第二類(lèi)曲線積分VIP

.,第十章,第二節(jié),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,第二類(lèi)曲線積分,二、第二類(lèi)曲線積分的概念與性質(zhì),一、向量場(chǎng),三、第二類(lèi)曲線積分的計(jì)算,.,一、向量場(chǎng),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,畫(huà)向量場(chǎng),.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,梯度場(chǎng)和保守場(chǎng),.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,解:,.,二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,定向曲線與切向量：,定向曲線：帶有確定走向的一條曲線。,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,則L的切向量為：,.,分割,解:,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,“分割,近似,求和,取極限”,求變力沿曲線所作的功，利用,近似,例：求變力F沿曲線L所作的功。,.,求和:,取極限:,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,向量形式,坐標(biāo)形式,則,.,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,上式也稱(chēng)為第二類(lèi)曲線積分的向量形式。,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,第二類(lèi)曲線積分也稱(chēng)為向量場(chǎng)的線積分。,.,說(shuō)明：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,基本性質(zhì),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,性質(zhì)1：,性質(zhì)2：,性質(zhì)3：,.,第二類(lèi)曲線積分的坐標(biāo)表示,設(shè),則,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,令,若上式左端的極限存在，則右端的極限也存在,記為,上式右端稱(chēng)為第二類(lèi)曲線積分的坐標(biāo)表示。,.,（2）若,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,上式右端稱(chēng)為第二類(lèi)曲線積分的坐標(biāo)表示。,.,則,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,三、兩類(lèi)曲線積分之間的關(guān)系,.,證明：,于是有,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,即,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,平面曲線的情況完全類(lèi)似推導(dǎo)。,故,.,解1：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,解2：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,解：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,于是,.,四、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算,定理（平面曲線的情形）,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,證明：,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,注意：a未必小于b。,.,特殊情形,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,(4)若曲線L的方程為極坐標(biāo)方程：,先化成參數(shù)方程：,然后用公式計(jì)算。,.,定理（空間曲線的情形）,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,注意：兩類(lèi)曲線積分之間區(qū)別,（1）第一類(lèi)曲線積分是數(shù)量函數(shù)對(duì)弧長(zhǎng)的積分；第二類(lèi)曲線積分是向量函數(shù)的各分量函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的積分。,（2）第一類(lèi)曲線積分與路徑的方向無(wú)關(guān)，化成定積分時(shí)，下限總小于上限；第二類(lèi)曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向改變，積分值變號(hào)），化成定積分時(shí)，下限未必小于上限。,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,（2）對(duì)于第二類(lèi)曲線積分，當(dāng)積分弧L是垂直于某坐標(biāo)軸的直線段AB時(shí)，對(duì)該坐標(biāo)的積分為零，即,空間曲線上的第二類(lèi)曲線積分也有類(lèi)似的性質(zhì)。,說(shuō)明：,（1）在第二類(lèi)曲線積分中，由于涉及積分曲線的方向問(wèn)題，因此要慎用對(duì)稱(chēng)性。一般情況下，應(yīng)在曲線積分化為定積分后再考慮能否利用對(duì)稱(chēng)性來(lái)化簡(jiǎn)計(jì)算。,.,例3:,解:,原式,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例4：,解：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,一般情況下，第二類(lèi)曲線積分的值，不僅與積分路徑的起點(diǎn)或終點(diǎn)有關(guān)，而且與積分路經(jīng)本身有關(guān)。即被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同。,例3說(shuō)明：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,在有些情況下，第二類(lèi)曲線積分的值，僅與積分路徑的起點(diǎn)或終點(diǎn)有關(guān)，而與積分路經(jīng)本身無(wú)關(guān)。即被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，路徑不同積分但結(jié)果相同。,例4說(shuō)明：,.,例5.求,其中L是雙紐線的右半支,逆時(shí)針?lè)较颉?解:L的極坐標(biāo)方程是：,L的參數(shù)方程是：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,奇函數(shù),.,例6.求,其中,從z軸正向看為順時(shí)針?lè)较?,解:取的參數(shù)方程,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例7.,解:,動(dòng)到,向坐標(biāo)原點(diǎn)，,其大小與作用點(diǎn)到xoy面的距離成反比。,沿直線移,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,例8：,解：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,如圖,則,.,例9：,解：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,則在t時(shí)刻：,單位時(shí)間流出的油漆為：,.,1.定義,2.性質(zhì),(1)L可分成k條有向光滑曲線弧,(2)L表示L的反向弧,對(duì)坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向!,內(nèi)容小結(jié),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,3.計(jì)算,對(duì)有向光滑弧,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,若曲線L的方程為極坐標(biāo)方程：,先化成參數(shù)方程：,然后用公式計(jì)算。,.,對(duì)空間有向光滑弧:,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,區(qū)別：,第一類(lèi)曲線積分與路徑的方向無(wú)關(guān)，化成定積分時(shí)，下限總小于上限；,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,第二類(lèi)曲線積分與路徑的方向有關(guān)（方向改變，積分值變號(hào)），化成定積分時(shí)，下限未必小于上限。,4.兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系與區(qū)別,聯(lián)系：,.,作業(yè),習(xí)題9-2(P250)1(3)(6)(7)(8)；2(2)(4);3;5；7,第三節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,1、,解,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,備用題,.,解：,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,3.已知,為折線ABCOA(如圖),計(jì)算,提示:,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,原點(diǎn)O的距離成正比,4、設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在,處受,恒指向原點(diǎn),沿橢圓,此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn),逆時(shí)針移動(dòng)到,提示:,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,5.,將積分,化為對(duì)弧長(zhǎng)的積,分,解1：,其中L沿上半圓周,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,5.,將積分,化為對(duì)弧長(zhǎng)的積,分,解2：,其中L沿上半圓周,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,.,6：設(shè)在力場(chǎng),作用下,質(zhì)點(diǎn)由,沿移動(dòng)到,解:(1),(2)的參數(shù)方程為,試求力場(chǎng)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.