高中一年級數(shù)學(xué) 《2.3.2 平面與平面垂直的判定》示范教案 新人教A版必修2

2.3.2 平面與平面垂直的判定整體設(shè)計教學(xué)分析 在空間平面與平面之間的位置關(guān)系中，垂直是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是空間問題平面化的典范.空間中平面與平面垂直的定義是通過二面角給出的，二面角是高考中的重點和難點.使學(xué)生掌握兩個平面互相垂直的判定，提高學(xué)生空間想象能力，提高等價轉(zhuǎn)化思想滲透的意識，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力；使學(xué)生學(xué)會多角度分析、思考問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.三維目標(biāo)1.探究平面與平面垂直的判定定理，二面角的定義及應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力.2.掌握平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.3.引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求二面角的方法,培養(yǎng)學(xué)生歸納問題的能力.重點難點教學(xué)重點:平面與平面垂直判定.教學(xué)難點:平面與平面垂直判定和求二面角.課時安排1課時教學(xué)過程復(fù)習(xí) 兩平面的位置關(guān)系：（1）如果兩個平面沒有公共點，則兩平面平行若=,則.（2）如果兩個平面有一條公共直線，則兩平面相交若=AB,則與相交.兩平面平行與相交的圖形表示如圖1.圖1導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入) 為了解決實際問題，人們需要研究兩個平面所成的角.修筑水壩時，為了使水壩堅固耐用必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；發(fā)射人造地球衛(wèi)星時，使衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度.為此，我們引入二面角的概念，研究兩個平面所成的角.思路2.(直接導(dǎo)入) 前邊舉過門和墻所在平面的關(guān)系，隨著門的開啟，其所在平面與墻所在平面的相交程度在變，怎樣描述這種變化呢？今天我們一起來探究兩個平面所成角問題.推進(jìn)新課新知探究提出問題二面角的有關(guān)概念、畫法及表示方法.二面角的平面角的概念.兩個平面垂直的定義.用三種語言描述平面與平面垂直的判定定理，并給出證明.應(yīng)用面面垂直的判定定理難點在哪里？討論結(jié)果：二面角的有關(guān)概念.二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平臥式兩種畫法：如圖2（教師和學(xué)生共同動手）.直立式： 平臥式： (1) (2)圖2 二面角的表示方法：如圖3中，棱為AB，面為、的二面角，記作二面角-AB-.有時為了方便也可在、內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作二面角P-AB-Q.圖3如果棱為l，則這個二面角記作l或PlQ.二面角的平面角的概念. 如圖4,在二面角l的棱上任取點O，以O(shè)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB組成AOB.圖4 再取棱上另一點O，在和內(nèi)分別作l的垂線OA和OB，則它們組成角AOB. 因為OAOA,OBOB，所以AOB及AOB的兩邊分別平行且方向相同, 即AOB=AOB. 從上述結(jié)論說明了：按照上述方法作出的角的大小，與角的頂點在棱上的位置無關(guān). 由此結(jié)果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角. 圖中的AOB,AOB都是二面角l的平面角.直二面角的定義. 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 教室的墻面與地面，一個正方體中每相鄰的兩個面、課桌的側(cè)面與地面都是互相垂直的. 兩個平面互相垂直的概念和平面幾何里兩條直線互相垂直的概念相類似，也是用它們所成的角為直角來定義，二面角既可以為銳角，也可以為鈍角，特殊情形又可以為直角. 兩個平面互相垂直的定義可表述為： 如果兩個相交平面所成的二面角為直二面角，那么這兩個平面互相垂直. 直二面角的畫法：如圖5.圖5兩個平面垂直的判定定理. 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直. 兩個平面垂直的判定定理符號表述為：. 兩個平面垂直的判定定理圖形表述為：如圖6.圖6證明如下：已知AB，AB=B，AB.求證：.分析：要證,需證和構(gòu)成的二面角是直二面角，而要證明一個二面角是直二面角，需找到其中一個平面角，并證明這個二面角的平面角是直角.證明：設(shè)=CD，則由AB,知AB、CD共面.AB，CD,ABCD，垂足為點B.在平面內(nèi)過點B作直線BECD,則ABE是二面角CD的平面角.又ABBE，即二面角CD是直二面角,.應(yīng)用面面垂直的判定定理難點在于：在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線,即要證面面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直.應(yīng)用示例思路1例1 如圖7,O在平面內(nèi)，AB是O的直徑，PA，C為圓周上不同于A、B的任意一點.圖7求證：平面PAC平面PBC.證明：設(shè)O所在平面為,由已知條件，PA,BC,PABC.C為圓周上不同于A、B的任意一點,AB是O的直徑,BCAC.又PA與AC是PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線，BC平面PAC.BC平面PBC,平面PAC平面PBC.變式訓(xùn)練 如圖8，把等腰RtABC沿斜邊AB旋轉(zhuǎn)至ABD的位置，使CD=AC，圖8（1）求證：平面ABD平面ABC；（2）求二面角CBDA的余弦值.（1）證明：由題設(shè),知AD=CD=BD,作DO平面ABC，O為垂足，則OA=OB=OC.O是ABC的外心，即AB的中點.OAB，即O平面ABD.OD平面ABD.平面ABD平面ABC.（2）解:取BD的中點E，連接CE、OE、OC,BCD為正三角形，CEBD.又BOD為等腰直角三角形,OEBD.OEC為二面角CBDA的平面角.同（1）可證OC平面ABD.OCOE.COE為直角三角形.設(shè)BC=a，則CE=，OE=，cosOEC=.點評：欲證面面垂直關(guān)鍵在于在一個平面內(nèi)找到另一個平面的垂線.例2 如圖9所示，河堤斜面與水平面所成二面角為60，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為30，沿這條直道從堤腳向上行走到10 m時人升高了多少？（精確到0.1 m）圖9解：取CD上一點E，設(shè)CE=10 m，過點E作直線AB所在的水平面的垂線EG，垂足為G，則線段EG的長就是所求的高度. 在河堤斜面內(nèi)，作EFAB，垂足為F，并連接FG, 則FGAB,即EFG就是河堤斜面與水平面ABG所成二面角的平面角, EFG=60,由此,得EG=EFsin60=CEsin30sin60=104.3（m）.答：沿直道行走到10 m時人升高約4.3 m.變式訓(xùn)練 已知二面角AB等于45，CD，DAB，CDB=45.求CD與平面所成的角.解：如圖10，作CO交于點O，連接DO，則CDO為DC與所成的角.圖10過點O作OEAB于E，連接CE，則CEAB.CEO為二面角AB的平面角，即CEO=45.設(shè)CD=a,則CE=,COOE，OC=OE，CO=.CODO,sinCDO=.CDO=30,即DC與成30角.點評：二面角是本節(jié)的另一個重點，作二面角的平面角最常用的方法是：在一個半平面內(nèi)找一點C，作另一個半平面的垂線，垂足為O,然后通過垂足O作棱AB的垂線，垂足為E,連接AE,則CEO為二面角-AB-的平面角.這一過程要求學(xué)生熟記.思路2例1 如圖11，ABCD是菱形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60.圖11（1）求證：平面PBD平面PAC；（2）求點A到平面PBD的距離；（3）求二面角APBD的余弦值.（1）證明：設(shè)AC與BD交于點O，連接PO,底面ABCD是菱形,BDAC.PA底面ABCD,BD平面ABCD,的PABD.又PAAC=A,BD平面PAC.又BD平面PBD,平面PBD平面PAC.(2)解：作AEPO于點E,平面PBD平面PAC,AE平面PBD.AE為點A到平面PBD的距離.在PAO中,PA=2,AO=2cos30=,PAO=90,PO=,AE=.點A到平面PBD的距離為.（3）解：作AFPB于點F,連接EF,AE平面PBD,AEPB.PB平面AEF,PBEF.AFE為二面角APBD的平面角.在RtAEF中,AE=,AF=,sinAFE=,cosAFE=.二面角APBD的余弦值為.變式訓(xùn)練 如圖12，PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.（1）求證：MN平面PAD；（2）求證：MNCD；（3）若二面角PDCA=45，求證：MN平面PDC. 圖12 圖13證明：如圖13所示,（1）取PD的中點Q，連接AQ、NQ,則QNDC,AMDC,QNAM.四邊形AMNQ是平行四邊形.MNAQ.又MN平面PAD,AQ平面PAD,MN平面PAD.（2）PA平面ABCD，PACD.又CDAD,PAAD=A,CD平面PAD.又AQ平面PAD,CDAQ.又AQMN,MNCD.（3）由（2）知，CD平面PAD,CDAD,CDPD.PDA是二面角PDCA的平面角.PDA=45.又PA平面ABCD,PAAD.AQPD.又MNAQ,MNCD.又MNPD,MN平面PDC.例2 如圖14,已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且DAB=60,AD=AA1，F(xiàn)為棱BB1的中點，M為線段AC1的中點.圖14（1）求證：直線MF平面ABCD；（2）求證：平面AFC1平面ACC1A1；（3）求平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小.（1）證明：延長C1F交CB的延長線于點N，連接AN.F是BB1的中點，F(xiàn)為C1N的中點，B為CN的中點.又M是線段AC1的中點，故MFAN.又MF平面ABCD,AN平面ABCD,MF平面ABCD.（2）證明：連接BD，由直四棱柱ABCDA1B1C1D1,可知AA1平面ABCD,又BD平面ABCD，A1ABD.四邊形ABCD為菱形，ACBD.又ACA1A=A,AC、A1A平面ACC1A1,BD平面ACC1A1.在四邊形DANB中，DABN且DA=BN，四邊形DANB為平行四邊形.故NABD，NA平面ACC1A1.又NA平面AFC1,平面AFC1平面ACC1A1.（3）解：由（2）,知BD平面ACC1A1，又AC1平面ACC1A1，BDAC1.BDNA，AC1NA.又由BDAC,可知NAAC，C1AC就是平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角或補(bǔ)角.在RtC1AC中，tanC1AC=，故C1AC=30.平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小為30或150.變式訓(xùn)練 如圖15所示，在四棱錐SABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC底面ABCD，且AB=2，SC=SD=2.圖15（1）求證：平面SAD平面SBC；（2）設(shè)BC=x，BD與平面SBC所成的角為，求sin的取值范圍.（1）證明：在SDC中，SC=SD=，CD=AB=2,DSC=90,即DSSC.底面ABCD是矩形,BCCD.又平面SDC平面ABCD,BC面SDC.DSBC.DS平面SBC.DS平面SAD,平面SAD平面SBC.（2）解：由（1）,知DS平面SBC,SB是DB在平面SBC上的射影.DBS就是BD與平面SBC所成的角，即DBS=.那么sin=.BC=x,CD=2DB=,sin=.由0x+,得0sin.知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí).拓展提升 如圖16，在四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD=60，N是PB中點，過A、D、N三點的平面交PC于M，E為AD的中點.圖16（1）求證：EN平面PCD；（2）求證：平面PBC平面ADMN；（3）求平面PAB與平面ABCD所成二面角的正切值.(1)證明：ADBC,BC面PBC,AD面PBC,AD面PBC.又面ADN面PBC=MN,ADMN.MNBC.點M為PC的中點.MNBC.又E為AD的中點，四邊形DENM為平行四邊形.ENDM.EN面PDC.（2）證明：連接PE、BE,四邊形ABCD為邊長為2的菱形，且BAD=60,BEAD.又PEAD,AD面PBE.ADPB.又PA=AB且N為PB的中點,ANPB.PB面ADMN.平面PBC平面ADMN.（3）解：作EFAB，連接PF，PE平面ABCD,ABPF.PFE就是平面PAB與平面ABCD所成二面角的平面角.又在RtAEB中，BE=，AE=1，AB=2,EF=.又PE=,tanPFE=2,即平面PAB與平面ABCD所成的二面角的正切值為2.課堂小結(jié)知識總結(jié)：利用面面垂直的判定定理