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文檔簡介
決策理論與方法(2)優(yōu)化決策理論與方法,合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院2020年4月26日,.,確定性決策,確定性決策:指未來狀態(tài)是確定的(即只有一種狀態(tài))一類決策問題,每一個(gè)行動(dòng)方案對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的結(jié)果值,此時(shí)決策函數(shù)僅依賴于決策變量。特點(diǎn):狀態(tài)是確定的;決策問題變?yōu)閮?yōu)化問題。決策的已知變量:決策變量及其取值范圍解決問題的主要理論方法:最優(yōu)化理論與方法注:最優(yōu)化理論與方法(數(shù)學(xué)規(guī)劃)也可以求解不確定性決策問題、隨機(jī)性決策問題,.,確定性決策,優(yōu)化決策方法的問題求解過程辨識(shí)目標(biāo)C,確定優(yōu)化的標(biāo)準(zhǔn),如:利潤、時(shí)間、能量等確定影響決策目標(biāo)的決策變量x,形成目標(biāo)函數(shù)C=f(x)明確決策變量的取值范圍,形成約束函數(shù)設(shè)計(jì)求解算法,尋找決策目標(biāo)在決策變量所受限制的范圍內(nèi)的極小化或極大化。最優(yōu)化問題的一般形式為:,.,優(yōu)化問題分類,可行點(diǎn)與可行域:滿足約束條件的x稱為可行點(diǎn),所有可行點(diǎn)的集合稱為可行域,記為S;約束優(yōu)化與無約束優(yōu)化:當(dāng)SRn時(shí),稱為約束優(yōu)化;當(dāng)S=Rn時(shí),稱為無約束優(yōu)化;多目標(biāo)優(yōu)化:若f是多個(gè)目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成的一個(gè)向量值函數(shù),則稱為多目標(biāo)規(guī)劃;線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃:當(dāng)f,g,h均為線性函數(shù)時(shí)稱為線性規(guī)劃,否則稱為非線性規(guī)劃。,.,優(yōu)化問題分類,整數(shù)規(guī)劃:當(dāng)決策變量的取值均為整數(shù)時(shí)稱為整數(shù)規(guī)劃;若某些變量取值為整數(shù),而另一些變量取值為實(shí)數(shù),則成為混合整數(shù)規(guī)劃。動(dòng)態(tài)規(guī)劃與多層規(guī)劃:若決策是分成多個(gè)階段完成的,前后階段之間相互影響,則稱為動(dòng)態(tài)規(guī)劃;若決策是分成多個(gè)層次完成的,不同層次之間相互影響,則稱為多層規(guī)劃。,.,優(yōu)化決策理論與方法,1、線性規(guī)劃2、非線性規(guī)劃(約束和非約束)3、多目標(biāo)規(guī)劃4、組合優(yōu)化與整數(shù)規(guī)劃,.,線性規(guī)劃管理實(shí)例,(食譜問題)假設(shè)市場上有n種不同的食物,第j種食物的單價(jià)為cj。人體正?;顒?dòng)過程中需要m種基本的營養(yǎng)成分,且每人每天至少需要攝入第i種營養(yǎng)成分bi個(gè)單位。已知第j種食物中包含第i種營養(yǎng)成分的量為aij個(gè)單位。問在滿足人體基本營養(yǎng)需求的前提下什么樣的配食方案最經(jīng)濟(jì)?設(shè)食譜中包含第j種食物的量為xj,則:,.,線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型,.,線性規(guī)劃單純形算法,解空間分析可行域分析:n維空間;第一象限;m個(gè)超平面。最優(yōu)解分析:在端點(diǎn)(或稱為極點(diǎn)。極點(diǎn)向量中,至少有n-m個(gè)0分量)處取極值。單純形算法的基本思想從某個(gè)極點(diǎn)開始獲得一個(gè)可行解;判斷該可行解是不是目標(biāo)解。若是,算法結(jié)束;否則尋找下一個(gè)極點(diǎn)(確定入基變量和出基變量),直至找到目標(biāo)解。,.,線性規(guī)劃內(nèi)點(diǎn)算法,1972年,V.Klee和G.L.Minty指出Dantzig的單純形算法的迭代次數(shù)為O(2n),是一個(gè)指數(shù)時(shí)間算法,不是優(yōu)良算法。那么是否存在求解線性規(guī)劃問題的多項(xiàng)式時(shí)間算法?1984年,N.Karmarkar提出了一種投影尺度算法,其計(jì)算效果能夠同單純形法相比較,掀起了線性規(guī)劃內(nèi)點(diǎn)算法的熱潮。,.,線性規(guī)劃內(nèi)點(diǎn)算法,內(nèi)點(diǎn)算法的思想已知線性規(guī)劃問題的可行域是一個(gè)多面體,最優(yōu)點(diǎn)在多面體的某個(gè)極點(diǎn)取到。在給定初始可行解后,沿著什么樣的路徑到達(dá)最優(yōu)解呢?單純形法是從某個(gè)基可行解開始,沿著多面體的邊移動(dòng)最終找到最優(yōu)解。內(nèi)點(diǎn)算法的思想是從可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)(任一可行解)出發(fā),穿越可行域的內(nèi)部達(dá)到最優(yōu)解。N.Karmarkar的投影尺度算法就是一種典型的內(nèi)點(diǎn)算法。,.,線性規(guī)劃內(nèi)點(diǎn)算法,可行域,內(nèi)點(diǎn),初始基可行解,基可行解,目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)最速下降方向,.,線性規(guī)劃內(nèi)點(diǎn)算法,投影尺度算法如何穿過可行域的內(nèi)部快速達(dá)到最優(yōu)解呢?Karmarkar發(fā)現(xiàn):(1)如果一個(gè)內(nèi)點(diǎn)位于可行域(多胞形、多面體)的中心,那么目標(biāo)函數(shù)的最速下降方向是比較好的方向;(2)存在一個(gè)適當(dāng)?shù)淖儞Q,能夠?qū)⒖尚杏蛑薪o定的內(nèi)點(diǎn)置于變換后的可行域的中心?;谶@兩點(diǎn),Karmarkar構(gòu)造了一種稱為投影尺度算法的內(nèi)點(diǎn)算法。,.,線性規(guī)劃內(nèi)點(diǎn)算法,X空間,內(nèi)點(diǎn),目標(biāo)函數(shù),目標(biāo)函數(shù)最速下降方向,Y1空間,中心點(diǎn),投影尺度變換1,目標(biāo)函數(shù)最速下降方向,Y2空間,中心點(diǎn),投影尺度變換2,.,線性規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,OptimizationToolBoxMinfTxS.t.AxbAeqx=beqlbxub其中:f,x,b,beq,lb和ub均為向量;A和Aeq為矩陣。x,fval=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub),.,線性規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,例:maxz=x1+2x2S.t.x1+x2402x1+x260 x10;x20解:將max變?yōu)閙in,minz=-x1-2x2則:f=-1;-2;b=40;60;lb=zeros(2,1);A=11;21x,fval=linprog(f,A,b,lb)x=0;40,fval=-80,x1,x2,x1+x2=40,2x1+x2=60,Z=x1+2x2,.,優(yōu)化決策理論與方法,1、線性規(guī)劃2、非線性規(guī)劃(約束和非約束)3、多目標(biāo)規(guī)劃4、組合優(yōu)化與整數(shù)規(guī)劃,.,無約束非線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型,Minf(x);xRn其中f:RnR是一個(gè)非線性連續(xù)函數(shù)。對(duì)于任意點(diǎn)x*Rn,它是函數(shù)f的最小點(diǎn)(或局部極小點(diǎn))嗎?例如:minf(x)=ex1(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1),.,無約束非線性規(guī)劃極小值存在條件,必要條件。設(shè)x*是f(x)的局部極小點(diǎn),則當(dāng)f(x)在x*點(diǎn)可微時(shí),梯度f(x*)=0;當(dāng)f(x)在x*點(diǎn)二階可微時(shí),Hesse矩陣2f(x*)是半正定的,即dRn,有dT2f(x*)d0。充分條件。設(shè)f(x)在x*點(diǎn)二階可微,若梯度f(x*)=0且Hesse矩陣2f(x*)是正定的,則x*是f(x)的一個(gè)嚴(yán)格局部極小點(diǎn)。充要條件。設(shè)f(x)是可微凸函數(shù),則x*是f(x)的全局最小點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)梯度f(x*)=0。,.,無約束非線性規(guī)劃復(fù)習(xí),梯度矩陣,Hesse矩陣,Taylor展開,.,無約束非線性規(guī)劃牛頓法,基本思想:在一個(gè)點(diǎn)附近,用目標(biāo)函數(shù)f(x)的二階Taylor多項(xiàng)式近似f(x),并用該Taylor多項(xiàng)式的最小點(diǎn)近似f(x)的最小點(diǎn)。如果近似誤差比較大,那么可在近似最小點(diǎn)附近重新構(gòu)造f(x)的二階Taylor多項(xiàng)式(迭代),據(jù)此尋找新的近似最小點(diǎn),重復(fù)以上過程直到求得滿足一定精度要求的迭代點(diǎn)。,.,無約束非線性規(guī)劃牛頓法,設(shè)xk是第k次迭代結(jié)果,記gk=g(xk)=f(xk);Gk=G(xk)=2f(xk)。則f(x)=f(xk+p)k(p)=f(xk)+g(xk)Tp+1/2pTG(xk)p由于k(p)的最小點(diǎn)滿足g(xk)+G(xk)p=0,得p=x-xk=-G-1(xk)g(xk)因此,可近似得到迭代關(guān)系:xk+1=xk-G-1(xk)g(xk),.,無約束非線性規(guī)劃牛頓法,牛頓迭代法步驟初始化:給定一個(gè)初始點(diǎn)x0以及參數(shù)e0;記k=0。收斂性檢驗(yàn):計(jì)算g(xk),若|g(xk)|e,則算法終止;否則計(jì)算G(xk)。迭代改進(jìn):計(jì)算新的迭代點(diǎn)xk+1,即xk+1=xk-G-1(xk)g(xk)。k+1k。返回收斂性檢驗(yàn)。,.,無約束非線性規(guī)劃準(zhǔn)牛頓法,牛頓法算法的優(yōu)點(diǎn)是收斂速度快(利用了Hesse矩陣)。但使用Hesse矩陣的不足之處是計(jì)算量大,Hesse矩陣可能非正定等,準(zhǔn)牛頓法(Quasi-Newtonmethod)是對(duì)牛頓法的改進(jìn),目前被公認(rèn)為是比較有效的無約束優(yōu)化方法。基本思想:在迭代過程中只利用目標(biāo)函數(shù)f(x)和梯度g(x)的信息,構(gòu)造Hesse矩陣的近似矩陣,由此獲得一個(gè)搜索方向,生產(chǎn)新的迭代點(diǎn)。具體內(nèi)容請(qǐng)參考相關(guān)書籍。,.,無約束非線性規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,OptimizationToolBoxMinf(x)Matlab提供了兩個(gè)求解無約束非線性規(guī)劃的函數(shù)x,fval=fminunc(fun,x0)x,fval=fminsearch(fun,x0)用法相似,算法內(nèi)部的搜索策略不同。fun為f(x)的函數(shù)形式,x0為初始解向量。,.,無約束非線性規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,用法創(chuàng)建一個(gè)matlab文件,如myfun.mfunctionf=myfun(x)f=f(x);然后調(diào)用fminunc或fminsearch并指定初始搜索點(diǎn)。x0=x1,x2,xnx,fval=fminunc(myfun,x0)或x,fval=fminsearch(myfun,x0),.,無約束非線性規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,例:minf(x)=ex1(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)解:創(chuàng)建一個(gè)matlab文件,如myfun.mfunctionf=myfun(x)f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);調(diào)用無約束非線性規(guī)劃函數(shù)x0=-1,1;%Startingguessoptions=optimset(LargeScale,off);x,fval=fminunc(myfun,x0,options);或者x,fval=fminsearch(myfun,x0,options);,.,無約束非線性規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,fminunc結(jié)果:x=0.5000-1.0000fval=1.0983e-015iterations:8algorithm:medium-scale:Quasi-Newtonlinesearchfminsearch結(jié)果:x=0.5000-1.0000fval=5.1425e-010iterations:46algorithm:Nelder-Meadsimplexdirectsearch,.,約束非線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型,其中f(x)是目標(biāo)函數(shù),gi(x)和hj(x)為約束函數(shù)(約束條件)。S=x|gi(x)0hj(x)=0為可行域。有約束非線性規(guī)劃問題(COP)是指f(x),gi(x),hj(x)至少有一個(gè)是非線性的,且I或至少有一個(gè)為非空。,.,約束非線性規(guī)劃幾個(gè)概念,積極(active)約束:設(shè)x0是COP問題的一個(gè)可行解,則它必須滿足所有約束條件。對(duì)于gi(x0)0,或者等號(hào)成立,或者大于號(hào)成立。稱等號(hào)成立的約束為積極約束(有效約束),此時(shí),x0處于該約束條件形成的可行域邊界上;稱大于號(hào)成立的約束為非積極(inactive)約束(無效約束),此時(shí),x0不在該約束條件形成的可行域邊界上。顯然所有hj(x0)約束均是積極約束。記J=j|gj(x0)=0hj(x0)=0,稱為積極約束指標(biāo)集。,.,約束非線性規(guī)劃幾個(gè)概念,可行方向。設(shè)x0為COP問題的任一可行解,對(duì)某一方向d來說,若00使得對(duì)于任意0,0,均有x0+dS,稱d為x0的一個(gè)可行方向。顯然若d滿足dTgi(x)0,dThj(x)=0,則d一定是可行方向。(可用一階Taylor公式分析)。下降方向。設(shè)x0S,對(duì)某一方向d來說,若00使得對(duì)于任意0,0,均有f(x0+d)f(x0),則稱d為x0點(diǎn)的一個(gè)下降方向。由f(x0+d)=f(x0)+(f(x0)Td+o()可知:若d滿足dTf(x0)0,則x*為COP問題的一個(gè)嚴(yán)格局部極小點(diǎn)。,.,約束非線性規(guī)劃極小值存在條件,例:minf(x)=x12+x22S.t.x1+x24x1,x20解:g1(x)=x1+x2-40;g2(x)=x10;g3(x)=x20f(x)=2x1,2x2T,g1(x)=1,1T,g2(x)=1,0T,g3(x)=0,1T,得到:2x1=1+22x2=1+3又(x1+x2-4)1=0;x12=0;x23=0;i0若1=0,則x1=x2=0,與題意不符;若10,則x1+x2-4=0,x10,x20。因此有2=3=0,所以x1=x2=1/2,得x1=x2=2,x*=2,2T為該問題的唯一KKT點(diǎn)。根據(jù)凸規(guī)劃充分條件知x*為全局最小點(diǎn)。,.,約束非線性規(guī)劃可行方向法,上面例題介紹了通過求解KKT方程獲得問題解的方法,但KKT方程并不總是很好求解。下面介紹幾種約束優(yōu)化的求解方法:可行方向法、序列無約束化法和SQP法??尚蟹较蚍ǖ膽?yīng)用條件:要求所有約束均為線性約束(稱為線性約束的優(yōu)化問題,LCO)??尚蟹较蚍ǖ幕舅枷耄寒?dāng)某個(gè)可行方向同時(shí)也是目標(biāo)函數(shù)的下降方向時(shí),沿此方向移動(dòng)一定會(huì)在滿足可行性的情況下改進(jìn)迭代點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。,.,約束非線性規(guī)劃可行方向法,x1,x2,.,約束非線性規(guī)劃可行方向法,LCO問題:Minf(x)S.t.aiTxbi,iIajTx=bj,j設(shè)x0是LCO的一個(gè)可行解,若d是可行域在x0點(diǎn)的可行方向,則d滿足AI(x0)d0(I(x0)=i|aiTx0=bi,iI),Ad=0。設(shè)x0是LCO的一個(gè)可行解,若d是可行域在x0點(diǎn)的下降方向,則d滿足dTf(x0)0,定義二次罰函數(shù)MinQ(x,)=x1+x2+(2)-1(x1-x22)2Qx1=1+(x1-x22)/=0Qx2=1-2x2(x1-x22)/=0解得:x*=(1/4-,-1/2)T,Q*=-1/4-/2當(dāng)0時(shí)得,x*=(1/4,-1/2)T,f*=-1/4,.,約束非線性規(guī)劃序列無約束化法,對(duì)數(shù)障礙函數(shù)法:障礙函數(shù):其中稱為障礙參數(shù),且當(dāng)0時(shí),P(x,)的極小值趨于f(x)的極小值。該方法的適用性:COP問題僅包含不等式約束函數(shù),且可行域存在內(nèi)點(diǎn)。即S0=x|g(x)0,.,約束非線性規(guī)劃序列無約束化法,例:minf=x/2|x1解:構(gòu)造對(duì)數(shù)障礙函數(shù)P(x,)=x/2-ln(x-1)Px=1/2-/(x-1)=0,得x*=1+2,P*=1/2+-ln2當(dāng)0時(shí)得x*=1,f*=1/2,.,二次規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型,若有約束非線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)是決策變量x的二次函數(shù)且所有約束均為線性約束,稱此類非線性規(guī)劃問題為二次規(guī)劃(QuadraticProgramming,QP)問題。其標(biāo)準(zhǔn)型為:,.,二次規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型,其中Q=QTRnn(n階對(duì)稱方陣);以aiT(iI)為行向量的矩陣記為AIRIn;以ajT(j)為行向量的矩陣記為ARn;對(duì)應(yīng)的向量記為bI,b。若目標(biāo)函數(shù)的Hesse矩陣Q是半正定(或正定)的,則QP問題為(嚴(yán)格)凸二次規(guī)劃(CQP)。我們僅討論凸二次規(guī)劃問題,因?yàn)榉峭苟我?guī)劃的Q存在負(fù)特征根,求解很困難。,.,二次規(guī)劃極小點(diǎn)存在條件,充要條件可行點(diǎn)x*是QP問題的局部極小點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x*為一個(gè)KKT點(diǎn)且對(duì)于任意非零可行方向d,有dTQd0。對(duì)于凸二次規(guī)劃,x*為全局極小點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)x*為局部極小點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)x*為KKT點(diǎn)。二次規(guī)劃的KKT定理形式為:Qx*+c=AIT*+AT*(AIx*-bI)*=0二次規(guī)劃的求解本質(zhì)上就是求解上述KKT方程。,.,約束非線性規(guī)劃SQP法,對(duì)于非線性約束優(yōu)化(COP)問題,若x*是COP問題的一個(gè)局部最優(yōu)解,則它對(duì)應(yīng)一個(gè)純等式約束優(yōu)化問題,.,約束非線性規(guī)劃SQP法,因此如果事先知道積極約束指標(biāo)集,那么帶有不等式約束優(yōu)化問題就可以轉(zhuǎn)化為純等式約束優(yōu)化問題,并可用準(zhǔn)牛頓法求解,這就是逐次二次規(guī)劃(SequentialQuadraticProgramming,SQP)法?;舅枷耄涸诘c(diǎn)處構(gòu)造一個(gè)二次規(guī)劃子問題,近似原來的約束優(yōu)化問題;然后通過求解該二次規(guī)劃子問題獲得約束優(yōu)化問題的一個(gè)改進(jìn)迭代點(diǎn);不斷重復(fù)此過程,直到求出滿足一定要求的迭代點(diǎn)。,.,約束非線性規(guī)劃SQP法,對(duì)于等式約束優(yōu)化問題Minf(x)S.t.h(x)=0拉格朗日函數(shù)記為L(x,)=f(x)-Th(x)則L(x,)=(f(x)-h(x),-h(x)T=0,顯然問題的最優(yōu)解(x*,*)滿足此式。設(shè)(xk,k)是第k次迭代結(jié)果,根據(jù)牛頓法,有:,.,約束非線性規(guī)劃SQP法,上述迭代過程等價(jià)于如下的二次規(guī)劃的迭代。設(shè)給定迭代點(diǎn)(xk,k),則,.,約束非線性規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,OptimizationToolBoxMinf(x)s.t.c(x)0ceq(x)=0AxbAeqx=beqlbxubx,fval=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)fun定義目標(biāo)函數(shù),x0定義初始可行解,nonlcon定義c(x)和ceq(x)。,.,約束非線性規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,用法創(chuàng)建一個(gè)matlab文件,如myfun.mfunctionf=myfun(x)f=f(x);創(chuàng)建另一個(gè)matlab文件,如confun.mfunctionc,ceq=confun(x)c=c(x);ceq=ceq(x);調(diào)用fmincon并指定初始搜索點(diǎn)以及其他向量、矩陣。x0=x1,x2,xn;A;b;Aeq;beq;lb;ub;x,fval=fmincon(myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,confun),.,約束非線性規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,例:minf(x)=ex1(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)S.t.x1x2-x1-x2-1.5x1x2-10解:創(chuàng)建一個(gè)matlab文件,如myfun.mfunctionf=myfun(x)f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);創(chuàng)建另一個(gè)matlab文件,如confun.mfunctionc,ceq=confun(x)c=1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;ceq=;,.,約束非線性規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,調(diào)用有約束非線性規(guī)劃函數(shù)x0=-1,1;%Startingguessoptions=optimset(LargeScale,off);x,fval=fmincon(objfun,x0,confun,options)運(yùn)行結(jié)果:x=-9.54741.0474fval=0.0236iterations:8algorithm:medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search,.,二次規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,OptimizationToolBoxMin0.5xTHx+fTxs.t.AxbAeqx=beqlbxubx,fval=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x0定義初始可行解(可選),.,二次規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,用法首先要將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成二次規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型,從而得到H和f兩個(gè)矩陣。調(diào)用quadprog并根據(jù)需要指定初始搜索點(diǎn)以及其他向量、矩陣。x0=x1,x2,xn;A;b;Aeq;beq;lb;ub;x,fval=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0),.,二次規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,例:minf(x)=1/2x12+x22-x1x2-2x1-6x2)S.t.x1+x22-x1+2x222x1+x23x1,x20解:改寫f(x)=1/2(x12+2x22-x1x2-x1x2)-2x1-6x2得:H=1-1;-12,f=-2;-6,x=x1;x2;表示其它矩陣或向量A=11;-12;21;b=2;2;3;lb=0;0;Aeq=;beq=;ub=。不指派初始解。,.,二次規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,調(diào)用二次規(guī)劃函數(shù)x,fval=quadprog(H,f,A,b,lb)運(yùn)行結(jié)果:x=0.6667;1.3333fval=-8.2222iterations:3algorithm:medium-scale:active-set(積極約束集方法),.,優(yōu)化決策理論與方法,1、線性規(guī)劃2、非線性規(guī)劃(約束和非約束)3、多目標(biāo)規(guī)劃4、組合優(yōu)化與整數(shù)規(guī)劃,.,多目標(biāo)規(guī)劃管理實(shí)例,(物資調(diào)度)假設(shè)物資調(diào)度部門計(jì)劃將某種物資從若干個(gè)存儲(chǔ)倉庫調(diào)運(yùn)到若干個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)銷售。考慮到物資的時(shí)效性和銷售效益,調(diào)度部門希望物資在運(yùn)輸過程中盡可能快地到達(dá)目的地;同時(shí),考慮到運(yùn)輸成本,調(diào)度部門還希望物資的總運(yùn)輸費(fèi)用最小。試建立描述物資調(diào)運(yùn)過程的數(shù)學(xué)模型。解:設(shè)共有m個(gè)倉庫,第i個(gè)倉庫的物資庫存量為ai噸;有n個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn),第j個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)的銷售量為bj噸。第i個(gè)倉庫到第j個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)的距離為dij,單位物資的運(yùn)費(fèi)為cij。設(shè)從第i個(gè)倉庫運(yùn)到第j個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)的物資量為xij。,.,多目標(biāo)規(guī)劃管理實(shí)例,決策目標(biāo):運(yùn)輸速度最快,可用噸公里數(shù)(可觀測變量)最小描述??倗嵐飻?shù)為ijdijxij;運(yùn)輸費(fèi)用最小。總運(yùn)輸費(fèi)用為ijcijxij;約束條件每個(gè)倉庫的運(yùn)出量不超過倉庫的庫存量:jxijai;運(yùn)到每個(gè)銷售網(wǎng)點(diǎn)的量與其銷售能力相匹配:ixij=bj;每個(gè)倉庫的運(yùn)出量非負(fù):xij0。,.,多目標(biāo)規(guī)劃管理實(shí)例,最后得到模型:模型包含2個(gè)目標(biāo);mn個(gè)決策變量;mn+m+n個(gè)約束。,.,多目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型,多目標(biāo)規(guī)劃(multi-ObjectiveProgramming,MOP)就是指在決策變量滿足給定約束的條件下研究多個(gè)可數(shù)值化的目標(biāo)函數(shù)同時(shí)極小化(或極大化)的問題。其一般形式如下:Minf(x)=(f1(x),f2(x),fp(x)T,S.t.gi(x)0;iIhj(x)=0;j。,.,多目標(biāo)規(guī)劃Pareto最優(yōu)解,設(shè)x*是可行域S上的一個(gè)點(diǎn),對(duì)于xS,均有:fi(x*)fi(x)(i=1,p),稱x*為MOP問題的絕對(duì)最優(yōu)解;若不存在xS,使得fi(x)fi(x*)(或fi(x)fi(x*)(i=1,p),則稱x*為MOP問題的有效解(或弱有效解)。有效解通常也稱為Pareto最優(yōu)解。,S,x1,x2,f(S),f(S),f2,f2,f1,f1,絕對(duì)最優(yōu)解,有效解,弱有效解,.,多目標(biāo)規(guī)劃Pareto最優(yōu)解存在條件,(必要條件)假設(shè)向量值函數(shù)f=f1(x),fp(x)T,g=g1(x),g|I|(x)T,h=h1(x),h|(x)T在x*S處可微,若x*是MOP問題的有效解或弱有效解,則存在向量R+p,R+|I|,R+|,使得(,)0,且f(x*)=g(x*)+h(x*)Tg(x*)=0。,.,多目標(biāo)規(guī)劃求解方法,直接求解多目標(biāo)規(guī)劃問題的有效解集是NP-難問題。下面介紹多目標(biāo)規(guī)劃問題的間接解法,基本思路都是將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或多個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題。基于一個(gè)單目標(biāo)問題的方法:將原來的多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題,然后利用非線性優(yōu)化算法求解該單目標(biāo)問題,所得解作為MOP問題的最優(yōu)解。關(guān)鍵問題在于:保證所構(gòu)造的單目標(biāo)問題的最優(yōu)解是MOP問題的有效解或弱有效解。,.,多目標(biāo)規(guī)劃求解方法,線性加權(quán)和法:MinTf(x)=kkfk(x),S.t.gi(x)0;iIhj(x)=0;j權(quán)重設(shè)置要求:kk=1,k0(k=1,2,p)。主要目標(biāo)法:Minf(x)=f1(x),(不妨設(shè)f1(x)為主要目標(biāo))S.t.gi(x)0;iIhj(x)=0;jfk(x)uk,k=2,puk為專家經(jīng)驗(yàn)值。,.,多目標(biāo)規(guī)劃求解方法,極小化極大法:在目標(biāo)函數(shù)f(x)的p個(gè)分量中,極小化f(x)的最大分量,即minxSmax1jpfj(x)理想點(diǎn)法:分別求出f(x)中每個(gè)分量fj(x)的極小點(diǎn)fj0,得到理想點(diǎn)f0=(f10,fp0)T;然后求解單目標(biāo)優(yōu)化問題:minxS|f(x)-f0|。為范數(shù)的階,可取1,2,。,.,多目標(biāo)規(guī)劃求解方法,基于多個(gè)單目標(biāo)問題的方法:將原來的多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成具有一定次序的多個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題,然后依次求解這些單目標(biāo)優(yōu)化問題,并把最后一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題的解作為MOP問題的最優(yōu)解。關(guān)鍵問題在于:保證最后一個(gè)單目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)解是MOP問題的有效解或弱有效解。分層排序法:將目標(biāo)函數(shù)按重要度依次排序,然后在前一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解集中尋找下一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解集,并把最后一個(gè)目標(biāo)的最優(yōu)解作為MOP問題的最優(yōu)解。,.,多目標(biāo)規(guī)劃求解方法,minf1(x),xS(不妨設(shè)f1(x)為第一層目標(biāo)),得到最優(yōu)解集S1;第j層:minfj(x),xSj-1,j=2,p最后將Sp中的點(diǎn)作為多目標(biāo)問題的最優(yōu)解。,.,多目標(biāo)規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,OptimizationToolBoxMinmaxfi(x)s.t.c(x)0ceq(x)=0AxbAeqx=beqlbxubx,fval=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)Fun定義目標(biāo)函數(shù);x0定義初始可行解;nonlcon定義c(x)和ceq(x)。,.,多目標(biāo)規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,用法創(chuàng)建一個(gè)matlab文件,如myfun.mfunctionf=myfun(x)f(1)=f1(x);f(2)=f2(x);f(p)=fp(x)創(chuàng)建另一個(gè)matlab文件,如confun.mfunctionc,ceq=confun(x)c=c(x);ceq=ceq(x);調(diào)用fminimax并指定初始搜索點(diǎn)以及其他向量、矩陣。x0=x1,x2,xn;A;b;Aeq;beq;lb;ub;x,fval=fminimax(myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,confun),.,多目標(biāo)規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,OptimizationToolBoxMinx,s.t.F(x)-weightgoalc(x)0ceq(x)=0AxbAeqx=beqlbxubx,fval=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)Fun定義目標(biāo)函數(shù);goal為理想點(diǎn);x0定義初始可行解;nonlcon定義c(x)和ceq(x)。weight為各目標(biāo)的權(quán)重向量。,.,多目標(biāo)規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,用法創(chuàng)建一個(gè)matlab文件,如myfun.mfunctionf=myfun(x)f(1)=f1(x);f(2)=f2(x);f(p)=fp(x)創(chuàng)建另一個(gè)matlab文件,如confun.mfunctionc,ceq=confun(x)c=c(x);ceq=ceq(x);調(diào)用fgoalattain并設(shè)定理想點(diǎn)、權(quán)重向量,指定初始搜索點(diǎn)以及其他向量、矩陣。x0=x1,x2,xn;A;b;Aeq;beq;lb;ub;goal;weightx,fval=fgoalattain(myfun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,confun),.,多目標(biāo)規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,例:minf1,f2,f3,f4,f5f(1)=2*x(1)2+x(2)2-48*x(1)-40*x(2)+304;f(2)=-x(1)2-3*x(2)2;f(3)=x(1)+3*x(2)-18;f(4)=-x(1)-x(2);f(5)=x(1)+x(2)-8;無約束。,.,多目標(biāo)規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,解(1):用fminimax求解。定義myfun.m指定初始搜索點(diǎn):x0=0.1;0.1調(diào)用x,fval=fminimax(myfun,x0)結(jié)果:x=4.00004.0000fval=0.0000-64.0000-2.0000-8.0000-0.0000iterations:7algorithm:minimaxSQP,Quasi-Newton,line_search,.,多目標(biāo)規(guī)劃Matlab函數(shù)應(yīng)用,解(2):用fgoalattain求解。定義myfun.m指定初始搜索點(diǎn):x0=0.1;0.1指定理想點(diǎn):goal=1-60-5-10-1指定權(quán)重:weight=abs(goal)調(diào)用x,fval=fgoalattain(myfun,x0,goal,weight)結(jié)果:x=3.97983.9596fval=1.9395-62.8754-2.1412-7.9395-0.0605iterations:7algorithm:goalattainmentSQP,Quasi-Newton,line_search,.,優(yōu)化決策理論與方法,1、線性規(guī)劃2、非線性規(guī)劃(約束和非約束)3、多目標(biāo)規(guī)劃4、組合優(yōu)化與整數(shù)規(guī)劃,.,組合優(yōu)化基本概念,組合優(yōu)化問題是指從一個(gè)有限的可行解集中尋找使某個(gè)性能函數(shù)取極值的最優(yōu)解。給定一個(gè)有限集N=1,2,n和權(quán)函數(shù)c:NR。記N的某些子集的集合為F,則組合優(yōu)化問題就是從F中找到一個(gè)具有最小權(quán)重的子集。已經(jīng)證明:求解組合優(yōu)化問題的最優(yōu)解是NP-難的。設(shè)計(jì)各類貪婪算法是求解組合優(yōu)化問題常
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