第七章 解析幾何與微分幾何 SECTION9.doc

9 空間曲線一、 曲線的基本概念與公式曲線的方程與正向曲 線 方 程 的 形 式曲 線 的 正 向交面式參數(shù)式或（t為任意參數(shù)，s為曲線的弧長）矢量式r = r ( t )或r = r ( s )（r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, t, s同上） t（或s）增加時，曲線上一點運動的方向 圖 7.18活動標(biāo)架的三個單位矢量 t為單位切線矢量，方向與曲線的正向一致；n為單位主法線矢量，它指向曲線的凹方；b為單位副法線矢量，b=tn.t,n,b構(gòu)成右手系（圖7.18）.這三個矢量稱為曲線在點M的活動標(biāo)架（或叫動標(biāo)三面形、伴隨三面形，也叫活動標(biāo)形）.活動標(biāo)架所在直線和平面的方程 設(shè)M為(x0,y0,z0)（圖7.18）.1切線過曲線上兩點N,M的直線NM，當(dāng)NM時的極限位置.其方程為參數(shù)式 （以t為參數(shù)）式中表示在點M(x0,y0,z0)處的值，等等.參數(shù)t可以取為弧長s，這時用表示，等等.矢量式 r=r0+（以t為參數(shù)）式中表示在點M(x0,y0,z0)處的值，為另一個參數(shù).交面式式中表示在M點的值，等等.2法面與切線垂直的平面（通過M的法面上一切直線都稱為曲線在M的法線）.其方程為參數(shù)式 (x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=0（以t為參數(shù)）式中也可取弧長s為參數(shù).矢量式 (r-r0) =0（以t為參數(shù)）交面式 3密切面通過曲線上三點M,P,N作一平面，當(dāng)時，平面的極限位置（切線在密切面上）.其方程為參數(shù)式 （以t為參數(shù)）式中表示在M點的值，等等，參數(shù)t也可取為弧長s.矢量式 (r-r0)=0（以t為參數(shù)）4主法線法面與密切面的交線.其方程為參數(shù)式 （以t為參數(shù)）式中l(wèi)=,m=, n=（以s為參數(shù)）表示在點M的值，等等.矢量式 r=r0+（以t為參數(shù)） r=r0+（以s為參數(shù)）式中為另一個參數(shù).5副法線垂直于密切面的直線.其方程為參數(shù)式（以t為參數(shù)）式中l(wèi),m,n如(1)式定義.矢量式r0=r0+ （以t為參數(shù)）6從切面通過切線與副法線的平面.其方程為參數(shù)式（以t為參數(shù)）（以s為參數(shù)）矢量式（以t為參數(shù)）（以s為參數(shù)）曲率與撓率的定義與公式公 式 與 意 義圖 形曲率曲率半徑 k表示包含點M的部分曲線偏離直線的程度，也是切線方向?qū)τ诨￠L的轉(zhuǎn)動率 撓率撓率半徑表示包含點M的部分曲線偏離平面曲線的程度.=0的曲線是平面曲線. 是曲線在點M撓率的絕對值，它等于副法線方向?qū)τ诨￠L的轉(zhuǎn)動率. 撓率的符號：當(dāng)點M沿曲線的正向移動時，矢量與n反向，則取正號，反之取負(fù)號（圖(b)）(a)(b) 表中分別表示t,b對s的導(dǎo)數(shù).曲率與撓率的計算公式1曲率參數(shù)式k=（以t為參數(shù)） k= （以s為參數(shù)）矢量式k=或（以t為參數(shù)） k=（以s為參數(shù)）2撓率的絕對值參數(shù)式（以t為參數(shù)）（以s為參數(shù)）矢量式或 （以t為參數(shù)）（以s為參數(shù)）式中s為弧長，t為任意參數(shù)，“”表示對s求導(dǎo),“” 表示對t求導(dǎo).雪列-弗萊納公式（或基本公式）,式中t,n,b為活動標(biāo)架的三個基本單位矢量，為曲率半徑，為撓率半徑.這組公式的特點就是基本矢量t,n,b關(guān)于弧長s的導(dǎo)數(shù)可以用t,n,b的線性組合來表達，它的系數(shù)組成一個反對稱方陣：這組公式與=t合并起來描述了點M在曲線上移動時活動標(biāo)架的運動規(guī)律.把活動標(biāo)架看作一個剛體，就是當(dāng)M沿曲線移動時，M的活動標(biāo)架好象剛體那樣繞M轉(zhuǎn)動.這時把s看作時間，則根據(jù)運動學(xué)的原理可以得出活動標(biāo)架的瞬時轉(zhuǎn)動速度的表達式為這表明轉(zhuǎn)動矢量落在從法面上.這個瞬時轉(zhuǎn)動矢量稱為達布矢量.它僅分解為兩個矢量t和b，因此活動標(biāo)架的瞬時轉(zhuǎn)動可以看作兩個轉(zhuǎn)動之和.一個轉(zhuǎn)動對應(yīng)于t,按轉(zhuǎn)動速度的定義，它繞著方向為t的軸轉(zhuǎn)動；另一個繞著方向為b的軸轉(zhuǎn)動.因此得到曲率與撓率的運動學(xué)意義：曲線的曲率等于活動標(biāo)架繞著副法線的轉(zhuǎn)動支量，撓率等于繞著切線的轉(zhuǎn)動支量.最后，由可以驗證，空間曲線的雪列-弗萊納公式就是這就是雪列-弗萊納公式的運動學(xué)意義.基本定理與自然方程在一閉區(qū)間asb上給定任意兩個連續(xù)函數(shù)k(s)和(s)，其中k(s)0，則除了空間的位置差別外，唯一地存在一條空間曲線，它以s為弧長，可k(s)為曲率，(s)為撓率.方程組k=k(s),=(s) 稱為空間曲線的自然方程.二、 螺旋線的方程與圖形一般螺旋線與柱面母線的交角為定角()的空間曲線稱為一般螺旋線（或定傾曲線）.這種曲線具有性質(zhì)：1曲率與撓率的比等于常數(shù)(k=tan).2切線與一固定方向的交角為定角().3主法線與一固定方向垂直.4副法線與一固定方向的交角為定角. 圖 7.19圓柱螺旋線一動點繞一直線作等速轉(zhuǎn)動，并沿這直線作等速移動，則稱這個動點的軌跡為圓柱螺旋線（圖7.19），其參數(shù)方程為式中，為角速度，h稱為螺距，稱為螺旋角，式中對右螺旋線取正號，對左螺旋線取負(fù)號，如果以弧長s為參數(shù)，其方程為 圖 7.20 曲率