數(shù)學(xué)建模淋雨量與跑步速度.doc

淋雨量與跑步速度關(guān)系探究摘要 當(dāng)大雨來(lái)臨時(shí)，人們總是習(xí)慣于拔腿就跑。擺脫困境的本能迫使我們加快速度，與此同時(shí)，日常經(jīng)驗(yàn)又讓我們很多人對(duì)跑得越快淋雨就越少這一點(diǎn)深信不疑。事實(shí)是否正如大多數(shù)人所想的呢？本文就“淋雨量與跑步速度關(guān)系”的問(wèn)題建立了數(shù)學(xué)模型，從實(shí)際情況出發(fā)對(duì)不同條件下速度和淋雨量關(guān)系做出分析探究。在問(wèn)題一中，因?yàn)橐呀?jīng)假設(shè)雨淋遍全身，且速度為最大，所以由題目的已知條件，直接列方程求解。在問(wèn)題二中，我們利用最優(yōu)化原理，建立出一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。并將該問(wèn)題分為兩部分解答，即：（1）雨從迎面吹來(lái)；（2）雨從背面吹來(lái)。同時(shí)繪制出第二部分的“淋雨量速度”圖像，方便于快速直觀地得到兩者關(guān)系。解決該問(wèn)題的過(guò)程中，本文利用了幾何中的面積公式及物理中速度的分解等知識(shí)，結(jié)合題目中的已知條件，列出方程求解。問(wèn)題三是問(wèn)題二的深入，將簡(jiǎn)單的平面問(wèn)題升華為空間問(wèn)題，但處理方法和問(wèn)題二基本相同，只是增加了空間角，本質(zhì)沒(méi)有區(qū)別。本文的特點(diǎn)是在建立模型的基礎(chǔ)上層層深入，配合圖形，簡(jiǎn)單明了。同時(shí)，基于本文是建立在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算之上的，具有一定的可靠性，在很大程度上具有參考價(jià)值。關(guān)鍵詞 最優(yōu)化原理 動(dòng)態(tài)模型 速度選擇 淋雨量1. 問(wèn)題的重述要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型是否跑得越快，淋雨量越少。將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5米（頸部以下），寬b=0.5米，厚c=0.2米。設(shè)跑步距離d=1000米，跑步最大速度=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量=2cm/h,記跑步速度為v，討論以下問(wèn)題：（1） 不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度奔跑，估計(jì)跑完全程的總淋雨量。（2） 雨從迎面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a,b,c,d,u,之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨量最少。計(jì)算=，時(shí)的總淋雨量；雨從背面吹來(lái)，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角是，如圖2。建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a,b,c,d,u,，之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨量最少，計(jì)算=時(shí)的總淋雨量。 u 圖1 圖2 c b c u c b b a a v v v以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對(duì)第二中情況作圖，并解釋結(jié)果的實(shí)際意義。（3） 若雨線的方向與跑步方向不在同以平面內(nèi)，模型會(huì)有什么變化？2. 問(wèn)題的分析總的淋雨量等于人體的各個(gè)面上的淋雨量之和。每個(gè)面上的淋雨量等于單位面積，單位時(shí)間的淋雨量與面積以及時(shí)間的乘積。面積由已知各邊長(zhǎng)乘積得出，時(shí)間為總路程與人前行速度的比值。再由速度分解，合成，相對(duì)速度等知識(shí)確定各面淋雨量公式，列出總的方程，根據(jù)各變量關(guān)系，得出最優(yōu)解。當(dāng)雨線方向和跑步方向不在同一平面時(shí)，我們?cè)O(shè)出雨線方向角，按照上述方法將其分解，同樣可以解決問(wèn)題。3. 模型的假設(shè)和符號(hào)說(shuō)明 3.1模型的假設(shè)： （1）雨速為常數(shù)且方向不變； （2）人體為一個(gè)長(zhǎng)，寬，高都確定的長(zhǎng)方體； （3）人體跑步速度不受其他因素影響； （4）降雨量在一定時(shí)期內(nèi)為定值。3.2符號(hào)說(shuō)明： a 人體身高b 人體寬度c 人體厚度d 跑步距離 跑步最大速度u 雨速 降雨量v 跑步速度 同一平面內(nèi)，雨從迎面吹來(lái)，雨線與人體夾角 同一平面內(nèi)，雨從背面吹來(lái)，雨線與人體夾角t 全過(guò)程所花費(fèi)的時(shí)間s 面積Q 淋雨量 不同平面內(nèi)，雨線與跑步方向的夾角 雨線在人體正面所在平面內(nèi)的分量與鉛垂線的夾角4. 模型的建立與求解 4.1問(wèn)題一： 全身面積 淋雨時(shí)間 t=d/v=1000/5=200s 降 雨 量 =2cm/h=m/s 淋雨量 Q=st=2.2*200*/182.44升 4.2問(wèn)題二： 4.2.1雨從迎面吹來(lái)： 頂部淋雨量 =bcd/ 雨速水平分量 u/(方向與v相反) 合 速 度 u/+v 單位面積時(shí)間的淋雨量 （u/+v）/u 迎面淋雨量=abd(u/+v)/uv 總淋雨量 =bcdw/v+abdw(u/+v)/uv. 在此式子中，只有v是變量，所以當(dāng)v最大，即v=時(shí)Q最小，淋雨量最少。 升，升。 4.2.2雨從背面吹來(lái) 合速度 bdwcucos+a(usin-v)/uv,vusin 總淋雨量 Bdwcucos+a(v-usin)/uv,vusin 若ccos-asinc/a,則v=usin時(shí)，最小。否則，V=時(shí)，最小。（如下圖） Q Q tanc/a tan0.2/1.5,v=2m/s,0.24升最小，可與v=,0.93升相比。 分析結(jié)果的實(shí)際意義可知，當(dāng)雨從背面吹來(lái)，只要不太小，滿足tanc/a,即：時(shí)，v=usin,最小。此時(shí)人體背面不淋雨，只有頂部淋雨。4.3問(wèn)題三： 該問(wèn)題中，只舉例研究雨從正側(cè)面吹來(lái)。設(shè)雨線與跑步速度方向夾角為。作圖如下： 頂部淋雨量=bcdwsincos/v 雨速水平分量 ucos(方向與v相反) 合 速 度 ucos+v 單位面積時(shí) 間的淋雨量 （ucos+v）/u 迎面淋雨量=abd(ucos+v)/uv 側(cè)面淋雨量=acdwsinsin/v 所以，總淋雨量=bcdwsincos/v+abdw(ucos+v)/uv+acdwsinsin/v由以上式子可知，當(dāng)v 最大時(shí)，Q最小。其他情況與問(wèn)題二處理類似，利用速度分解和合成，可以解決。本質(zhì)并無(wú)區(qū)別。5. 模型的評(píng)價(jià)本文問(wèn)題二與問(wèn)題三都重點(diǎn)體現(xiàn)了模型的建立,指出了求最優(yōu)解的思想。圖形的有效利用，使結(jié)果更直觀明了。本文的缺點(diǎn)是限制因素太多，變量過(guò)少?？?