江蘇專版高考數(shù)學復(fù)習三角函數(shù)與平面向量第2講三角恒等變換與解三角形試題理.docx

第2講三角恒等變換與解三角形高考定位高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)兩角和(差)的正弦、余弦及正切是C級要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B級要求，應(yīng)用時要適當選擇公式，靈活應(yīng)用.試題類型可能是填空題，同時在解答題中也是必考題，經(jīng)常與向量綜合考查，構(gòu)成中檔題；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形問題是B級要求，主要考查：邊和角的計算；三角形形狀的判斷；面積的計算；有關(guān)的范圍問題.由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強，與實際問題結(jié)合起來進行命題將是今后高考的一個關(guān)注點，不可輕視.真 題 感 悟 1.(2017江蘇卷)若tan，則tan _.解析法一tan，6tan 61tan (tan 1)，tan .法二tan tan.答案2.(2016江蘇卷)在ABC中，AC6，cos B，C.(1)求AB的長；(2)cos的值.解(1)由cos B，得sin B.又C，AC6，由正弦定理，得，即AB5.(2)由(1)得：sin B，cos B，sin Ccos C，則sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Acos(BC)(cos Bcos Csin Bsin C)，則coscos Acossin Asin.考 點 整 合1.三角函數(shù)公式(1)同角關(guān)系：sin2cos21，tan .(2)誘導公式：對于“，kZ的三角函數(shù)值”與“角的三角函數(shù)值”的關(guān)系可按下面口訣記憶：奇變偶不變，符號看象限.(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan().(4)二倍角公式：sin 22sin cos ，cos 2cos2sin22cos2112sin2.2.正、余弦定理、三角形面積公式(1)2R(R為ABC外接圓的半徑).變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C.(2)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C；推論：cos A，cos B，cos C；變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.(3)SABCabsin Cacsin Bbcsin A.熱點一三角恒等變換及應(yīng)用【例1】 (1)(2015重慶卷改編)若tan 2tan ，則_.(2)(2017北京卷)在平面直角坐標系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin ，則cos()_.(3)(2016蘇北四市模擬)已知coscos，則sin 2_.解析(1)3.(2)與的終邊關(guān)于y軸對稱，則2k，kZ，2k.cos()cos(2k)cos 2(12sin2).(3)coscoscossinsin，即sin.，2，cos，sin 2sinsincos cossin .答案(1)3(2)(3)探究提高1.解決三角函數(shù)的化簡求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示(1)當已知角有兩個時，“所求角”一般表示為“兩個已知角”的和或差的形式；(2)當“已知角”有一個時，此時應(yīng)著眼于“所求角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導公式把“所求角”變成“已知角”.2.求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解.【訓練1】 (1)(2017南京、鹽城調(diào)研)若sin，則cos 的值為_.(2)(2017蘇北四市模擬)sin()且，則sin_.(3)(2015江蘇卷)已知tan 2，tan()，則tan 的值為_.解析(1)因為，所以，則cos，所以cos coscoscos sinsin .(2)sin()sin ，又，cos .由cos 2cos21，得cos .所以sincos .(3)tan 2，tan()，解得tan 3.答案(1)(2)(3)3熱點二正、余弦定理的應(yīng)用命題角度1三角形基本量的求解【例21】 (1)(2016全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A，cos C，a1，則b_.解析在ABC中由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.答案(2)(2017天津卷)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知ab，a5，c6，sin B.求b和sin A的值；求sin的值.解在ABC中，因為ab，故由sin B，可得cos B.由已知及余弦定理，有b2a2c22accos B13，所以b.由正弦定理，得sin A.所以，b的值為，sin A的值為.由及ac，得cos A，所以sin 2A2sin Acos A，cos 2A12sin2A.故sinsin 2Acoscos 2Asin.探究提高1.解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則考慮兩個定理都有可能用到.2.關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角恒等變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”.命題角度2求解三角形中的最值、面積問題【例22】 (2017蘇北四市調(diào)研)已知a，b，c分別為ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，求ABC面積的最大值.解(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因為BAC，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.易知sin C0，所以sin Acos A1，所以sin.又0A，所以A.(2)法一由(1)得BCCB，由正弦定理得，所以bsin B，csin C.所以SABCbcsin Asin Bsin Csin sin Bsin Csin Bsinsin 2Bcos 2Bsin.易知2B，故當2B，即B時，SABC取得最大值，最大值為.法二由(1)知A，又a2，由余弦定理得22b2c22bccos ，即b2c2bc4bc4b2c22bcbc4，當且僅當bc2時，等號成立.所以SABCbcsin Abc4，即當bc2時，SABC取得最大值，最大值為.探究提高1.求解三角形中的最值問題常用如下方法：(1)將要求的量轉(zhuǎn)化為某一角的三角函數(shù)，借助于三角函數(shù)的值域求最值.(2)將要求的量轉(zhuǎn)化為邊的形式，借助于基本不等式求最值.2.求解面積問題時，根據(jù)已知條件選擇適當?shù)拿娣e公式Sabsin C，Sacsin B，Sbcsin A.【訓練2】 (2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC面積為2，求b.解(1)由題設(shè)及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B).上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624.所以b2.1.對于三角函數(shù)的求值，需關(guān)注：(1)尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準確地應(yīng)用公式；(2)注意切化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運用；(3)對于條件求值問題，要認真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，對于很難入手的問題，可利用分析法.2.三角形中判斷邊、角關(guān)系的具體方法：(1)通過正弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；(2)通過余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換；(3)通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(4)通過三角函數(shù)值符號的判斷以及正、余弦函數(shù)的有界性進行討論；(5)若涉及兩個(或兩個以上)三角形，這時需作出這些三角形，先解條件多的三角形，再逐步求出其他三角形的邊和角，其中往往用到三角形內(nèi)角和定理，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)求解.3.解答與三角形面積有關(guān)的問題時，如已知某一內(nèi)角的大小或三角函數(shù)值，就選擇Sabsin C來求面積，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的邊或角.一、填空題1.(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_.解析由正弦定理得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B.2sin Bcos Bsin B，又sin B0，cos B，故B.答案2.(2017蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)已知是第二象限角，且sin ，tan()2，則tan _.解析由是第二象限角，且sin ，則cos ，則tan 3，所以tan tan().答案3.(2016全國卷改編)在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A_.解析設(shè)BC邊上的高AD交BC于點D，由題意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan BAC3，所以cos BAC.答案4.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是_.解析c2(ab)26，即c2a2b22ab6.C，由余弦定理得c2a2b2ab，由和得ab6，SABCabsin C6.答案5.(2012江蘇卷)設(shè)為銳角，若cos，則sin的值為_.解析為銳角且cos，sin.sinsinsin 2cos cos 2sin sincos.答案6.在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知ABC的面積為3，bc2，cos A，則a的值為_.解析cos A，0A，sin A，SABCbcsin Abc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.答案87.(2017浙江卷)已知ABC，ABAC4，BC2.點D為AB延長線上一點，BD2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC_.解析依題意作出圖形，如圖所示，則sinDBCsinABC.由題意知ABAC4，BCBD2，則sinABC，cosABC.所以SBDCBCBDsinDBC22.因為cosDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.答案8.(2014江蘇卷)若ABC的內(nèi)角滿足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是_.解析sin Asin B2sin C.由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，當且僅當3a22b2即時等號成立.cos C的最小值為.答案二、解答題9.(2016北京卷)在ABC中，a2c2b2ac.(1)求角B的大??；(2)求cos Acos C的最大值.解(1)由a2c2b2ac得a2c2b2ac.由余弦定理得cos B.又0B，所以B.(2)ACB，所以CA，0A.所以cos Acos Ccos Acoscos Acoscos Asin sin Acos Acos Asin Asin Acos Asin，0A，A，故當A，即A時，cos Acos C取得最大值為1.10.(2017揚州調(diào)研)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2c2acb2，sin A.(1)求sin C的值；(2)若a2，求ABC的面積.解(1)由a2c2acb2及余弦定理得cos B，又B(0，)，所以B，因為sin A，且B為鈍角，所以cos A，所以sin Csin.(2)由正弦定理得，所以c2，所以ABC的面積SABCacsin B222.11.在ABC中，角