18屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)沖刺提分作業(yè)第四篇考前沖刺突破6類解答題理

。內(nèi)部文件，版權(quán)追溯內(nèi)部文件，版權(quán)追溯內(nèi)部文件，版權(quán)追溯突破6類解答題一、三角函數(shù)問題重在“變”變角、變式與變名三角函數(shù)類解答題是高考的熱點(diǎn),其起點(diǎn)低、位置前,但由于其公式多,性質(zhì)繁,使不少同學(xué)對其有種畏懼感.突破此類問題的關(guān)鍵在于“變”變角、變式與變名.(1)變角:已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運(yùn)用.如=(+)-=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-).(2)變式:根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形,使其更貼近某個公式,方法通常有:“常值代換”“逆用、變形用公式”“通分約分”“分解與組合”“配方與平方”等.(3)變名:通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的,方法通常有“切化弦”“升次與降次”等.例1在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.解析(1)在ABC中,因為ab,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理=,得sin A=.(變式)所以,b的值為,sin A的值為.(2)由(1)及ac,得cos A=,所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.(變名)故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.(變角)變式:利用恒等變換變?yōu)閟in A=.變名:利用二倍角公式實現(xiàn)三角函數(shù)名稱的變化.變角:把2A+的三角函數(shù)表示為2A和的三角函數(shù).破解策略求解此類題目的策略:既要注重三角知識的基礎(chǔ)性,又要注重三角知識的應(yīng)用性,突出與代數(shù)、幾何、向量等知識的綜合聯(lián)系.“明確思維起點(diǎn),把握變換方向,抓住內(nèi)在聯(lián)系,合理選擇公式”是三角變換的基本要決.在解題時,要緊緊抓住“變”這一核心,靈活運(yùn)用公式與性質(zhì),仔細(xì)審題,快速運(yùn)算.跟蹤集訓(xùn)(2017鄭州第二次質(zhì)量預(yù)測)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知B=2C,2b=3c.(1)求cos C;(2)若c=4,求ABC的面積.二、數(shù)列問題重在“歸”化歸、歸納等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個基本數(shù)列,是一切數(shù)列問題的出發(fā)點(diǎn)與歸宿.首項與公差(比)稱為等差數(shù)列(等比數(shù)列)的基本量.只要涉及這兩個數(shù)列的數(shù)學(xué)問題,我們總希望把條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系,從而達(dá)到解決問題的目的.這種化歸為基本量處理的方法是等差或等比數(shù)列特有的方法,對于不是等差或等比的數(shù)列,可從簡單的個別的情形出發(fā),從中歸納出一般的規(guī)律、性質(zhì),這種歸納思想便形成了解決一般性數(shù)列問題的重要方法:觀察、歸納、猜想、證明.由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù),也可根據(jù)題目的特點(diǎn),將數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題來解決.例2(2017課標(biāo)全國,17,12分)設(shè)數(shù)列an滿足a1+3a2+(2n-1)an=2n.(1)求an的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和.解析(1)因為a1+3a2+(2n-1)an=2n,故當(dāng)n2時,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).(歸納)兩式相減得(2n-1)an=2(n2).所以an=(n2).又由題設(shè)可得a1=2,從而an的通項公式為an=(nN*).(2)記的前n項和為Sn.由(1)知=-.(化歸)則Sn=-+-+-=.歸納:通過條件歸納出a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1)(n2),進(jìn)而得出an的通項公式.化歸:把數(shù)列的通項分拆,利用裂項相消法求和.破解策略“算一算、猜一猜、證一證”是數(shù)列中特有的歸納思想,利用這種思想可探索一些一般數(shù)列的簡單性質(zhì).等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個特殊的基本數(shù)列,高考中通?？疾榈氖欠堑炔?、等比數(shù)列問題,應(yīng)對的策略就是通過化歸思想,將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列.跟蹤集訓(xùn)已知數(shù)列an的前n項和Sn=,nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn=+(-1)nan,求數(shù)列bn的前2n項和.三、立體幾何問題重在“建”建模、建系立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結(jié)合,以某個幾何體為依托,分步設(shè)問,逐層加深,解決這類題目的原則是建模、建系.建模將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計算模型;建系依托于題中的垂直條件,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解.例3(2017課標(biāo)全國,19,12分)如圖,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD.(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值.解析(1)由題設(shè)可得,ABDCBD,從而AD=DC.又ACD是直角三角形,所以ADC=90.取AC的中點(diǎn)O,連接DO,BO,則DOAC,DO=AO.又由于ABC是正三角形,故BOAC.所以DOB為二面角D-AC-B的平面角.(建模)在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.所以平面ACD平面ABC.(2)由題設(shè)及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向為x軸正方向,|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz.(建系)則A(1,0,0),B(0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,即E為DB的中點(diǎn),得E.故=(-1,0,1),=(-2,0,0),=.設(shè)n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,則即可取n=.設(shè)m是平面AEC的法向量,則同理可取m=(0,-1,),則cos=.易知二面角D-AE-C為銳二面角,所以二面角D-AE-C的余弦值為.建模:構(gòu)建二面角的平面角模型.建系:以兩兩垂直的直線為坐標(biāo)軸.破解策略立體幾何的內(nèi)容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定,因此,復(fù)習(xí)備考時往往有“綱”可循,有“題”可依.在平時的學(xué)習(xí)中,要加強(qiáng)“一題兩法(幾何法與向量法)”的訓(xùn)練,切勿顧此失彼;要重視識圖訓(xùn)練,能正確確定關(guān)鍵點(diǎn)或線的位置,將局部空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題;能依托于題中的垂直條件,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,將幾何問題化歸為代數(shù)問題.跟蹤集訓(xùn)(2017沈陽教學(xué)質(zhì)量檢測(一)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C底面ABC,AA1=A1C=AC=AB=BC=2,且點(diǎn)O為AC的中點(diǎn).(1)證明:A1O平面ABC;(2)求二面角A-A1B-C1的余弦值.四、概率問題重在“辨”辨析、辨型概率與統(tǒng)計問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型,只要模型一找到,問題便迎刃而解.而概率與統(tǒng)計模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的辨析思維過程,同時,還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關(guān)系,注意放回和不放回試驗的區(qū)別,合理劃分復(fù)雜事件.例4(2016課標(biāo),18,12分)某險種的基本保費(fèi)為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:上年度出險次數(shù)012345保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下:一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值.解析(1)設(shè)A表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,(辨析1)故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(辨型1)(2)設(shè)B表示事件:“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,(辨析2)故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=.(辨型2)因此所求概率為.(3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X元,則X的分布列為X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX=0.85a0.30+a0.15+1.25a0.20+1.5a0.20+1.75a0.10+2a0.05=1.23a.因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.辨析1:判斷事件A發(fā)生,在一年內(nèi)出險次數(shù)為2,3,4或5.辨型1:該問題為求隨機(jī)事件的概率,利用互斥事件的概率加法公式求解.辨析2:判斷事件B發(fā)生,在一年內(nèi)出險次數(shù)為4或5.辨型2:該問題為條件概率,可利用公式求解.破解策略概率與統(tǒng)計知識的復(fù)習(xí)應(yīng)抓住基本概念、基本公式,不需要做難題、偏題、怪題.在審題時,一般按以下程序操作:(1)準(zhǔn)確弄清問題所涉及的事件有什么特點(diǎn),事件之間有什么關(guān)系,如互斥、對立、獨(dú)立等;(2)理清事件以什么形式發(fā)生,如同時發(fā)生、至少有幾個發(fā)生、至多有幾個發(fā)生、恰有幾個發(fā)生等;(3)明確抽取方式,如放回還是不放回、抽取有無順序等;(4)準(zhǔn)確選擇排列組合的方法來計算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù),或根據(jù)概率計算公式和性質(zhì)來計算事件的概率.跟蹤集訓(xùn)(2017太原模擬試題)某知名品牌汽車深受消費(fèi)者喜愛,但價格昂貴.某汽車經(jīng)銷商推出A,B,C三種分期付款方式銷售該品牌汽車,并對近期100位采用上述分期付款的客戶進(jìn)行統(tǒng)計分析,得到如下的柱狀圖.已知從A,B,C三種分期付款方式的銷售中,該經(jīng)銷商每銷售此品牌汽車一輛所獲得的利潤分別是1萬元,2萬元,3萬元.現(xiàn)甲、乙兩人從該汽車經(jīng)銷商處,采用上述分期付款方式各購買此品牌汽車一輛.以這100位客戶所采用的分期付款方式的頻率代替1位客戶采用相應(yīng)分期付款方式的概率.(1)求甲、乙兩人采用不同分期付款方式的概率;(2)記X(單位:萬元)為該汽車經(jīng)銷商從甲、乙兩人購車中所獲得的利潤,求X的分布列與期望.五、解析幾何問題重在“設(shè)”設(shè)點(diǎn)、設(shè)線解析幾何試題知識點(diǎn)多,運(yùn)算量大,能力要求高,綜合性強(qiáng),在高考試題中大都是以壓軸題的面貌出現(xiàn),是考生“未考先怕”的題型,不是怕解題無思路,而是怕解題過程中繁雜的運(yùn)算.因此,在遵循“設(shè)列解”程序化解題的基礎(chǔ)上,應(yīng)突出解析幾何“設(shè)”的重要性,以克服平時重思路方法、輕運(yùn)算技巧的頑疾,突破如何避繁就簡這一瓶頸.例5(2017課標(biāo)全國,20,12分)設(shè)A,B為曲線C:y=上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4.(1)求直線AB的斜率;(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AMBM,求直線AB的方程.解析(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,(設(shè)點(diǎn))于是直線AB的斜率k=1.(2)由y=,得y=,設(shè)M(x3,y3),由題設(shè)知=1,解得x3=2,于是M(2,1).設(shè)直線AB的方程為y=x+m,(設(shè)線)故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.當(dāng)=16(m+1)0,即m-1時,x1,2=22.從而|AB|=|x1-x2|=4.由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7.所以直線AB的方程為y=x+7.設(shè)點(diǎn):設(shè)出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),并得出x1x2,x1+x2=4.設(shè)線:由(1)知直線斜率,再設(shè)直線方程為y=x+m,利用條件可求出m的值.破解策略解析幾何的試題常要根據(jù)題目特征,恰當(dāng)?shù)卦O(shè)點(diǎn)、設(shè)線,以簡化運(yùn)算.常見的設(shè)點(diǎn)方法有減元設(shè)點(diǎn)、參數(shù)設(shè)點(diǎn)、直接設(shè)點(diǎn)等,常見的設(shè)線方法有圓方程的標(biāo)準(zhǔn)式與一般式、直線方程有y=kx+b、x=my+n及兩點(diǎn)式、點(diǎn)斜式等形式、還有曲線系方程、參數(shù)方程等.跟蹤集訓(xùn)(2017昆明教學(xué)質(zhì)量檢測)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知定圓M:(x+1)2+y2=36,動圓N過點(diǎn)F(1,0)且與圓M相切,記動圓圓心N的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)A,P是曲線C上兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B(異于點(diǎn)P),若直線AP,BP分別交x軸于點(diǎn)S,T,證明:|OS|OT|為定值.六、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題重在“分”分離、分解以函數(shù)為載體,以導(dǎo)數(shù)為工具的綜合問題是高考?？嫉膲狠S大題,多涉及含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探索與討論,復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)的討論,不等式中參數(shù)范圍的討論,恒成立和能成立問題的討論等,是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn).對于此類綜合試題,一般先求導(dǎo),再變形或分解出基本函數(shù),再根據(jù)題意處理.例6(2017課標(biāo)全國,21,12分)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xln x,且f(x)0.(1)求a;(2)證明: f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0,且e-2 f(x0)2-2.解析(1)f(x)的定義域為(0,+).設(shè)g(x)=ax-a-ln x,則f(x)=xg(x), (分離)f(x)0等價于g(x)0.因為g(1)=0,g(x)0,故g(1)=0,而g(x)=a-,g(1)=a-1,得a=1.若a=1,則g(x)=1-.當(dāng)0x1時,g(x)1時,g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.所以x=1是g(x)的極小值點(diǎn),故g(x)g(1)=0.綜上,a=1.(2)由(1)知f(x)=x2-x-xln x, f (x)=2x-2-ln x.設(shè)h(x)=2x-2-ln x,(分解)則h(x)=2-.當(dāng)x時,h(x)0,所以h(x)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.又h(e-2)0,h0;當(dāng)x(x0,1)時,h(x)0.因為f (x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn).由f (x0)=0得ln x0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0).由x0(0,1)得f(x0)f(e-1)=e-2,所以e-2f(x0)2-2.分離:把函數(shù)f(x)分離為x與g(x)的積.分解:構(gòu)造h(x)=2x-2-ln x.破解策略函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題計算復(fù)雜、綜合性強(qiáng)、難度大.可以參變量分離,把復(fù)雜函數(shù)分離為基本函數(shù);可把題目分解成幾個小題;也可把解題步驟分解為幾個小步,注重分步解答,這樣,即使解答不完整,也要做到盡可能多拿步驟分.跟蹤集訓(xùn)(2017蘭州診斷考試)已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.(1)若f(x)在上的最大值為,求實數(shù)b的值;(2)若對任意的x1,e,都有g(shù)(x)-x2+(a+2)x恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.答案精解精析一、三角函數(shù)問題重在“變”變角、變式與變名跟蹤集訓(xùn)解析(1)由已知及正弦定理得,2sin B=3sin C.B=2C,2sin 2C=3sin C,4sin Ccos C=3sin C,C(0,),sin C0,cos C=.(2)c=4,2b=3c,b=6.C(0,),sin C=,sin B=sin 2C=2sin Ccos C=,cos B=cos 2C=cos2C-sin2C=,sin A=sin(-B-C)=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=+=.SABC=bcsin A=64=.二、數(shù)列問題重在“歸”化歸、歸納跟蹤集訓(xùn)解析(1)當(dāng)n=1時,a1=S1=1;當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1=-=n.a1也滿足an=n,故數(shù)列an的通項公式為an=n.(2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn,記數(shù)列bn的前2n項和為T2n,則T2n=(21+22+22n)+(-1+2-3+4-+2n).記A=21+22+22n,B=-1+2-3+4-+2n,則A=22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+-(2n-1)+2n=n.故數(shù)列bn的前2n項和T2n=A+B=22n+1+n-2.三、立體幾何問題重在“建”建模、建系跟蹤集訓(xùn)解析(1)因為AA1=A1C,且O為AC的中點(diǎn),所以A1OAC,又平面AA1C1C平面ABC,平面AA1C1C平面ABC=AC,且A1O平面AA1C1C,A1O平面ABC.(2)如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,OA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由已知可得O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,),C1(0,2,),B(,0,0),=(,1,0),=(,0,-),=(0,2,0).設(shè)平面AA1B的法向量為m=(x1,y1,z1),則有令x1=1,得y1=-,z1=1,m=(1,-,1)是平面AA1B的一個法向量.設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x2,y2,z2),則有易得y2=0,令x2=1,則z2=1,n=(1,0,1)是平面A1BC1的一個法向量,cos=,所求二面角的余弦值為-.四、概率問題重在“辨”辨析、辨型跟蹤集訓(xùn)解析(1)由柱狀圖可知,1位客戶采用A,B,C三種分期付款方式的概率分別為0.35,0.45,0.2,則甲、乙兩人都采用A種分期付款方式的概率為0.352=0.122 5,甲、乙兩人都采用B種分期付款方式的概率為0.452=0.202 5,甲、乙兩人都采用C種分期付款方式的概率為0.22=0.04,甲、乙兩人采用不同分期付款方式的概率為1-0.122 5-0.202 5-0.04=0.635.(2)由題意得,X的所有可能取值為2,3,4,5,6,P(X=2)=0.352=0.122