SARS傳播的數(shù)學(xué)模型.doc

SARS傳播的數(shù)學(xué)模型摘 要通過(guò)對(duì)題目附件1的SARS模型進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)，加深了對(duì)SARS的認(rèn)識(shí)和了解。根據(jù)傳染病的傳播特點(diǎn)，建立了關(guān)于SARS病人率和疑似病人率兩個(gè)常微分方程模型。以所給數(shù)據(jù)為基本依據(jù)，用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，與圖形模擬方法求得模型中的有關(guān)參數(shù)。當(dāng)1 =1.5 和2 =1時(shí)，理論圖形與實(shí)際圖形有良好的吻合，分別得到了SARS病人率和疑似病人率比較符合實(shí)際數(shù)據(jù)的變化圖，能正確地預(yù)測(cè)它們的發(fā)展趨勢(shì)。他們對(duì)于模型中的參數(shù)有非常強(qiáng)的靈感性，1的值作微小的改變對(duì)于整個(gè)疫情的發(fā)展有很大的影響，所以政府采取對(duì)SARS疫情的有關(guān)措施是完全正確的。本文重點(diǎn)分析了關(guān)于SARS病人率的模型一，根據(jù)求得的參數(shù)，利用相軌線理論對(duì)結(jié)果加以分析并對(duì)整個(gè)疫情作出預(yù)測(cè)，并推論出SARS病人率關(guān)于t的表達(dá)式i(t),然后提出了對(duì)傳染病的控制方案，同時(shí)列舉了具體方法，并論證了方法的合理性和可行性，用其它地區(qū)的數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，說(shuō)明模型的參數(shù)有區(qū)域性。關(guān)鍵詞：SARS 微分方程 曲線擬合 數(shù)學(xué)模型 相軌線一 、問(wèn)題的提出SARS俗稱非典型肺炎，是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。我國(guó)作為發(fā)展中大國(guó)深受其害：SARS的爆發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來(lái)了很大影響。在黨和政府的統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民與SARS頑強(qiáng)抗?fàn)帲〉昧丝上驳碾A段性勝利，并從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到在沒(méi)有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的強(qiáng)制性政策對(duì)抑制SARS自然發(fā)展最有效辦法。而本題的目的就是要建立一個(gè)適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯?duì)SARS傳播規(guī)律進(jìn)行定量地分析、研究，為預(yù)測(cè)和控制SARS蔓延提供可靠、足夠的信息，無(wú)論對(duì)現(xiàn)在還是將來(lái)都有其重要的現(xiàn)實(shí)意義。二 、模型的假設(shè)1 地總?cè)藬?shù)N可視為常數(shù)，即流入人口等于流出人口。2 據(jù)人口所處的健康狀態(tài)，將人群分為：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、 免疫者和死亡者）。 3在政府的強(qiáng)制措施下，人口基本不流動(dòng)，故無(wú)病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基數(shù)。4 隔離的人斷絕了與外界的聯(lián)系，不具有傳染性。5 SARS康復(fù)者二度感染的概率為0。6 國(guó)家完善了監(jiān)控手段，加強(qiáng)了對(duì)SARS病毒監(jiān)控的力度，故可假設(shè)所有感染SARS病毒的人群都進(jìn)入了SARS病人類和疑似類。7 由于對(duì)SARS病原體的研究不夠深入，無(wú)有效藥物可以使人體免疫，同時(shí)SARS病毒感染后，大量繁殖，破壞免疫系統(tǒng)，故不可免疫。 三、模型的建立（一） 參數(shù)的設(shè)定和符號(hào)說(shuō)明s(t)：t時(shí)刻健康者在總體人群中的比例i(t)：t時(shí)刻SARS病人在總體人群中的比例l(t)：t時(shí)刻疑似病人在總體人群中的比例r(t)：t時(shí)刻被治愈者、死亡者和免疫者在總體人群中的比例之和。 ：SARS病人日接觸率。為每個(gè)病人每天有效接觸（足以使健康者受感染變?yōu)椴∪耍┑钠骄藬?shù)。：日治愈率。為每天被治愈的病人占病人總數(shù)的比例。：日轉(zhuǎn)化率。為每天危險(xiǎn)群體中的疑似病人被確診為SARS患者的比例。：日死亡率。為每天SARS病人死亡的數(shù)量和當(dāng)天病人總數(shù)量的比值。：疑似感染率。為每天感染為疑似病人的比例。（二）模型建立模型一 感染為SARS患者情況由假設(shè)，每個(gè)病人每天可使個(gè)健康者變?yōu)椴∪?，因?yàn)椴∪巳藬?shù)為，所以每天共有個(gè)健康者被感染，于是就是病人數(shù)的增加率，又因?yàn)槊刻毂恢斡蕿?，死亡率為，所以每天有個(gè)病人被治愈，有個(gè)病人死亡。那么病人的感染為由于 對(duì)于退出者 () 由假設(shè)可知： 故SARS患者率模型一的方程建立如下： (3) 模型二 疑似患者的變化情況與前面同樣的分析，得到疑似患者率模型二： (5)四、模型求解（一）參數(shù)的確定和分析：1.的確定 =， =， =用EXCEL電子表格處理題目附件2中所給數(shù)據(jù)得： =0.055076，=0.038183，=0.002443。（處理數(shù)據(jù)見(jiàn)附件）2的確定確定 很明顯從我們建立的模型是無(wú)法得到s、i、的解析解。為了解決這個(gè)問(wèn)題我們用MATLAB軟件中龍格庫(kù)塔方法求出他們的數(shù)值解。先通過(guò)實(shí)際統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)算出每一天的s、i、做出它們與時(shí)間的函數(shù)圖象圖1，然后我們?cè)賹?duì)取一組數(shù)，分別畫(huà)出由通過(guò)模型解出的數(shù)值解隨時(shí)間變化的圖象圖2，將這組圖象與由實(shí)際數(shù)據(jù)所得圖象相比較,調(diào)試。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)1.5時(shí)，理論圖形與實(shí)際圖形有最佳的吻合。圖形如下：:根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)擬合的圖象（畫(huà)圖程序見(jiàn)附件）通過(guò)數(shù)值解作出的關(guān)于時(shí)間t 的變化（畫(huà)圖程序見(jiàn)附件）分析兩個(gè)圖形可知，它們的高峰期、緩解期和平穩(wěn)期曲線相當(dāng)符合，具有相同的發(fā)展趨勢(shì)。但是在0,10的SARS初期范圍內(nèi)，曲線變化不相同。這主要是因?yàn)樵?月24日之前，沒(méi)有相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)和報(bào)道，由于數(shù)據(jù)的不全，根據(jù)邊界值畫(huà)出來(lái)的曲線與通過(guò)數(shù)值解得到的曲線相比較，不能準(zhǔn)確反映SARS產(chǎn)生初期時(shí)的趨勢(shì)，所以邊界值應(yīng)該去掉，而通過(guò)數(shù)值解模擬的曲線可以得到之前的發(fā)展趨勢(shì)。并且通過(guò)對(duì)SARS蔓延期特點(diǎn)的分析，在符合所給數(shù)據(jù)反映的規(guī)律基礎(chǔ)上，還能夠模擬缺乏數(shù)據(jù)的SARS初始狀態(tài)，所以曲線是合理的。（2）確定與確定時(shí)類似，先根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)畫(huà)出圖形實(shí)際數(shù)據(jù)圖形然后再對(duì)取一組數(shù)，分別畫(huà)出通過(guò)模型解出的數(shù)值解隨時(shí)間變化的圖象，將這組圖象與由實(shí)際數(shù)據(jù)所得圖象相比較,調(diào)試。發(fā)現(xiàn)當(dāng)1.0時(shí)，理論圖形與實(shí)際圖形有最佳的吻合。圖形如下：在0,10的初期范圍內(nèi)，曲線趨勢(shì)不同，原因同前。整個(gè)曲線反映了疑似患者在SARS的過(guò)程中的變化規(guī)律。五、結(jié)果分析與檢驗(yàn)（一）討論 的性質(zhì)平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域?yàn)閺哪Ｐ停ㄒ唬┲邢?，利用的定義，可得 （6）由（6）式解得 （7）（二）對(duì)于合理確定的，我們可以畫(huà)出圖，圖形如下：（畫(huà)圖程序見(jiàn)附件由于在這個(gè)SARS病毒發(fā)展過(guò)程中，是變化的，故可以畫(huà)出取不同值時(shí)的圖形，如下取0.4192，0.2858、0.1858時(shí)的圖形。分析（3）式和（7）式，可知：1 不論初始條件，如何，病人終會(huì)消失，即SARS最終會(huì)被消滅,亦即。證明省略。從圖形上看，相軌線終將與s軸相交（t充分大）。2 設(shè)最終未被感染的健康者的比例是，在（7）式中令得到方程 （8）是（8）在（0,1/）內(nèi)的根，在圖形上是相軌線與s軸在（0,1/）內(nèi)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。對(duì)于確定下來(lái)的=0.0383，可以代入（8）式解出03 SARS疾病傳染過(guò)程分析整個(gè)傳染過(guò)程，隨著政府和公眾對(duì)SARS的重視程度的變化，可知接觸數(shù)隨著治愈率、死亡率和接觸率的不斷變化而變化。（1）在SARS爆發(fā)的初期，由于潛伏期的存在，社會(huì)對(duì)SARS病毒傳播的速度和危害程度認(rèn)識(shí)不夠，所以政府和公眾沒(méi)有引起重視。治愈率和死亡率很小，而接觸率相對(duì)較大，所以很小。當(dāng)，則開(kāi)始增加，可認(rèn)為是疾病蔓延階段。（2）當(dāng)=時(shí)，達(dá)到最大值 （9）對(duì)于我們確定的，可以求出0.8368，可認(rèn)為是疾病傳染到達(dá)了高峰期。（3）當(dāng) Y=polyconf(p,t,S)Y = Columns 1 through 8 136.3240 113.2654 102.2891 98.9706 100.0091 103.0173 106.3408 108.9028 Columns 9 through 16 110.0729 109.5573 107.3071 103.4430 98.1954 91.8561 84.7414 77.1647 Columns 17 through 24 69.4163 61.7507 54.3784 47.4629 41.1208 35.4237 30.4038 26.0584 Columns 25 through 32 22.3576 19.2498 16.6691 14.5410 12.7882 11.3350 10.1116 9.0563 Columns 33 through 40 8.1181 7.2574 6.4460 5.6667 4.9121 4.1828 3.4855 2.8306 Columns 41 through 48 2.2300 1.6952 1.2351 0.8551 0.5557 0.3324 0.1760 0.0733 Columns 49 through 56 0.0087 -0.0338 -0.0688 -0.1065 -0.1512 -0.1995 -0.2396 -0.2