數(shù)學模型-第01章(第五版)ppt課件

用數(shù)學方法解決任何一個實際問題，都必須在實際與數(shù)學之間架設(shè)一座橋梁.,數(shù)學各門科學的基礎(chǔ)；社會進步的工具.,解決過程實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；數(shù)學問題的求解；數(shù)學解答回歸實際問題.,這個全過程稱為數(shù)學建模為實際問題建立數(shù)學模型.,第一章建立數(shù)學模型,1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型1.2數(shù)學建模的重要意義1.3建模示例之一包餃子中的數(shù)學1.4建模示例之二路障間距的設(shè)計1.5建模示例之三椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎1.6數(shù)學建模的基本方法和步驟1.7數(shù)學模型的特點和分類1.8怎樣學習數(shù)學建模學習課程和參加競賽,第一章建立數(shù)學模型,玩具、照片、飛機、火箭模型,實物模型,水箱中的艦艇、風洞中的飛機,物理模型,地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖,符號模型,模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物.,模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.,1.1從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型,我們常見的模型,你碰到過的數(shù)學模型“航行問題”,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,答：船速為20km/h.,甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順水航行需30h，從乙到甲逆水航行需50h，問船的速度是多少?,x=20y=5,航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟,作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）,用符號表示有關(guān)量（x,y分別表示船速和水速）,用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）,求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）,回答原問題（船速為20km/h）,數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling),對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學表述.,建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）,數(shù)學模型,數(shù)學建模,歐幾里德,幾何原本,光反射定律,阿基米德,浮力定律,杠桿原理,伽利略,牛頓,落體定律,慣性原理,萬有引力定律,微積分,數(shù)學建模歷史悠久,直到20世紀后半葉數(shù)學建模才逐漸得到普遍重視和廣泛應用，并且進入大學的課堂.,1.2數(shù)學建模的重要意義,計算機技術(shù)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展,為數(shù)學建模的應用提供了強有力的工具.,數(shù)學迅速進入一些諸如經(jīng)濟、生態(tài)、人口、地質(zhì)等領(lǐng)域，為數(shù)學建模開拓了許多新的處女地.,科技進步與社會發(fā)展的推動,高新技術(shù)中數(shù)學建模與科學計算是必不可少的手段數(shù)學科學是關(guān)鍵的、普遍的、可應用的技術(shù).,數(shù)學建模引入教學順應時代發(fā)展的潮流,數(shù)學建模的具體應用,分析與設(shè)計,預報與決策,控制與優(yōu)化,規(guī)劃與管理,數(shù)學建模,計算機技術(shù),知識經(jīng)濟,為教育改革注入強大活力,數(shù)學教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育.,數(shù)學教育應培養(yǎng)兩種能力：算數(shù)學(計算、推導、證明)和用數(shù)學(分析、解決實際問題).,傳統(tǒng)的數(shù)學教學體系和內(nèi)容偏重前者，忽略后者.,讓學生參加將數(shù)學應用于實際的嘗試,參與發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程.,數(shù)學建模引入教學符合教育改革的需要,傳統(tǒng)的數(shù)學教學體系和內(nèi)容偏重前者，忽略后者.,通常，1kg餡,1kg面,包100個餃子.,問題,分析,直觀認識“大餃子包的餡多”!,但是：“用的面皮也多”!,需要比較：餃子從小變大時餡和面增加的數(shù)量關(guān)系.,今天，餡比1kg多,1kg面不變,要把餡包完.,應多包幾個(每個小些),還是少包幾個(每個大些)？,1.3建模示例之一包餃子中的數(shù)學,體積V、面積S一個大餃子,V和nv哪個大?,V比nv大多少?,定性分析,定量結(jié)果,分析,建立餡、皮與數(shù)學概念的聯(lián)系：,餡體積，皮表面積,體積v、面積sn個小餃子,1.皮的厚度一樣,2.餃子的形狀一樣,R大皮半徑,r小皮半徑,(1),(2),(3),假設(shè),建模,消去S,s,k,體積與面積的聯(lián)系半徑（特征半徑）,解釋,V比nv大(n1)大餃子包得餡多.,定性分析,定量結(jié)果,若100個餃子包1kg餡,50個餃子能包多少餡？,應用,n1=100,n2=50,50個餃子能包1.4kg餡.,n1v1=1(kg),n2v2=?,n2v2=,討論,餃子數(shù)量減少一倍，真的就能多包40%的餡嗎？,餃子越大，面皮應該越厚.,若100個餃子包1kg餡,50個餃子能包1.4kg餡.,可以對“皮的厚度隨著半徑變大而增加”的數(shù)量關(guān)系作出合理、簡化的假設(shè)，重新建模.,用數(shù)學語言(體積和表面積)表示現(xiàn)實對象(餡和皮).,作出簡化、合理的假設(shè)(厚度一樣，形狀一樣).,利用問題蘊含的內(nèi)在規(guī)律(體積和表面積與半徑間的幾何關(guān)系).,包餃子建模過程的基本、關(guān)鍵步驟,日常生活中有哪些可用這個模型解釋的現(xiàn)象？,校園、居民小區(qū)道路需要限制車速設(shè)置路障,限制車速40km/h,相距多遠設(shè)置一個路障？,汽車過路障時速度接近零,過路障后加速.,車速達到40km/h時讓司機看到下一路障而減速,至路障處車速又接近零.,如此循環(huán)以達到限速的目的.,背景,問題,分析,1.4建模示例之二路障間距的設(shè)計,加速度、減速度：,方法一查閱資料,方法二進行測試,加速行駛的測試數(shù)據(jù),減速行駛的測試數(shù)據(jù),相鄰路障之間汽車作等加速運動和等減速運動.,假設(shè),路障間距的設(shè)計,加速行駛：距離s1，時間t1,加速度a1,減速行駛：距離s2，時間t2,減速度a2,限速vmax,相鄰路障間行駛總距離,給定vmax，由測試數(shù)據(jù)估計a1，a2，,建模,s,=路障間距,路障間距的設(shè)計,t=cv+d,最小二乘法,設(shè)計路障間距67m,大致線性關(guān)系,計算,測試數(shù)據(jù)作圖,a1=1/c1，a2=-1/c2,d1,d20,1m/s=3.6km/h,vmax=11.1(m/s),c1=0.4536，c2=-0.6084，s=65.5556(m),66.5,估算,(s2/m),(s2/m),作出簡化、合理的假設(shè)(等加速和等減速行駛).,利用問題蘊含的內(nèi)在規(guī)律(時間、距離、速度、加速度之間的物理關(guān)系).,路障設(shè)計中還有可用數(shù)學建模研究的問題嗎？,路障間距建模過程的基本、關(guān)鍵步驟,根據(jù)測試數(shù)據(jù)估計模型的參數(shù)(加速度和減速度).,問題,不平的地面上的椅子，通常三只腳著地放不穩(wěn)！,討論椅子能放穩(wěn)的條件.,挪動幾下，使四只腳著地椅子放穩(wěn)！,1.5建模示例之三椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,模型假設(shè),四腿一樣長,椅腳與地面點接觸,四腳連線呈正方形.,地面高度連續(xù)變化,可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面.,地面相對平坦,椅子在任意位置至少三只腳著地.,椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,模型建立,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對稱性.,用表示椅子位置.,四只腳著地,距離是的函數(shù).,四個距離(四只腳),A,C兩腳與地面距離之和f(),B,D兩腳與地面距離之和g(),兩個距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn),f(),g()是連續(xù)函數(shù),對任意,f(),g()至少一個為0,已知：f(),g()連續(xù),對任意,f()g()=0,且g(0)=f(/2)=0,f(0)0,g(/2)0.,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,g(0)=0，f(0)0，f(/2)=0,g(/2)0.,模型建立,椅子旋轉(zhuǎn)900,對角線AC和BD互換,證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.,一種簡單的證明方法,2）由f,g連續(xù)可得h連續(xù).,1）令h()=f()g(),則h(0)0，h(/2)0.,4）因為f(0)g(0)=0,所以f(0)=g(0)=0.,模型求解,3）據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0(00/2),使h(0)=0,即f(0)=g(0).,結(jié)論：在模型假設(shè)條件下，將椅子繞中心旋轉(zhuǎn)，一定能找到四只腳著地的穩(wěn)定點.,機理分析,測試分析,二者結(jié)合,機理分析建立模型結(jié)構(gòu),測試分析確定模型參數(shù).,白箱,黑箱,灰箱,機理分析主要通過案例研究學習.建模主要指機理分析.,數(shù)學建模的基本方法,1.6數(shù)學建模的基本方法和步驟,數(shù)學建模的一般步驟,模型準備,模型假設(shè),模型構(gòu)成,模型求解,模型分析,模型檢驗,模型應用,模型準備,了解實際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對象特征,形成一個比較清晰的問題,模型假設(shè),針對問題特點和建模目的,作出合理的、簡化的假設(shè),在合理與簡化之間作出折中,模型構(gòu)成,用數(shù)學的語言、符號描述問題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡單的數(shù)學工具,數(shù)學建模的一般步驟,模型求解,各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術(shù).,如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析.,模型分析,模型檢驗,與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗模型的合理性、適用性.,模型應用,數(shù)學建模的一般步驟,數(shù)學建模的全過程,現(xiàn)實對象的信息,數(shù)學模型,現(xiàn)實對象的解答,數(shù)學模型的解答,實踐,數(shù)學世界,兩次“翻譯”,現(xiàn)實世界,將實際問題“翻譯”成數(shù)學問題.,將數(shù)學解答“翻譯”回實際對象.,1.7數(shù)學模型的特點和分類,模型的逼真性和可行性,模型的漸進性,模型的強健性,模型的可轉(zhuǎn)移性,模型的非預制性,模型的條理性,模型的技藝性,模型的局限性,數(shù)學模型的特點,數(shù)學模型的分類,應用領(lǐng)域,人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)、,數(shù)學方法,初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、,表現(xiàn)特性,描述、優(yōu)化、預報、決策、,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,確定和隨機,靜態(tài)和動態(tài),線性和非線性,離散和連續(xù),技術(shù)大致有章可循.,數(shù)學建模與其說是一門技術(shù)，不如說是一門藝術(shù).,藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準則.,著重培養(yǎng)數(shù)學建模的意識和能力,1.8怎樣學習數(shù)學建模學習課程和參加競賽,數(shù)學建模的意識對于日常生活和工作中那些需要或者可以用數(shù)學知識分析、解決的實際問題，能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)并從建模的角度去積極地思考、研究.,想象力,洞察力,判斷力,創(chuàng)新意識,數(shù)學建模的能力,比較廣博的數(shù)學知識,深入實際調(diào)查研究的決心和能力,如何學習數(shù)學建模,學別人的模型（學習、分析、改進、推廣）,做自己的模型（實際題目，參加競賽）,對于案例椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎，在學懂的基礎(chǔ)上可以作哪些研究？,學別人的模型,1.模型假設(shè)中哪些條件是本質(zhì)的,哪些是非本質(zhì)的?,四腳連線呈長方形可以嗎?,椅腳連線呈正方形,地面高度連續(xù),椅子至少三只腳著地,是,是,非,2.建模的關(guān)鍵是什么？,變量表示椅子的位置.,函數(shù)f(),g()表示椅腳與地面的距離.,椅子的旋轉(zhuǎn)軸在哪里，它在旋轉(zhuǎn)過程中怎樣變化？,3.建模過程中有無不嚴謹之處？,親自動手，踏踏實實地做幾個實際題目不妨從包餃子這樣的簡單問題開始.,做自己的模型,提倡在實際生活中發(fā)現(xiàn)、提出問題，建立模型.,數(shù)學建模競賽為提高用建模方法分析、解決實際問題的能力，搭建了廣闊的平臺.,1992年由中國工業(yè)與應用數(shù)學學會（CSIAM）組織舉辦首次競賽.,1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦（每年9月).,全國大學生數(shù)學建模競賽,網(wǎng)址：,2017年全國1400多所院校、36000多隊參賽.,我國高校規(guī)模最大的課外科技活動.,內(nèi)容,賽題：工程技術(shù)、管理科學中簡化的實際問題.,答卷：用數(shù)學建模解決問題全過程的論文.,形式,3名大學生組隊、3天內(nèi)完成的通訊比賽.,可使用任何死材料，不可與隊外他人討論.,宗旨,創(chuàng)新意識團隊精神重在參與公平競爭,標準,假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰性.,全國大學生數(shù)學建模競賽,參加數(shù)學建模競賽的三個階段,賽前準備學習有關(guān)知識、方法和軟件；題目研討（及模擬）；組隊磨合.,三天參賽吃透題意，發(fā)揮正常，注意寫作，同舟共濟.,賽后繼