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文檔簡介

.,1,主講教師:王升瑞,高等數學,第二十九講,.,2,微分方程,第七章,積分問題,微分方程問題,推廣,.,3,微分方程的基本概念,第一節(jié),微分方程的基本概念,引例,幾何問題,物理問題,第七章,.,4,引例1.,一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意點處的,解:設所求曲線方程為y=y(x),則有如下關系式:,(C為任意常數),由得C=1,因此所求曲線方程為,由得,切線斜率為2x,求該曲線的方程.,.,5,引例2.列車在平直路上以,的速度行駛,制動時,獲得加速度,求制動后列車的運動規(guī)律.,解:設列車在制動后t秒行駛了s米,已知,由前一次積分,可得,利用后兩式可得,因此所求運動規(guī)律為,說明:利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才,能停住,以及制動后行駛了多少路程.,即求s=s(t).,再積分,.,6,常微分方程(未知數是一元函數),偏微分方程(未知數是多元函數),含未知函數及其導數(微分）的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函數導數的最高階數叫做微分方程,(本章內容),(n階顯式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n階常微分方程的形式是,的階.,分類,或,.,7,引例2,使方程成為恒等式的函數.,通解,解中所含獨立的任意常數的個數與方程,確定通解中任意常數的條件.,n階方程的初始條件(或初值條件):,的階數相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常數的解,定解條件,其圖形稱為積分曲線.,.,8,例3二階微分方程,試問下列函數,是否是方程的解,是通解還是特解?,解:分別將四個函數代入方程,均左邊=右邊,則這四個函數均為方程的解.,是方程的特解.,是方程的特解.,其中有兩個任意常數是方程的通解.,其中只有一個常數,則即不是方程的,通解,也不是特解.,.,9,求曲線所滿足的微分方程.,例4已知曲線上點P(x,y)處的法線與x軸交點為Q,解:如圖所示,令Y=0,得Q點的橫坐標,即,曲線上的點P(x,y)處的法線方程為,且線段PQ被y軸平分,設法線上的任一點為(X,Y),.,10,內容小結,1.微分方程的概念,微分方程;,定解條件;,說明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一個解.,例如,方程,解;,階;,通解;,特解,y=x及y=C,.,11,找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.,常用的方法:,1)根據幾何關系列方程(如:例1，4),2)根據物理規(guī)律列方程(如:例2),3)根據微量分析平衡關系列方程(P298,6),(2)利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.,(3)求通解,并根據定解條件確定特解.

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