空間解析幾何與向量代數.ppt

第八章空間解析幾何與向量代數,第一節(jié)向量及其線性運算,一、向量概念,1.向量:既有大小,又有方向的量,稱為向量(或矢量).,用一條有方向的線段來表示向量.,2.向量的幾何表示法,以線段的長度表示向量的大小,特別:模為1的向量稱為單位向量.,模為0的向量稱為零向量.記為,它的方向可以看作是任意的.,有向線段的方向表示向量的方向.,3.自由向量,自由向量:只有大小、方向,而無特定起點的向量.具有在空間中可以任意平移的性質.,大小相等且方向相同,4.向量相等,即通過平移,可以使它們重合,5.向量平行(或共線),6.向量共面,當把若干個向量的起點放在一起時,若它們的終點和公共起點在一個平面上,則稱這些向量共面.,1.向量的加減法,(1)平行四邊形法則,(2)三角形法則,向量的加法,二、向量的線性運算,向量加法的運算規(guī)律:,(1)交換律:,(2)結合律:,多個向量相加:,例如,向量的減法,(2)向量減法.,規(guī)定:,(1)負向量:與模相同而方向相反的向量,稱為的負向量,記作.,將之一平移,使起點重合,由的終點向的終點作一向量,即為,2.向量與數的乘法,定義,模:,當0時,當0時,當=0時,設為實數.,規(guī)定:向量與數的為一個向量.,方向:,向量與數的乘積的運算規(guī)律:,(1)結合律:,(2)分配律:,定理,向量的單位化:,試用向量證明三角形兩邊中點的連線平行于第三邊,且其長度等于第三邊的一半.,例1,證,所以,所以,且,例2,證,練習：,定點,橫軸,縱軸,豎軸,空間直角坐標系,三個坐標軸的正方向符合右手系.,三、空間直角坐標系,15,面,面,面,空間直角坐標系共有八個卦限,空間的點,有序數組,特殊點的表示:,坐標軸上的點,坐標面上的點,一個分量為零:點在坐標面上.,兩個分量為零:點在坐標軸上.,向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標,設點M(x,y,z),以分別表示沿x,y,z軸正向的單位向量,稱為基本單位向量.,向量在軸上的投影,向量在軸上的投影,向量在軸上的投影,設點M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),按基本單位向量的坐標分解式：,在三個坐標軸上的分向量：,向量的坐標：,向量的坐標表達式：,特殊地：,四、利用坐標作向量的線性運算,兩向量平行的充要條件.,即ax=bx,ay=by,az=bz,于是,即對應的坐標成比例.,注:在上式中規(guī)定,若某個分母為零,則相應的分子也為零.,已知,例3,解,由題意知：,五、向量的模、方向角、投影,1.向量的模與兩點間的距離公式,由勾股定理知，,此即向量模的坐標表示.,為空間兩點,則,由此得到兩點間的距離公式：,在z軸上求與兩點A(4,1,7)和B(3,5,2)等距離的點.,設該點為M(0,0,z),由題設|MA|=|MB|,即,解得,即所求點為,例4,解,2.方向角與方向余弦,空間兩向量的夾角的概念：,類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.,特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.,非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.,非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.,由圖分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用來表示向量的方向.,非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.,向量方向余弦的坐標表示式,方向余弦的特征,特殊地：單位向量的方向余弦為,例5,解,模:,方向余弦:,方向角:,例6,解,3.向量在軸上的投影,空間一點在軸上的投影,空間一向量在軸上的投影,關于向量的投影定理(1),證,兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影之和.,關于向量的投影定理(2),（可推廣到有限多個）,關于向量的投影定理(3),練習：,P12習題8-12.5.8.11.12.13.16.18,解:由物理知,與位移平行的分力作功,與位移垂直的分力不作功.于是,第二節(jié)數量積向量積混合積,一、兩向量的數量積(ScalarProduct),數量積也稱為“點積”、“內積”.,結論兩向量的數量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積.,定義,關于數量積的說明：,證,證,數量積符合下列運算規(guī)律：,（1）交換律：,（2）分配律：,（3）若為數：,若、為數：,利用向量證明三角形的余弦定理,例1,證,例2,證,所以,數量積的坐標表達式,設,兩向量夾角余弦的坐標表示式,由此可知兩向量垂直的充要條件為,例3,解,二、兩向量的向量積(VectorProduct),先研究物體轉動時產生的力矩,定義,向量積也稱為“叉積”、“外積”.,注:（1）向量積的模的幾何意義.,向量積符合下列運算規(guī)律：,（1）,（2）分配律：,（3）若為數：,例4,向量積的坐標表示式,設,向量積還可用三階行列式表示,例5,解,三角形ABC的面積為,例5,解,三、向量的混合積(TripleScalarProduct),定義,設,-混合積的坐標表達式,（1）向量混合積的幾何意義：,關于混合積的說明：,解,例6,例7,解,式中正負號的選擇必須和行列式的符號一致.,向量的數量積,向量的向量積,向量的混合積,（結果是一個數量）,（結果是一個向量）,（結果是一個數量）,（注意共線、共面的條件）,小結,練習：,P22習題8-22.3.6.8.9.(1)(3)10.12.,一、曲面方程的概念,定義:若曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有如下關系:,(1)S上任一點的坐標都滿足方程F(x,y,z)=0;,(2)坐標滿足方程F(x,y,z)=0的點都在S上;,那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.,第三節(jié)曲面及其方程,研究空間曲面有兩個基本問題：,（2）已知曲面方程，研究曲面形狀,（討論旋轉曲面）,（討論柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程,M,R,例1,解,以下給出幾例常見的曲面.,根據題意有,所求方程為,特殊地：球心在原點時方程為,例2,解,根據題意有,化簡得所求方程,例3,解,方程的圖形是怎樣的？,根據題意有,圖形上不封頂，下封底,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,播放,二、旋轉曲面,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,二、旋轉曲面,定義,這條定直線叫旋轉曲面的軸,旋轉曲線稱為該旋轉曲面的母線.,旋轉過程中的特征：,將代入,母線:,將代入,得方程,所以圓錐面方程為,例4,解,例5,例5,例6,定義,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,三、柱面,播放,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,三、柱面,例如:考慮方程x2+y2=R2所表示的曲面.,在xoy面上,x2+y2=R2表示以原點O為圓心,半徑為R的圓.,曲面可以看作是由平行于z軸的直線L沿xoy面上的圓x2+y2=R2移動而形成,稱該曲面為圓柱面.,畫出下列柱面的圖形:,拋物柱面,平面,1方程F(x,y)=0表示:母線平行于z軸的柱面,準線為xoy面上的曲線C:F(x,y)=0.,2方程F(x,z)=0表示:母線平行于y軸的柱面,準線為xoz面上的曲線C:F(x,z)=0.,3方程F(y,z)=0表示:母線平行于x軸的柱面,準線為yoz面上的曲線C:F(y,z)=0.,思考題,指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？,思考題解答,平面解析幾何中,空間解析幾何中,斜率為1的直線,方程,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱之,相應地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面性狀的截痕法：,用坐標面和平行于坐標面的平面與曲面相截,考察其交線(即截痕)的形狀,然后加以綜合,從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種常見的二次曲面,四、二次曲面,1用坐標面z=0,x=0和y=0去截割,分別得橢圓,(1)橢球面,(1)橢球面,2用平面z=k去截割(要求|k|c),得橢圓,當|k|c時,|k|越大,橢圓越小;,當|k|=c時,橢圓退縮成點.,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉橢球面,球面,球面方程可寫為,(2)橢圓拋物面,(2)橢圓拋物面,特殊情況：,-旋轉拋物面.,(3)橢圓錐面,特殊情況：,-圓錐面.,(3)橢圓錐面,特殊情況：,-圓錐面.,若方程為,則圖形如右圖,(4)單葉雙曲面,(5)雙葉雙曲面,(6)雙曲拋物面(馬鞍面),(6)雙曲拋物面(馬鞍面),橢圓柱面,還有三種以二次曲線為準線的柱面：,拋物柱面,雙曲柱面,思考題,方程,表示怎樣的曲線？,思考題解答,表示雙曲線.,練習：,P31習題8-34.5.8.(1)(5)10.(4)11.(3),二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,二、旋轉曲面,定義,以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋轉曲面.,這條定直線叫旋轉曲面的軸,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.,定義,三、柱面,觀察柱面的形成過程:,平行于定直線