數(shù)學模型第六章2.doc

幻方趣談一、幻方的概念 幻方在我國古代也稱為縱橫圖，在西方也稱為魔方(magic).定義 若一個 n階由1n2的正整數(shù)組成，且每行、每列與兩對角線上的n個元素之和都相等. 則稱此矩陣為n階幻方. 每行的n個元素之和稱為幻和，并記為Sn.例如，下面分別是3階幻方和4階幻方81635749211514412679810115133216顯然，一個幻方經(jīng)旋轉或轉置后，仍為同階幻方. 由定義可知，幻和的計算公式S3=3(1+9)/2=15, S4=4(1+16)/2=34, S5=5(1+25)/2=65注：不存在2階幻方二、幻方的起源傳說,我國遠在夏禹治水時(公元前23世紀), 陜西的洛河常常泛濫成災，威脅著兩岸人們的生活與生產(chǎn). 于是，大禹日夜奔忙，三過家門而不入，帶領人們開溝挖渠，疏通河道，馴服了河水，感動了上天. 事后，一只神龜從河中躍出, 背上有一個九種花紋的圖,后人把這個圖稱為“洛書”. 它就是從1到9連續(xù)自然數(shù)排成3行的圖. 492357816此圖我國古代也稱為九宮圖. 最早見于記載的4階縱橫圖,是在印度卡俱拉霍地方發(fā)現(xiàn)的一個11世紀的碑文上. 它是一個極不平凡的4階縱橫圖,有著十分玄妙的性質(zhì). 71211421381116310596154它除了一般四階幻方的通有的性質(zhì)外，還有如下特性：（1）任一“折斷的對角線”上4個數(shù)之和也等于幻和34（2）任一2階子陣的4個數(shù)之和也等于幻和34（3）任一3階子陣的4角4個數(shù)之和也等于幻和34（4）任一3階子陣的2對角數(shù)之和恰是幻和34的一半17順便提一下，1977年美國發(fā)射尋求星外文明的宇宙飛船旅行者1號、2號上除了攜帶向宇宙人問候的“地球之聲”(古今音樂、近六十種語言的問候話,三十五種自然界的各種聲響唱片)外,還帶了一些圖片,其中有這張四階幻方圖.1980年，上海博物館在整理明代古墓的出土文物時，發(fā)現(xiàn)了一塊玉佩上有一個四階幻方，它也有上述玄妙的性質(zhì)：81114113271231696105415三、自然順序方陣及其性質(zhì)定義 把自然數(shù)1n2從小到大排成n階方陣:，把A稱為自然順序n階方陣. 把行（列）號之和等于n+1的兩行（列）稱為對稱行（列），當n為奇數(shù)時，設n=2k-1，稱為中心數(shù)，它位于A的中央. 位于對稱行（列）同列（行）的兩個數(shù)與（）稱為行（列）對稱數(shù)，而關于中心對稱的兩個數(shù)與稱為對稱數(shù). 位于不同行，不同列的數(shù)稱為獨立數(shù). 對于矩陣A,有如下重要的性質(zhì)：性質(zhì)1. 任兩個對稱數(shù)與之和都是. 證. .性質(zhì)2. 任意n個獨立數(shù)之和為幻和Sn.證. 設是A的n個獨立數(shù)，則與都是從1到n各取值一次，故. 因此推論.主(次)對角線上n個數(shù)之和為Sn.任一折斷的對角線上n個數(shù)之和也為Sn.性質(zhì)3 任兩個對稱行（列）的2n個數(shù)之和都等于2 Sn.證.第i行的行和為，（i=1,2,n）.從而第j列的列和為, （j=1,2,n）.從而性質(zhì)4 當n=2k-1時，第k(中間)行(列)的n個數(shù)之和為Sn.證.第k行的行和第k列的列和四、奇數(shù)階幻方的構造方法及原理在這里，設n=2k-1，（k=1,2,）.(一) 構造方法1-連續(xù)擺數(shù)法只需按以下步驟填寫，即可得到一個n階幻方.(1) 先畫一個nn方格表；(2) 把1填寫在第一行中間；(3) 當m填好后，若m的右上方空，則把m+1填在此格，否則，把m+1填在m的下方.(注意，這里我們把最左列視作在最右列的右方，把最底行視作在第一行的上方)17241815235714164613202210121921311182529例如 填寫一個3階幻方和5階幻方816357492可驗證其幻和分別為15和65.設是按以上方法構造的n階方陣，是自然順序方陣，仔細觀察知，A的每一行對應B的一條折斷對角線或對角線，從而推得：， （1）注意，上式，右邊的下標是按模n取值的，即大于n時就減n,小于1時就加n. (二)原理1B的列和從（1）式可見，若給定j, 讓i取1，2，n時, i每增加1，（1）式右邊的行號與列號也分別增加1(mod n)，最終都取遍1n, 不會有重復，即B的每列數(shù)都是 A的n個獨立數(shù). 故其和是Sn.2B的行和從（1）式可見，若給定i, 讓j取1，2，n時, j每增加1，（1）式右邊的行號增加1(mod n), 取遍1n,不重復; 列號分別增加2(mod n)，一旦大于n就減去n(奇數(shù)), 這就改變了奇偶性, 故列號也取遍了1n, 不會有重復，即B的每行數(shù)都是 A的n個獨立數(shù). 故其和是Sn. 3B的對稱數(shù)容易驗證(1)等價于;(2) 等價于;(3) 等價于;(4) 等價于;(5) 等價于;(6) 等價于. 從而, B中的一對對稱數(shù)相應于A中的兩個數(shù)的行號之和為;上式左邊第1項需加(減)n時，第2項就需減(加)n, 故其和不變. 同理，列號之和為;即B中的一對對稱數(shù)也是A中的一對對稱數(shù)其和為.即4B的對角線和首先，由(1)式知，B的中心數(shù)恰等于A的中心數(shù)：. 其次，B的主（次）對角線都是由對對稱數(shù)及中心數(shù)組成，故其和為綜合得，上法構造的方陣符合幻方的定義. 構造方法2-階梯法 以n=5為例說明（1）在的表格中斜著按自然順序填寫，這相當于把自然順序方陣A逆時針轉45度。54103915281420171319256121824111723162221（2）框住中心的格.54103915281420171319256121824111723162221（3）把框外的數(shù)移到框內(nèi)的空格處：左（右）面的數(shù)向右（左）移動n列；上（下）面的數(shù)向下（上）移動n行。這就得到一個n=2k-1階幻方31692215208211427251311924125186114171023化簡的操作方法：直接在個方格中填寫即可（1）把1填在中心右旁；（2）先看右上角；（3）再看右隔一處.性質(zhì)：3169221512345208211426789107251311911121314152412518616171819201141710232122232425（B） （A）（1） B的次對角線=A的中間行（2） B的主對角線=A的中間列（3） B的中間行=A的主對角線（4） B的中間列=A的次對角線（5） B的其他行（列）=A的折斷對角線以上右面的和都是Sn，故B是幻方。B與A的變換公式下標取模n.五、雙偶階幻方的構造方法及原理一般來說，雙偶數(shù)（n=4k）階幻方的構造較易，而單偶數(shù)(n=4k+2) 階較難.（一）. 構造方法(對稱法)對于雙偶數(shù)（n=4k）階幻方，可從自然順序方陣A開始，先把A的數(shù)按矩陣中心對稱，分為兩半，一半固定不變，另一半則跟其對稱數(shù)互換位置. 以4階為例. 中心4格與頂角4格不變，其余對稱數(shù)的互換位置. 即512，89，215，314.，即得一個4階幻方D.1234567891011121314151611514412679810115133216（A） （D）（二）. 原理A中兩個行對稱數(shù)之差為，從而若把第i行與第n+1-i行中的n/2對行對稱數(shù)進行交換，則這兩行的行和分別變?yōu)榧催@兩行的行和都將等于幻和. A中兩個列對稱數(shù)之差為從而若把第j列與第n+1-j列中的n/2對列對稱數(shù)進行交換，則這兩列的列和分別變?yōu)榱硗?，注意到A中每條對角線的n個數(shù)之和都為Sn, 故希望數(shù)據(jù)交換后不破壞此性質(zhì). 即對角線上的數(shù)只與同在此對角線上的數(shù)交換. 由此產(chǎn)生這種構造4k階幻方的方法：把A的中心點視為原點，對第1象限部分的數(shù)進行分類，分為甲類和乙類，且每行各占一半，每列也是各占一半，然后按對稱原則使aij, ai(n+1-j) , a (n+1-i)j，與a (n+1-i) (n+1-j)同類.讓甲(乙)類的數(shù)固定不變，乙(甲)類的數(shù)都跟其對稱數(shù)對換. 例 構造一個8階幻方1234567816362455958891011121314151656101153521415491718192021222324174746202143422425262728293031324026273736303133333435363738394032343529283839254142434445464748412322444519184849505152535455561650511312545595758596061626364577660613264（A） （D）可驗證滿足S8=260 這是因為A中每個數(shù)對應著其他象限的3個數(shù)、和，即這4個數(shù)構成兩對對稱數(shù)，它們的對換等價于先進行行對換，再進行列對換. 如下圖. 按這種方法構造的4k階幻方，k=1時有2個，k=2時有90個, k=3時有297200個.六、4k+2階幻方的構造我們先來考察一個6階幻方可以如何構造出來. 第一步，先用上述介紹的方法構造出一個4階幻方, 如圖1所示，幻和為34；第二步，把這個4階幻方的每個數(shù)都加上10,得圖2所示, 此時幻和為74；圖2所用的數(shù)是1126, 恰是136中間的16個數(shù), 如圖3所示;1125241422161719182021152313122611514412679810115133216圖1 圖2123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536圖3第三步，觀察剩余的20個數(shù)有這樣的規(guī)律：，而37+74=111=S6, 于是，可把這20個數(shù)按“和為37”配成10對，如圖4所示. 把第一行的數(shù)稱為小頭數(shù)，第二行的數(shù)稱為大頭數(shù). 1234567891036353433323130292827圖4第四步，按每對在同一行或同一列或同一對角線的原則，把它們添加到圖2的四周,但要滿足: (a) 每邊3個小頭數(shù)；(b)對邊的小頭數(shù)之和相等. 這就可得到一個6階幻方,如圖5所示. 913230291061125241431222161719353418202115333231312264273657828圖5圖5四周每邊3個小頭數(shù)（藍色），第1行與第6行的小頭數(shù)之和都是20; 第1列與第6列的小頭數(shù)之和都是17.這種方法可以推廣到一般4k+2階幻方的構造，其步驟是：(1) 先構造出一個4k階幻方;(2) 把這個4k階幻方的每個數(shù)都加上8k+2,即把這16k2個數(shù)移到1(4k+2)2的中間；(3) 把剩余的首尾兩段小頭數(shù)與大頭數(shù)配對，每對之和為16k(k+1)+5;(4) 按每對在同一行或同一列或同一對角線的原則，把它們添加到上圖的四周，但要滿足: (a) 每邊有2k+1個小頭數(shù)；(b)對邊的小頭數(shù)之和相等. 這就可得到一個4k+2階幻方. 按這種方法，我們再構造出一個10階幻方如圖6所示，S10=505.171239796958690187822021797824257594142773723031696834878356564383961604293165844455554484951859150525347465657431089594140626337366612886733327071292874139226767723228081199831009998456151184圖6圖6中間部分是把一個8階幻方平移了18, 四周每邊有5個小頭數(shù)，第1行與第10行的小頭數(shù)之和都是41; 第1列與第10列的小頭數(shù)之和都是62. 這就是一個10階幻方.注：幻方的數(shù)量：3階8個；4階7040個；5階多于2.7億個；6階多于1.77*1019個.七、幻方的推廣（1）廣義幻方由n2個不同的正整數(shù)組成的n階方陣，且每行、每列及兩對角線上的n個元素之和都相等，這種方陣稱為n階廣義幻方.當然，n階廣義幻方?jīng)]有固定的幻和. 102547131922116例1 S3=39. 由于約束條件減弱，所以n階廣義幻方較易求得. 任一個n階幻方平移一個正整數(shù)，都可獲得一個n階廣義幻方. 例2 以下是一個可顛倒(轉180度)的4階廣義幻方, S4=264顛倒后，幻和不變.6889119616916988991886618166981961869918199881668869169196116889（2）雙重幻方雙重幻方由n個不同的正整數(shù)構成，各行、各列及兩對角線上的各數(shù)之和均相等，同時各數(shù)的乘積也均相等. 例如1622075126133120116251051521002913824339349227911364538150261573017422510823119104587517190175221616113681841895087135114200203157611710246811537854692321751960這是8 階雙重幻方，幻和為 840，幻積為 2,058,068,231,856,000（3）平方（二次）幻方平方幻方的各行各列及兩條對角線諸數(shù)的和均相等、平方和也均相等. 以下是由0195構成的14階平方幻方3681036815116610428190551687861149114484177132146124148129771816411733357449141120189183111598043158138341351591407214616253144152102391531501931716715846376115119892621176116195112051738266541451051081545018110915542157201133792694132191126561561331272246885119179131161165316510695110471005819291178117413612401072918410183122134218010147130967449901231421211821316725163385128938618598188717871372412516979161871762160752717570358114364971721869923601171945211817030139943845（4）三次幻方三次幻方的各行各列及兩條對角線諸數(shù)的和均相等、平方和也均相等、立方和也均相等. 以下是由0255構成的16階三次幻方3329272514582841141411711731102302282262225139123632331092062183749146221921322162041771672252111682441504121410511874430887812420042481119048102153207165144725155131195179175231198589524015160197572480766061778111724621311314241142429138174178194202252106126964312101154243212159129149353118547018820923519163922362046671852011372549818466657523793162181801901897115711361562501282318117017238857423212759911913013418218681723523916220832476973121125522148681911472421551001310864187107253203223227229139158196143362191125997116262832012072647164161152103949120824918313525579893145861010421540151245169210224166176205217133193562122114011534234199621223850（5）立體幻方立體幻方是由1n3的正整數(shù)構成立方體，可從三個方向切片，每片的各行、各列上的各數(shù)之和均相等, 各對角線（立體）上的各數(shù)之和也均相等. 其幻和為. 例如 3階立體幻方, 242161027581321112569141922317715202311812264第1片 第2片 第3片八、幻方的應用前景 (一)、幻方應用于哲理思想的研究在數(shù)學中，幻方蘊涵的哲理思想是最為豐富的. 易經(jīng) 是一本哲學書，它幾乎影響了國內(nèi)外的各種哲學思想. 而易學家們通過多方面研究發(fā)現(xiàn)，易學來源于河圖洛書，而洛書就是三階幻方. 幻方的布局規(guī)律、構造原理蘊涵著一種概括天地萬物的生存結構，是說明宇宙產(chǎn)生和發(fā)展的數(shù)學模型.四階完美幻方的易理思想、五階幻方與易數(shù)系統(tǒng)，是對高階幻方蘊含的哲理思想的進一步探討，有興趣的讀者可參閱周易研究1999年第1期和2000年第1期. (二)、幻方應用于美術設計幻方可大量應用于美術設計，西方建筑學家勃拉東發(fā)現(xiàn)幻方的對稱性相當豐富，它采用幻方組成許多美麗的圖案，他把圖案中的那些方陣內(nèi)的線條稱為“魔線”，并應用于輕工業(yè)品、封面包裝設計中，德國著名版畫家A度勒的作品憂郁癥中，因有一個能指明制作年代的幻方而聞名于世，藝術美與理性美的和諧組合，往往成為流芳千古的佳作. 關于“魔線”圖，日本幻方專家阿部樂方也做過許多工作，我國河南安陽一位教師姬廣忠，曾研究出各種魔線圖，奉獻給了中央工藝美術學院. 北京丁寶訓在幻方專輯 登載了17幅“魔線圖”，都十分漂亮. 幻方中數(shù)學布局十分對稱均衡，又有豐富的變化，因而將其數(shù)字按序聯(lián)起來，可形成一幅幅奇特的“魔方陣構造圖”，經(jīng)彩色處理可獲得十分漂亮的美術圖案，這種圖案在表現(xiàn)出多樣的對稱美的同時，又有幻方原理的理性規(guī)律，因此耐人尋味，堪稱天斧之工. (三)、幻方的美學價值數(shù)學是美的，幻方更美. 幻方是數(shù)學按著一種規(guī)律布局成的一種體系 ，每個幻方不僅是一個智力成就，而且還是一個藝術佳品，都以整齊劃一，均衡對稱、和諧統(tǒng)一的特性，迸發(fā)出耀人的數(shù)學美的光輝，具有很高的美學價值. 在數(shù)學美學當中，把幻方中的美學價值推為至上，由于數(shù)學中的各個內(nèi)容均同數(shù)字有密切聯(lián)系，因而幻方這種美的結構均可滲透在各種數(shù)學知識當中，顯示出多樣的妙趣來，使我們在幻方的欣賞中了解數(shù)學知識的許多奧妙. (四)、幻方的智力開發(fā)功能幻方由于比較簡單，容易入門，很快能引起青少年的探討興趣.可以說幻方在智力開發(fā)方面已產(chǎn)生十分重要的作用. 挖掘中國數(shù)學史，我們便會看到，趣味 數(shù)學、計算工具、棋類游戲都與幻方有著內(nèi)在的聯(lián)系. 在算法的歷史上，先有九宮算，后有 太乙算、算盤、電子計算機，在游戲的發(fā)展史上，最先有重排九宮，后有象棋、圍棋、華容道游戲等. 圍棋盤是一個19階方陣，象棋盤是一個八階方陣(其將帥宮是一個三階方陣)， 它們的走法原理均同幻方的布局原理相關. 電腦上的“挖地雷”游戲，同九宮圖密切相關. 近年來，我國幻方研究者應用幻方原理發(fā)明了許多智力開發(fā)游戲. 遼寧劉志雄設計出一種 “集圖雙面幻方器”獲銅牌獎，安徽王忠漢設計出一種有趣的“幻方棋”，湖南江亞晶設計了“幻方系列數(shù)字游戲機”，高治源也設計成功“九宮妙算棋”，具有九大功能，20多種游戲方式. (五)、幻方在數(shù)學教學中的影響幻方在數(shù)學教學中，具有提高學生學習興趣、美化教材、啟迪思維的功能. 幻方中數(shù)字的豐富變化，把數(shù)學教材中的各個內(nèi)容聯(lián)系起來，如方程幻方、 根式幻方、分數(shù)幻方、黑洞數(shù)幻方、積幻方、差幻方、平方幻方等，它們都可用在數(shù)學教學當中，使數(shù)學內(nèi)容產(chǎn)生魅力. (六)、幻方對科學的啟迪洛書是三階幻方，由于它們流傳甚廣 ，從古到今給人們許多科學的啟迪. 例如，愛因斯坦的相對論，運用了11個公式推算時空相對增減元數(shù)，而河洛數(shù)對他很有啟發(fā). 美籍華裔學者焦蔚芳，曾寫有洛書矩陣、洛書幾何、洛書空間方面的書，對數(shù)學的發(fā)展起了促進的作用. 河南傅熙如運用洛書研究哥德巴赫猜想. 我們知道電腦的產(chǎn)生基于自動控制理論，而美國自動控制論的發(fā)明人是通過研究中國的“三三迷宮圖”(三階幻方的聯(lián)線圖)突發(fā)奇想，做出一系列控制理論的. 從這里的資料可 看出，現(xiàn)在風靡世界的電腦，挖根尋源竟然跑到了幻方領域里去了. 幻方因具有一種自然的屬性，雖是數(shù)字關系，但往往抽象概括性特強，當人們反復深思以后，就有可能對某個科學理論激發(fā)出靈感來，從而推動其發(fā)展. 在中國的傳統(tǒng)文化中，我們能夠看到洛書運用于軍事 、中醫(yī)、天文、氣象、氣功等領域的大量資料，說明幻方與各種學科的密切關系是不可忽視的. (七)、幻方應用于科學技術之中幻方已應用于“建路”、“爵當曲線”、“七座橋”等的位 置解析學及組合解析學中. 幻方引出了拉普拉斯的導引系數(shù)和哥斯定理、格里定理、斯篤克定理，還引出了普生、布魯汀兩氏的電子方程式. 幻方還引出了桑南的自動控制論，從而促成了電子計算機的誕生，電腦有三個來源，即二進制(八卦)、算盤和幻方. 電子科學已把幻方的排列路線看成是一理想的電子回路網(wǎng)圖形，我們從臺灣黎凱旋的易數(shù)淺談中可以看 到，從日本學習飛機知識的臺灣駕駛員，第一堂課上的就是幻方知識課，因為幻方的構造原理與飛機上的電子回路設置密切相關. 臺灣電機專家吳隆生創(chuàng)造了64階方陣儀可用于計算機 、測量儀、通訊交換儀以及水電、火力、航空等的管制系統(tǒng)，已獲得專利. 海上漂浮建筑，首先要解決的問題，就是要將建筑面分割成方陣格，每格的建筑重量的確定，需要象構造幻方一樣巧妙布局，因為只要各線各方向上的重量處處均衡才不致于傾斜. 陜西省政協(xié)田健先生寫成一書，正在應用幻方研究中醫(yī)理論，他從幻方的數(shù)字結構研究人體病因的數(shù)字特征，以及中藥的配置. 他的研究工作引起了許多醫(yī)易學家的關注. 應用十階幻方的構造原理研究“5