ = 1， 2 2， 2=2 故選： A 2已知復(fù)數(shù) z= ，則（ ） A z 的實(shí)部為 B z 的虛部為 i C |z|= D z 的共軛復(fù)數(shù)為 + i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出 z，分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可 【解答】 解： z= = = i， 故 |z|= ， 故選： C 3若方程 =1（ a 是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（ ） A任意實(shí)數(shù) a 方程表示橢圓 B存在實(shí)數(shù) a 方程表示橢圓 C任意實(shí)數(shù) a 方程表示雙曲線 D存在實(shí)數(shù) a 方程表示拋物線 【考點(diǎn)】 曲線與方程 【分析】 根據(jù)三種圓錐曲線的定義，結(jié)合舉例可得選項(xiàng) 【解答】 解：對于 a=1，方程 =1 表示圓，選項(xiàng) A 錯(cuò)誤； 當(dāng) a 0 且 a 1 時(shí)，方程 =1 表示橢圓， B 正確； 第 7 頁（共 23 頁） 當(dāng) a 0 時(shí)，方程 =1 表示雙曲線， C 錯(cuò)誤； 對于任意實(shí)數(shù) a，方程 =1 不是拋物線， D 錯(cuò)誤 故選： B 4已知 =（ 1， 2）， =（ 2， 4），且 k + 與 垂直， 則 k=（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量模的公式，可得 ， 的數(shù)量積和模，再由向量垂直的條件：數(shù)量積為 0，計(jì) 算即可得到 k 的值 【解答】 解： =（ 1， 2）， =（ 2， 4）， 可得 = 2+8=6， | |= =2 ， 由 k + 與 垂直，可得（ k + ） =0， k + 2=0，即有 6k+20=0， 解得 k= 故選 B 5某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià) x（單位：元）與每天的銷售量 y（單位：個(gè)）的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： x 11 10 9 y 5 6 8 10 10 根據(jù)上表得回歸直線方程 = x+ ， 其中 = = ，據(jù)此回歸方程估計(jì)零售價(jià)為 5 元時(shí)銷售量估計(jì)為（ ） A 16 個(gè) B 20 個(gè) C 24 個(gè) D 28 個(gè) 【考點(diǎn)】 線性回歸方程 【分析】 求出樣本中心代入回歸方程得出 ，從而得出回歸方程解析式，令 x=5，計(jì)算 即可 【解答】 解： = ， = 10+ ，解得 = 線性回歸方程為 = 當(dāng) x=5 時(shí)， = 5+24 故選 C 6不等式 2x+m 0 在 R 上恒成立的必要不充分條件是（ ） 第 8 頁（共 23 頁） A m 2 B 0 m 1 C m 0 D m 1 【考點(diǎn)】 一元二次不等式的解法 【分析】 根據(jù)不等式 x+m 0 在 R 上恒成立， 0，可解得 m 的范圍，然后看 m 1與選項(xiàng)中的 m 范圍，即可得出答案 【解答】 解：當(dāng)不等式 2x+m 0 在 R 上恒成立時(shí)， =4 4m 0， 解得 m 1； 所以 m 1 是不等式恒成立的充要條件； m 2 是不等式成立的充分不必要條件； 0 m 1 是不等式成立的既不充分也不必要條件； m 0 是不等式成立的必要不充分條件 故選： C 7如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（ ） A 34 B 55 C 78 D 89 【考點(diǎn)】 程序框圖；程序框圖的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)的應(yīng)用 【分析】 寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，不滿足判斷框 中的條件，退出循環(huán)，輸出 z 的值 【解答】 解：第一次循環(huán)得 z=2， x=1， y=2； 第二次循環(huán)得 z=3， x=2， y=3； 第三次循環(huán)得 z=5， x=3， y=5； 第四次循環(huán)得 z=8， x=5， y=8； 第五次循環(huán)得 z=13， x=8， y=13； 第六次循環(huán)得 z=21， x=13， y=21； 第七次循環(huán)得 z=34， x=21， y=34； 第八次循環(huán)得 z=55， x=34， y=55；退出循環(huán)，輸出 55， 故選 B 8設(shè) 公差 d= 1 的等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，且 等比數(shù)列，則 ） A n B n C +n D +n 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 由 等比數(shù)列，得到 1 （ 21） 2= 46），求出可求出通項(xiàng)公式 第 9 頁（共 23 頁） 【解答】 解：由題意可得， an= n 1）（ 1） = n， = ， 再根據(jù)若 等比數(shù)列，可得 1 （ 21） 2= 46）， 解得 ， +1 n= n， 故選： B 9已知某幾何體的三視圖（單位： 圖所示，則該幾何體的體積 是（ ） A 100 98 88 78考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知：該幾何體是由長方體截去一個(gè)三棱錐而得到的 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體是由正方體截去一個(gè)三棱錐而得到的 該幾何體的體積 V=6 6 3 =100 故選： A 10已知 0， | ， 若 x= 和 x= 是函數(shù) f（ x） =x+）的兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，將 y=f（ x）的圖象向左平移 個(gè)單位得到函數(shù) y=g（ x）的圖象，則下列說法正確的是（ ） A y=g（ x）是奇函數(shù) B y=g（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對稱 C y=g（ x）的圖象關(guān)于直線 x= 對稱 D y=g（ x）的周期為 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用；函數(shù) y=x+）的圖象變換 第 10 頁（共 23 頁） 【分析】 根據(jù) x= 和 x= 是函數(shù) f（ x） =x+）的兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)，得到函數(shù)的周期，求出 =1，然后根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系求出 g（ x），結(jié)合函數(shù)奇偶性，對稱性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可 【解答】 解： 若 x= 和 x= 是函數(shù) f（ x） =x+）的兩個(gè)相鄰的極值點(diǎn)， 若 x= 和 x= 是函數(shù) f（ x） =x+）的兩個(gè)相鄰的對稱軸， 則函數(shù)的周期 T=2 （ ） =2，即 =2，則 =1， 即 f（ x） =x+）， 若 x= 時(shí)，函數(shù)取得極大值，則 f（ ） =+） =1， 則 +=2 =2，當(dāng) k=0 時(shí)， = ，此時(shí) f（ x） =x ）， 將 y=f（ x）的圖象向左平移 個(gè)單位得到函數(shù) y=g（ x）的圖象， 即 g（ x） =） = x+ ） = 此時(shí)函數(shù) g（ x）是偶函數(shù)不是奇函數(shù)，故 A 錯(cuò)誤， g（ ） = ） =0，即函數(shù) y=g（ x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對稱，故 B 正確， g（ ） =） =0，即函數(shù) y=g（ x）的圖象關(guān)于關(guān)于直線 x= 不對稱，故 C 錯(cuò)誤， y=g（ x）的周期為 2，故 D 錯(cuò)誤， 若 x= 時(shí)，函數(shù)取得極小 值，則 f（ ） =+） =+） = 1， 則 +=2，即 =2，當(dāng) k=1 時(shí)， = ， | ， 此時(shí) 不存在 綜上故選： B 11已知點(diǎn) ，過點(diǎn) P 的直線與圓 x2+4 相交于 A， B 兩點(diǎn)，則 |最小值為（ ） A 2 B C D 4 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識，先畫出約束條件 的可行域，再求出可行域中各角點(diǎn)的坐標(biāo)，將各點(diǎn)坐標(biāo) 代入目標(biāo)函數(shù)的解析式，分析后易得直線過在（ 1， 3）處取得最小值 第 11 頁（共 23 頁） 【解答】 解：約束條件 的可行域如下圖示： 畫圖得出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)（ x， y）就是三條直線 x+y=4， y x=0 和 x=1 構(gòu)成的三角形區(qū)域， 三個(gè)交點(diǎn)分別為（ 2， 2），（ 1， 3），（ 1， 1）， 因?yàn)閳A c： x2+4 的半徑 r= ，得三個(gè)交點(diǎn)都在圓內(nèi)， 故過 P 點(diǎn)的直線 l 與圓相交的線段 度最短， 就是過三角形區(qū)域內(nèi)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)的弦的長度 三角形區(qū)域內(nèi)距離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)就是（ 1， 3）， 可用圓 d： x2+0 與直線 x=y 的交點(diǎn)為（ ， ）驗(yàn)證， 過點(diǎn)（ 1， 3）作垂直于直線 y=3x 的弦， 國灰 4，故 |2 =4， 所以線段 最小值為 4 故選： D 12已知橢圓 的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為 A、 B，左、右焦點(diǎn)分別是線段 有且只有一個(gè)點(diǎn) P 滿足 橢圓的離心率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 由題意可求得 方程，設(shè)出 P 點(diǎn)坐標(biāo)，代入 方程，由 =0，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得極值點(diǎn)，結(jié)合橢圓的離心率公式，解方程即可求得答案 【解答】 解：依題意，作圖如下： 由 A（ a， 0）， B（ 0， b）， c， 0）， c， 0）， 可得直線 方程為： + =1，整理得： ay+， 設(shè)直線 的點(diǎn) P（ x， y），則 bx= x= y a， 由 第 12 頁（共 23 頁） =（ c x， y） （ c x， y） =x2+（ y a） 2+ 令 f（ y） =（ y a） 2+ 則 f（ y） =2（ y a） +2y， 由 f（ y） =0 得： y= ，于是 x= ， =（ ） 2+（ ） 2 ， 整理得： = b2=， 3=0， ，又橢圓的離心率 e （ 0， 1）， =（ ） 2， 可得 e= ， 故選： D 二、填空題 13已知 + ） = ，且 ，則 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡求值 第 13 頁（共 23 頁） 【分析】 由 ，可得： ， =利用 ，展開即可得出 【解答】 解： ， ， = = = + = + = 故答案為： 14 展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于 180 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理 【分析】 如果 n 是奇數(shù)，那么是中間兩項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大，如果 n 是偶數(shù)，那么是最中間那項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大，由此可確定 n 的值，進(jìn)而利用展開式，即可求得常數(shù)項(xiàng) 【解答】 解 ：如果 n 是奇數(shù)，那么是中間兩項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大，如果 n 是偶數(shù)，那么是最中間項(xiàng)的二次項(xiàng)系數(shù)最大 展開式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大， n=10 展開式的通項(xiàng)為 = 令 =0，可得 r=2 展開式中的常數(shù)項(xiàng)等于 =180 故答案為： 180 15已知長方體 個(gè)頂點(diǎn)都在球面上， ， ， ，過棱 當(dāng)截面面積最小時(shí)，球心到截面的距離為 【考點(diǎn)】 球內(nèi)接多面體 第 14 頁（共 23 頁） 【分析】 過棱 該球的截面，則當(dāng)截面面積最小時(shí)，截面的直徑為 ，求出球的半徑，可得球心到截面的距離 【解答】 解：過棱 該球的截面，則當(dāng)截面面積最小時(shí)，截面的直徑為 ， 長方體 個(gè)頂點(diǎn)都在球面上， ， ， ， 球的半徑為 = ， 球心到截面的距離為 = ， 故答案為： 16已知函數(shù) f（ x） =2x2+a 在 ， e上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 （ 1，2+ ） 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù) f（ x），分析 f（ x）的零點(diǎn)和區(qū)間 ， e的位置關(guān)系，判斷 f（ x）的單調(diào)性為在 ， 1上單調(diào)遞增，在（ 1， e）上單調(diào)遞減，若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，即可解出 a 的取值范 圍 【解答】 解： f（ x） =2x2+a， f（ x） = ， x ， e，故 f（ x） =0，解得 x=1， 當(dāng) x 1， f（ x） 0； 當(dāng) 1 x e， f（ x） 0， 故 f（ x）在 x=1 有唯一的極值點(diǎn)， f（ 1） =a 1， f（ ） =a 2 ， f（ e） =a+2 則 f（ e） f（ ）， f（ x）在 ， e上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件， ，解得 1 a 2+ ， 第 15 頁（共 23 頁） 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍（ 1， 2+ 故答案為：（ 1， 2+ 三、解答題 17設(shè)數(shù)列 前 n 項(xiàng)之和為 滿足 n N* （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）令 n+1） 數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ 1）通過 1=1 1 作差可知 1，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論； （ 2）通過（ 1）可知 n+1） ，進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論 【解答】 解：（ 1） 1=1 1， an=1 1， 又 ， 數(shù)列 首項(xiàng)、公比均為 的等比數(shù)列， 其通項(xiàng)公式 ； （ 2）由（ 1）可知 n+1） n+1） ， +3 +4 +（ n+1） ， +3 +n +（ n+1） ， 兩式相減得： + + + （ n+1） = + （ n+1） = ， 18如圖，在多面體 ，四邊形 正方形， B=1， 正三角形， （ ）求證：面 面 第 16 頁（共 23 頁） （ ）求該幾何體的體積 【考點(diǎn)】 平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積 【分析】 （ ）由已知得 ，從而 此能證明面 面 （ ）依題意得： 而，由此能求出該幾何體的體積 【解答】 （ ）證明： 在多面體 ，四邊形 正方形， B=1， 正三角形， ， ， 又 平面 面 面 （ ）解：依題意得： 而 ， ， 故： 19從某校隨機(jī)抽取 200 名學(xué)生，獲得了他們的一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到數(shù)據(jù)分組級頻數(shù)分布直方圖： 編號 分組 頻數(shù) 1 0， 2） 12 2 2， 4） 16 3 4， 6） 34 第 17 頁（共 23 頁） 4 6， 8） 44 5 8， 10） 50 6 10， 12） 24 7 12， 14） 12 8 14， 16） 4 9 16， 18） 4 合計(jì) 200 （ 1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，試估計(jì)這名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間少于 12 小時(shí)的概率； （ 2）求頻率分布直方圖中的 a， b 的值； （ 3）假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，試估計(jì)樣本中的 200 名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第幾組 【考點(diǎn)】 頻率分布直方圖 【分析】 （ 1）根據(jù)頻率分布表求出 1 周課外閱讀時(shí)間 少于 12 小時(shí)的頻數(shù)，再根據(jù)頻率= 求頻率； （ 2）根據(jù)小矩形的高 = ，求 a、 b 的值； （ 3）利用平均數(shù)公式求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)，可得答案 【解答】 解：（ 1）由頻率分布表知： 1 周課外閱讀時(shí)間少于 12 小時(shí)的頻數(shù)為 2+4+4=10， 1 周課外閱讀時(shí)間少于 12 小時(shí)的頻率為 1 = （ 2）由頻率分布表知：數(shù)據(jù)在 4， 6）的頻數(shù)為 34， 頻率為 a= 數(shù)據(jù)在 8， 10）的頻數(shù)為 25， 頻率為 b= （ 3）數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 （ 12 1+3 16+5 34+7 44+9 50+11 24+13 12+15 4+17 4）=時(shí)）， 樣本中的 200 名學(xué)生該周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)在第四組 20已知橢圓 + =1（ a b 0）的左右焦點(diǎn)分別為 A（ 4， 2 ）在橢圓上，且 x 軸垂直 （ 1）求橢圓的方程； （ 2）過點(diǎn) 直線與橢圓交于 B、 C 兩點(diǎn)，求 積的最大值 第 18 頁（共 23 頁） 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ 1）由題意可得 c=4，令 x=4，代入橢圓方程可得 =2 ，由 a， b， c 的關(guān)系，解得 a， b，進(jìn)而得到橢圓方程； （ 2）點(diǎn) 4， 0），可設(shè)直線 x=，代入 橢圓方程 2，可得 y 的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及三角形的面積公式可得 S |化簡整理，運(yùn)用解不等式即可得到所求最大值 【解答】 解：（ 1）由 A（ 4， 2 ）在橢圓上，且 x 軸垂直， 可得 c=4，令 x=4，代入橢圓方程可得 y= b = ， 即有 =2 ，又 6， 解得 a=4 ， b=4， 則橢圓方程為 + =1； （ 2）點(diǎn) 4， 0），可設(shè)直線 x=， 代入橢圓方程 2，可得（ 2+16=0， 設(shè) B（ C（ 可得 =644（ 2+ 0 y1+ ， ， | = = ， S | 4 =16 =16 16 =8 ， 當(dāng)且 僅當(dāng) = ，即 t=0 時(shí)， 積的最大值為 8 21設(shè)函數(shù) f（ x） =a 0， a 1） （ 1）當(dāng) a=e 時(shí)，求函數(shù) f（ x）的圖象在點(diǎn)（ 0， f（ 0）的切線方程； （ 2）若存在 1， 1，使得 |f（ f（ | e 1（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線 方程 【分析】 （ 1）求得 a=e 時(shí)， f（ x） =導(dǎo)數(shù)，可得 f（ x）在（ 0， f（ 0）處的切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到所求切線的方程； 第 19 頁（共 23 頁） （ 2）由題意可得 f（ x）的最大值減去 f（ x）的最小值大于或等于 e 1，由單調(diào)性知， f（ x）的最小值是 f（ 1）或 f（ 1），最大值 f（ 0） =1，由 f（ 1） f（ 1）的單調(diào)性，判斷 f（ 1）與 f（ 1）的大小關(guān)系，再由 f（ x）的最大值減去最小值 f（ 0）大于或等于 e 1 求出 a 的取值范圍 【解答】 解：（ 1）當(dāng) a=e 時(shí)， f（ x） =導(dǎo)數(shù)為 f（ x） =1 2x 可得函數(shù) f（ x）的圖象在點(diǎn)（ 0， f（ 0）的切線斜率為 1 0 1=0， 切點(diǎn)為（ 0， 1），即有切線的方程為 y= 1； （ 2）由存在 1， 1，使得 |f（ f（ | e 1 成立， 而當(dāng) x 1， 1時(shí) |f（ f（ | f（ x） f（ x） 則只要 f（ x） f（ x） e 1， f（ x） =導(dǎo)數(shù)為 f（ x） =2x 又 x， f（ x）， f（ x）的變化情況如下表所示： x （ ， 0） 0 （ 0， +） f（ x） + 0 f（ x） 增函數(shù) 極大值 減函數(shù) 所以 f（ x）在 1， 0上是增函數(shù)，在 0， 1上是減函數(shù)， 所以當(dāng) x 1， 1時(shí)， f（ x）的最大值 f（ x） f（ 0） = 1， f（ x）的最小值 f（ x） f（ 1）和 f（ 1）中的最小值 因?yàn)?f（ 1） f（ 1） =（ 1 a）（ 1 ） =2a+ ， 令 g（ a） =2a+ ，由 g（ a） = 1 = 0， 所以 g（ a）在 a （ 0， +）上是減函數(shù) 而 g（ 1） =0，故當(dāng) a 1 時(shí)， g（ a） 0，即 f（ 1） f（ 1）； 當(dāng) 0 a 1 時(shí)， g（ a） 0，即 f（ 1） f（ 1）， 所以，當(dāng) a 1 時(shí)， f（ 0） f（ 1） e 1，即 a e 1， 而函數(shù) y=a 導(dǎo) 數(shù) y=1 ， 可得函數(shù) y 在 a （ 1， +）上是增函數(shù)，解得 a e； 當(dāng) 0 a 1 時(shí)， f（ 0） f（ 1） e 1，即 +e 1， 函數(shù) y= +導(dǎo)數(shù)為 y= = ， 可得函數(shù) y 在 a （ 0， 1）上是減函數(shù)，解得 0 a 綜上可知，所求 a 的取值范圍為（ 0， e， +） 選修 4何證明選講 22如圖，四邊形 O，過點(diǎn) ， 5 （ 1）若 O 的直徑，求 D 的