高等數(shù)學(xué)微分中值定理教學(xué)ppt課件

第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié)微分中值定理 第二節(jié)函數(shù)的性質(zhì) 第三節(jié)洛必達(dá)法則 第一節(jié)微分中值定理 本節(jié)主要內(nèi)容 一 羅爾中值定理 定義3 1 1導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn) 或穩(wěn)定點(diǎn) 臨界點(diǎn) 引理的直觀意義 可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)處的切線平行于x軸 定理3 1 1 羅爾中值定理 設(shè)函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上有定義 如果 1 函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 2 函數(shù)f x 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 3 函數(shù)f x 在區(qū)間兩端點(diǎn)處的函數(shù)值相等 即f a f b 則在 a b 內(nèi)至少存在一個點(diǎn)a b 使得f 0 例如 定理的證明 羅爾定理的幾何意義 如果連續(xù)函數(shù)除兩個端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線 并且兩端點(diǎn)處縱坐標(biāo)相等 那么在曲線上至少存在一點(diǎn) 在該點(diǎn)處的切線平行于x軸 如下圖 1 羅爾定理中的 是 a b 內(nèi)的某一點(diǎn) 定理僅從理論上指出了它的存在性 而沒有給出它的具體取值 2 羅爾定理的條件是充分非必要條件 只要三個條件均滿足 就充分保證結(jié)論成立 但如果三個條件不全滿足 則定理的結(jié)論可能成立也可能不成立 看如下例子 兩點(diǎn)說明 例 例 例1驗證羅爾中值定理對函數(shù)f x x3 4x2 7x 10在區(qū)間 1 2 上的正確性 并求出 解得 令f x 3x2 8x 7 0 1 f x x3 4x2 7x 10在區(qū)間 1 2 上連續(xù) 2 f x 3x2 8x 7在 1 2 內(nèi)存在 3 f 1 f 2 0 所以f x 滿足定理的三個條件 解 例2證明方程x5 5x 1 0有且僅有一個小于1的正實根 存在性 令f x x5 5x 1 則f x 在 0 1 上連續(xù) f 0 1 f 1 3 由介值定理 至少存在一點(diǎn)x0 0 1 使f x0 0 x0即為方程的小于1的正實根 唯一性 設(shè)另有x1 0 1 x1 x0 使f x1 0 因為f x 在x1 x0之間滿足羅爾定理的條件 所以至少存在一點(diǎn) 在x1 x0之間 使得f 0 但f x 5x4 5 0 x 0 1 矛盾 所以為唯一實根 證明 例3不求函數(shù)f x x 1 x 2 x 3 的導(dǎo)數(shù) 說明方程f x 0有幾個實根 函數(shù)f x 在R上可導(dǎo) 所以在區(qū)間 1 2 2 3 上滿足羅爾定理的條件 所以在區(qū)間 1 2 2 3 內(nèi)分別至少有一實根 又f x 0是二次方程 至多有二個實根 所以方程f x 0有且僅有兩個實根 它們分別落在區(qū)間 1 2 2 3 內(nèi) 解 定理3 1 2 拉格朗日中值定理 設(shè)函數(shù)y f x 滿足 1 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 2 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 那么在 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) a b 使得f b f a f b a 或 二 拉格朗日中值定理 注意到 Rolle定理是Lagrange定理的特殊情況 證明思想 構(gòu)造輔助函數(shù)法 由于證明這個定理 目前只有Rolle定理可用 因此想若能構(gòu)造一個輔助函數(shù) x 使其滿足Rolle定理的條件 同時想辦法接近要證明的結(jié)論 則函數(shù)j x 在區(qū)間 a b 上滿足羅爾定理的條件 1 2 又 作輔助函數(shù) 所以 由羅爾中值定理 在 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使 即f a f b f b a 定理的證明 拉格朗日中值公式又稱有限增量公式 1 拉格朗日中值定理的兩個條件是使結(jié)論成立的充分不必要條件 2 當(dāng)f a f b 時 拉格朗日中值定理即為羅爾中值定理 3 設(shè)f x 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內(nèi)可導(dǎo) x0 x0 x a b 則有 幾點(diǎn)說明 拉格朗日定理的幾何意義 當(dāng)曲線方程滿足拉格朗日定理的要求時 在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使得該點(diǎn)的切線平行于曲線兩端點(diǎn) a f a 與 b f b 的連線 其斜率為 推論1設(shè)y f x 在 a b 上連續(xù) 若在 a b 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零 則在 a b 上f x 為常數(shù) 推論2如果函數(shù)y f x 與y g x 在區(qū)間 a b 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等 即f x g x 則這兩個函數(shù)在 a b 內(nèi)只相差一個常數(shù) 即f x g x C 設(shè)f x arcsinx arccosx 由推論1知f x C 所以 例4證明 又因為 即 證明 則f x 在 0 1 上連續(xù) 又 設(shè)f x ln 1 x 則f x 在 0 x 上滿足拉格朗日中值定理的條件 即 由于 因為0 x 所以 例5證明 當(dāng)x 0時 所以上式變?yōu)?即 證明 定理3 1 3 柯西中值定理 設(shè)函數(shù)y f x 與y g x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 在開區(qū)間 a b 內(nèi)可導(dǎo) 且g x 在 a b 內(nèi)恒不為零 則至少存在一點(diǎn) a b 使得 注意 拉格朗日中值定理是柯西中值定理當(dāng)g x x時的一種特例 三 柯西中值定理 分析 問題轉(zhuǎn)化為證 構(gòu)造輔助函數(shù) 證 作輔助函數(shù) 且 使 即 由羅爾定理知 至少存在一點(diǎn) 思考 柯西定理的下述證法對嗎 兩個 不一定相同 錯 上面兩式相比即得結(jié)論 弦的斜率 切線斜率 幾何意義 注意 1 微分中值定理的條件 結(jié)論及關(guān)系 羅爾定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2 微分中值定