三角形內(nèi)角和定理證明案例評析.doc

蘇科數(shù)學教材編寫組召集錄象課案例評析三角形內(nèi)角和定理證明案例評析挖掘教材意圖，體現(xiàn)課改意識 江蘇省淮陰中學 韓 建一、 背景分析證明是九年義務教育八年級（下）（蘇科版）的十三章，是開啟整個初中階段幾何證明學習大門的鑰匙。三角形內(nèi)角和的定理證明是其第三節(jié)內(nèi)容的第三課時。學生在七年級和八年級（上）曾初步接觸過“說理”。另外，在前一課時學生已初步了解證明的意義、格式和基本要求。本課時是讓學生通過證明“三角形內(nèi)角和是180度”的過程，感受“證明”在確認結(jié)論中的重要作用，這有別于前面的“說理”，也就是說，“證明三角形內(nèi)角和是180度”僅僅是載體，重要的是教會學生利用基本事實和定理進行合乎邏輯的思考和有條理的表達。因此，在課堂教學中確定完成的教學目標、教學重難點如下：二、 教學目標：1、 【知識與技能目標】（1） 會證明三角形內(nèi)角和定理。（2） 簡單運用三角形內(nèi)角和定理。（3） 通過添加輔助線證題，增強觀察、猜想和理論證明的能力。2、 【過程與方法目標】（1）感受探索三角形內(nèi)角和定理的證明過程。（2）培養(yǎng)學生有條理地思考問題和合乎情理地表達問題的能力。（3）通過滲透化歸的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生解決數(shù)學問題的基本方法。3、 【情感、態(tài)度目標】通過師生的共同探究活動，培養(yǎng)學生的概括、總結(jié)能力，激發(fā)學生探索問題的興趣。4、 【價值觀目標】通過確認“三角形內(nèi)角和是180度”體會學習數(shù)學的價值是發(fā)現(xiàn)和確認數(shù)學規(guī)律。三、 教學重難點： 【重點：】定理的證明與運用。【難點：】引導學生添加輔助線解決問題，并進行合乎情理地思考，有條理地表達。四、 教學過程：(一) 問題情境引入：師：我們以前在哪些學習階段研究過三角形內(nèi)角和？（引起回憶）生：小學、七年級（下）師：最初我們是怎樣說明三角形內(nèi)角和是1800的？（提出問題）生：將三角形的三個角搬到一起組成一個平角。師： 當初你們是否對操作產(chǎn)生過懷疑（引起矛盾沖突）生：（1）剪拼是否要考慮縫隙，是否有誤差（2）無論剪拼多少個總有特殊性，總不可能說明全部三角形的內(nèi)角和都是1800【評析：（1）鑒于學生對證明已有一定的認識和了解，并且對三角形內(nèi)角和已經(jīng)有初步認識，在教學過程設計上沒有從學生身邊熟悉的事例創(chuàng)設情境，讓學生觀察并親自動手，而是簡單地對三角形內(nèi)角和的知識加以回憶。（2）學生以前所做的都是特殊的三角形，而且“量一量、拼一拼、折一折”受客觀因素的制約，影響了研究結(jié)果的準確性，況且當時有些學生量出內(nèi)角和的度數(shù)確實要高于或低于180。（3）學生的懷疑是正常的，剪拼得到的結(jié)論有一定的合理性，但還需證明來確認，這正是我們這節(jié)課要解決的問題 教育學生研究問題要有一個嚴謹?shù)目茖W態(tài)度，】師： 能將黑板上畫的三角形的三個角搬到一起組成一個平角嗎？（黑板上畫的一個三角形ABC）生：不能！ 師： 我們不能搬！但能否根據(jù)我們近階段學過的平行線相關(guān)知識來移動角，從而用相等的角來代換一下，從而達到搬的效果？來證明一下，我們大家一起分組探索，5分鐘后交流看看哪一組探索的方法多，找到的方法最簡單？（解決問題）【評析：培養(yǎng)學生有“公理化思想”，能運用基本事實和定理證明問題，有學會運用舊知解決新知，從以前的活動中思考獲取解決的方法，有合作學習的能力，有探究新知的能力?！?二) 探索新知識1、 探索定理證明方法【活動一】培養(yǎng)學生合乎情理的思考（一）。如圖 ，已知：ABC。求證：ABC1800（板書）。師：下面我們一起交流一下學生一：延長BC到D，過點C畫直線CEABE學生二：過點A畫直線DEBC學生三：過點A畫直線AMBC學生四：以點C為頂點CA為一邊畫ACD=AE學生五：延長BC到D，以點C為頂點CA為一邊畫ACE=A學生六：在BC上任取點D，過D作DFAC，DEAB交AB，AC于F，E?！驹u析：（1）在這一段我進行了6次課堂巡視，其中5次參與學生的討論、交流，兩次分別對三個困難小組進行重點輔導，巡視時關(guān)注面較廣，目的性明確。一位學困生本節(jié)課中共舉了兩次手。課后該班學生找到我說：“沒想到他本節(jié)課能舉手發(fā)言，學習的態(tài)度變化很大”。說明我們教師在課堂中應充分重視、關(guān)愛學困生，讓每位學生都有所發(fā)展。（2）對數(shù)學學習的評價要做到既關(guān)注學生學習的結(jié)果，更要重視關(guān)注他們學習的過程；要關(guān)注學生數(shù)學學習的水平，更要關(guān)注他們在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我，建立信心。對學生的精彩回答應予以熱情的肯定，促使學生的思維更加活躍。在討論過程中我對每一個學生的回答都給以很高的評價，并喚起全班同學的共鳴，學生多次不由自主的鼓掌。（3）由于現(xiàn)場學生討論非常熱烈，教師把交流的時間延長2分鐘，交流時小組競爭很激烈，學生的方法很多，遠遠超過老師預料，黑板已不夠用了。此時教師的主導作用是讓學生的主體地位得到充分的體現(xiàn)，讓學生成為學習的主人?！俊净顒佣颗囵B(yǎng)學生合乎邏輯的思考（二）師：以上大家的表現(xiàn)，超過老師的想象，說明同學們是好學的，思維是積極的，沒來得及說的同學，課后小組集中一下，我們馬上進行下一個環(huán)節(jié)好嗎？（充分發(fā)揮評價機制）生：好。師：我們用第一位同學的方法，請同學思考一下，我們怎樣把問題說清楚呢？【評析：（1）由于學生這方面的基礎(chǔ)不是很好，現(xiàn)場很難有學生說清楚，但老師在此不能著急，老師要讓學生成為學習的主體，老師要給時間讓學生充分的，反復的交流。（2）考慮這一段是教學的重點，教師選擇比較好的同學發(fā)言，一起整理為：分析思路 （三個并列）CEAB CEAB 平角等于1800（則要這三個條件）ACE=A BECD ACB+ACE+ECD1800（則要證之）ABACB1800 （要證之）雖然是老師整理的，但在教學中老師即時表揚學生思維的合理性，讓學生確認自身的價值】2、證明三角形內(nèi)角和定理-培育學生有條理的表達。E（1）老師板書證明：延長BC到D，過點C畫直線CEAB所以BECD（兩直線平行，同位角相等） ACE=A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）因為ACB+ACE+ECD1800所以ABACB1800（等量代換）（2）還有其它方法嗎？讓學生板演E證明：延長BC到D，過點C畫直線CEAB所以ACE=A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）B+BCE1800（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）因為BCEACB+ACE所以ABACB1800（等量代換）師：這兩種方法的最大的區(qū)別是什么？生：第一種方法是將三角形的三個內(nèi)角化為“平角等于1800”來說明問題的；第二種方法是將三角形的三個內(nèi)角化為“兩直線平行同旁內(nèi)角和等于1800”說明問題的師：說的非常的好！【評析：（1）這里是本節(jié)課的一個重點，教師在這里要交代什么是輔助線，添加時要用虛線畫出，輔助線怎么來得的在證明開始時要交代清楚，后添加的字母要在證明的開始前交代清楚。規(guī)范書寫格式是自上而下的。有條理的表達上面的分析思路，有一個嚴密的邏輯思維過程。（2）我們教書不但要給學生傳授方法還要給學生傳授數(shù)學思想，三角形內(nèi)角和的證明實質(zhì)是利用化歸思想將三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為“平角等于1800”和“兩直線平行同旁內(nèi)角和等于1800”這一點應該給學生交代清楚】3、定理應用：（1）是ABC的一個外角, 與ABC的內(nèi)角有怎樣的關(guān)系？不相鄰內(nèi)角關(guān)系：=AB （進而A B）相鄰內(nèi)角關(guān)系：C1800三角形內(nèi)角和定理推論：a) 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。b) 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的兩個內(nèi)角。（2）證明：直角三角形的兩個銳角互余。已知：直角三角形ABC中，C=900。證明：AB=900證明：（略）（3）如圖，1、2、3是ABC的外角，猜想ABC的三個外角的和是多少？證明你的猜想證明：因為=BACACB=BACABC=ABCACB所以123=2BAC2ACB2ABC=2（BACACBABC）因為BACACBABC=1800所以123=3600（4）四邊形的內(nèi)角和是多少度？證明你的猜想。解：3600連結(jié)BD因為A14=18002C3=1800所以A142C3=3600因為12 =ABC 43=ADC所以AABCCADC=3600【評析：這里的應用也有別于以前針對三角形內(nèi)角和的定理的訓練，主要還是培養(yǎng)學生合乎情理的思考，有條理的表達的能力。三角形內(nèi)角和定理的運用僅僅是一個載體。由于時間的原因，（3）與（4）沒有來得及完成，但由于上面已經(jīng)基本實現(xiàn)目標，沒完成不算是缺點?！课?、教學小結(jié)：師：我們一起分享今天的收獲吧，分享你的成功，分享你的快樂感受！學生一：三角形內(nèi)角和的定理：三角形三個內(nèi)角的和等于1800及其推論；師：說的很好！學生二：通過思考、去探究、去總結(jié)三角形內(nèi)角和的定理證明方法不止一種，師：說的很好！這也印證了一句哲理“探索事物的正確答案的方法不止一個”；學生三：探索到一個數(shù)學規(guī)律，最終還須證明；并且學會怎樣有條理的表達了。師：說的好！“證明”來確認數(shù)學規(guī)律的唯一方法。學生四：三角形內(nèi)角和的定理證明中，添加輔助線的實質(zhì)是通過平行線來移動角；師：說的好！我們證明問題的許多方法都來源于最初的數(shù)學實驗。實驗是我們數(shù)學思維的源泉。因而我們不能放棄對數(shù)學實驗的思考。學生五：三角形內(nèi)角和的定理證明方法的實質(zhì)是一種數(shù)學“化歸”思想的運用。即將三角形三個內(nèi)角的和等于1800轉(zhuǎn)化為：(1)平角等于1800；(2)兩直線平行同旁內(nèi) 角和等于1800；師：說的好！這是我們數(shù)學研究問題的一貫思維方法。另外，為了證明上的需要,在原來圖形上添加的線叫輔助線,輔助線通常畫成虛線。證明初要交代清楚。師：下課。五、 布置作業(yè)： 習題11.3P177:3;P179180：7、8、9六、 教學反思：1、在備課時，教師不能只備教材而不備學生，只考慮自己如何“教”而忽視學生如何“學”。在這節(jié)課上產(chǎn)生的情況，由于我對學生已有的知識經(jīng)驗估計不足造成的有些內(nèi)容沒完成。因此，教師在備課時，要充分預計學生已有的知識水平，站在學生的角度來思考：如果自己是學生，我已懂了哪些知識？還有什么問題？不能只考慮教師教得舒暢、教得精彩，而應更多地從學生的角度來思考“教什么”和“怎樣教”，做到以“學”定“教”。充分體現(xiàn)學生是學習的主體。2、教師的教學方式要適應學生的學習。新課程明確倡導動手實踐、自主探究、合作交流的學習方式。這就要求教師的角色，應當從過去知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生自主性、探究性、合作性學習活動的設計者和組織者。在教學過程中，我給學生設置了富有挑戰(zhàn)性的問題情境，讓學生分組合作、自主地去探究和發(fā)現(xiàn)方法。3、本節(jié)課教師主導作用的發(fā)揮是比較好的，作用體現(xiàn)在讓學生的主體得到充分的展示。例如：證明方法的發(fā)現(xiàn)和小結(jié)等。4、要想使學生感受到學習的快樂，就必須讓學生體驗到自己的力量，體會到探究與發(fā)現(xiàn)帶來的樂趣。教學中，我遵循的基本教學原則是激勵學生展開積極的思維活動。不斷的表揚學生，使學生感到自身的價值存在。給學生一個展示個性、享受成功的機會。創(chuàng)設民主和諧的氛圍，有助于減輕學生的心理負擔，使學生的個性見解自由表達，獨特做法主動展示。例如：證明方法的多樣性，反映學生思維的多樣性，學生個性的多樣性；放手給學生自己小結(jié)體現(xiàn)不同學生有不同發(fā)展，交流是一種互補。5、 每個學生都有按自