從樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)整體參數(shù)ppt課件

第六章從樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù),第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)第二節(jié)區(qū)間估計(jì)一、樣本平均數(shù)的抽樣分布二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì),1,從樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)或推斷總體參數(shù)是推斷統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要部分。我們?cè)谝搿皹颖尽焙汀翱傮w”這兩個(gè)概念時(shí)看到，語(yǔ)言研究所涉及的總體往往非常大（甚至是無(wú)限大的），因而難以對(duì)其中所有個(gè)體都加以研究，研究者們所能做的只是通過(guò)隨機(jī)的方法從總體中抽取一個(gè)具有代表性的樣本加以研究，然后再?gòu)挠嘘P(guān)樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)或推斷未知的總休參數(shù)，例如從樣本平均數(shù)來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)。本章只討論如何從樣本平均數(shù)X和比分別估計(jì)總體平均數(shù)和比。估計(jì)的方法有兩種：點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。,2,第一節(jié)點(diǎn)估計(jì),當(dāng)總休平均數(shù)或比例未知時(shí)，我們可以直接把樣本平均數(shù)或比例用作它的估計(jì)值。由于樣本統(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)，所以稱為“點(diǎn)估計(jì)值”。一個(gè)理想的點(diǎn)估計(jì)值至少應(yīng)具備以下兩個(gè)條件：,3,（1）無(wú)偏性,一般情況下，樣本統(tǒng)計(jì)量是不會(huì)和相應(yīng)的總體參數(shù)完全相同的，兩者多少都會(huì)有一定的差距，但是如果用無(wú)限多個(gè)樣本的統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，平均估計(jì)誤差將會(huì)等于0。具有這一特征的統(tǒng)計(jì)量就無(wú)偏估計(jì)值。例如，用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)時(shí)，總會(huì)有些誤差，在有些樣本中，它可能會(huì)大于總體平均數(shù)，而在另一些樣本中它又可能會(huì)小于總體平均數(shù)，而且對(duì)于不同的樣本估計(jì)誤差的大小也是不同的，但是無(wú)限多個(gè)樣本平均數(shù)的平均估計(jì)誤差為0。換句話說(shuō)，樣本平均數(shù)的平均數(shù)將會(huì)等于總體平均數(shù)。,4,因而樣本平均數(shù)是一個(gè)無(wú)偏點(diǎn)估計(jì)值（在第四章里，我們?cè)谟懻摌颖痉讲詈蜆?biāo)準(zhǔn)差時(shí)曾經(jīng)指出，公式中要用N-1（而不能用N）做分母，就是要保證方差和標(biāo)準(zhǔn)差具有無(wú)偏性，因?yàn)橛肗做分母時(shí)，樣本方差一般要小于總休的方差）。（2）一致性。樣本容量越大，根據(jù)樣本計(jì)算出的估計(jì)值越接近總體參數(shù)的真值。作為總休平均數(shù)的估計(jì)值，樣本平均數(shù)就具有一致性。,5,第二節(jié)區(qū)間估計(jì),即便是一個(gè)理想的點(diǎn)估計(jì)值，也無(wú)法克服點(diǎn)估計(jì)的一個(gè)致命缺陷，那就是它易受樣本變化的影響：每次抽取的樣本不同，得出的統(tǒng)計(jì)量也就不同，因而它所提供的參數(shù)估計(jì)值也就會(huì)不同。如果能把抽樣所帶來(lái)的這種變異性或不確定性考慮進(jìn)去，對(duì)總體參數(shù)的估計(jì)將會(huì)更有意義簡(jiǎn)而言之，區(qū)間估計(jì)就是為總體參數(shù)計(jì)算出一個(gè)可能的取值范圍或值域，然后指出總體參數(shù)處在該值域的可能性有多大。,6,一、樣本平均數(shù)的抽樣分布,假如有一個(gè)變量的總體（至于何種總體無(wú)關(guān)緊要），我們從中隨機(jī)抽取取一個(gè)含有若干個(gè)觀測(cè)值的樣本（記作S1），計(jì)算出樣本平均數(shù)（記作X1），然后把所抽取的觀測(cè)值再放回總體。按照此法，再抽取樣本S2，得樣本平均數(shù)X2，等等。從理論上講，我們可以無(wú)限次地重復(fù)這一過(guò)程，抽取n個(gè)樣本，計(jì)算出n個(gè)樣本平均數(shù)。正如我們可以為觀測(cè)值繪制分布圖那樣，我們也可以為這些樣本平均數(shù)繪制分布圖（為了便于理解，不妨把這些平均數(shù)看作觀測(cè)值），這個(gè)分布就叫做平均數(shù)的抽樣分布。,7,1.（漸近）正態(tài)分布,平均數(shù)的抽樣分布的形態(tài)取決于總體的分布和總體方差是否已知，以及樣本容量的大?。寒?dāng)總體的分布為正態(tài)，總體方差已知時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布；當(dāng)總體的分布為非正態(tài)，總體方差已知時(shí)，如果樣本較大，則樣本平均數(shù)的分布接近正態(tài)分布，其樣本越大，總體偏接近的程度取決于樣本容量以及總體的偏斜程度斜程度越輕，兩者就越接近。這一現(xiàn)象叫做“中心極限定理”。,8,當(dāng)樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)或漸近正態(tài)時(shí)，分布的平均數(shù)與總體平均數(shù)相等，而分布的離散程度則小于總休的離散程度。如果橫軸上的測(cè)量單位相同，那么總體的分布形態(tài)較為平闊，而樣本平均數(shù)的分布則較為尖狹。不過(guò)，如前所述，一個(gè)呈正態(tài)分布的變量可以通過(guò)求標(biāo)準(zhǔn)分的方法，轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量（見(jiàn)第五章），我們也可以用此方法把每個(gè)樣本平均數(shù)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)分，進(jìn)而把正態(tài)的樣本平均數(shù)的抽樣分布轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，公式為,9,樣本平均數(shù)分布的離散程度是用樣本平均數(shù)的抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示的。為了與樣本標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)別開來(lái)，抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差習(xí)慣上稱作“標(biāo)準(zhǔn)誤”，用符號(hào)SE表示。標(biāo)準(zhǔn)誤與樣本容量（N）以及總體的標(biāo)準(zhǔn)差有關(guān)，即也就是說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)誤與總體標(biāo)準(zhǔn)差的大小成正比，與樣本的大小成反比（嚴(yán)格來(lái)說(shuō)是與樣本大小的開方成反比，因此在總休標(biāo)準(zhǔn)差一定時(shí)，為了使標(biāo)準(zhǔn)誤減少一半，就必須使樣本容量擴(kuò)大四倍）。,10,2.t分布,前面講的是樣本平均數(shù)呈正態(tài)分布或接近正態(tài)分布的情況。此外，還有兩種情況：一是總體分布為正態(tài)，但總體方差未知，且樣本容量又較??；二是總休分布為非正態(tài)，而且總體方差未知，樣本容量又較小。在這些情況下，樣木平均數(shù)的分布為t分布這是因?yàn)榭傮w力一差末知，在計(jì)算這一比率時(shí)，要用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S取代，但是在樣本較小的情況下，樣本方差差S2作為總體方差的估計(jì)值并不是很準(zhǔn)確的，這時(shí)不再呈正態(tài)分布，而是呈“t分布”，因而該比率也就不再稱作Z值，而是t值。,11,t分布在某些方面與正態(tài)分布是一樣的，譬如它的平均值為0，平均值兩側(cè)是對(duì)稱的，左側(cè)t為負(fù)值，右側(cè)為正值。但是不同的是，t分布的方差要大于（標(biāo)準(zhǔn)）正態(tài)分布的方差（即大于1），因而與正態(tài)分布相比，t分布的中間要低平一些。樣本越小，分布的方差就越大，其中間也就越低，兩尾端就翹得越高。反過(guò)來(lái)，隨著樣本容量的增加，t分布的方差（逐漸接近1），而當(dāng)樣本容量大到一定程度時(shí)，t分布的方差就等于1。因而，t分布的形狀隨著樣本大小的變化而變化，但是這里“樣本大小”不是通常所指的N，而是N-1（即樣本容量減1），即所謂的“自由度”。,12,從以上的討論可以看到，雖然決定樣本平均數(shù)分布的因素有總體的分布形態(tài)、總體方差是否已知以及樣本容量，但是由于在實(shí)際應(yīng)用中總體的分布情況和方差往往是未知的（當(dāng)然在語(yǔ)言研究中經(jīng)常遇到的許多變量都是呈正態(tài)分布的），因而在多數(shù)情況下，樣本的容量就成了關(guān)鍵因素或唯一的因素。因而，除非對(duì)統(tǒng)計(jì)的條件要求很嚴(yán)格或?qū)y(tǒng)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)碗性要求非常高，一般是避繁就簡(jiǎn)，而僅考慮樣本的容量：樣本較大時(shí)，就認(rèn)定其平均數(shù)的抽樣分布為正態(tài)分布，否則為t分布。至于何為“大樣本”，下面還要進(jìn)一步討論。,13,二、總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì),顧名思義，區(qū)間估計(jì)不像點(diǎn)估計(jì)那樣給出一個(gè)值（樣本統(tǒng)計(jì)量）作為總體的參數(shù)，而是在樣本的基礎(chǔ)上計(jì)算出總體參數(shù)值所在的可能區(qū)域。由于這個(gè)區(qū)域在數(shù)軸上不是一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)區(qū)間或一段距離，所以稱作“區(qū)間估計(jì)值”。,14,1.樣本抽樣分布為正態(tài)時(shí)的區(qū)間估計(jì),（1）幾個(gè)基本概念置信水平：從樣本統(tǒng)計(jì)量估計(jì)總體參數(shù)時(shí)的把握程度或信心程度。置信區(qū)間：兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)誤的值所界定的區(qū)間。置信界限：這一區(qū)間的上下界。臨界值：定義這一置信區(qū)間的標(biāo)準(zhǔn)誤的值。,15,(2)總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)從樣本平均數(shù)X來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)，是進(jìn)行總體參數(shù)估計(jì)的常見(jiàn)情形之一。這時(shí)，我們的任務(wù)就是根據(jù)樣本平均數(shù)計(jì)算出總體平均數(shù)可能落入的置信區(qū)間，以此來(lái)估計(jì)總體平均數(shù)的可能取值范圍。該置信區(qū)間的計(jì)算方法是我們看到，對(duì)于大樣本，抽樣分布服從正態(tài)分布，這時(shí)式中的“臨界值”為對(duì)應(yīng)于某置信水平(或顯著水平)的Z值（從正態(tài)分布表中可以查到）。該式用符號(hào)表示，則為或,16,第二式表示處于其兩邊的式子（表示置信區(qū)間的下限和上限）所界定的范圍之內(nèi)。式中表示以平均數(shù)為界置信水平的一半所對(duì)應(yīng)的Z值。在有的書中該項(xiàng)寫成，這表示顯著水平的一半（即正態(tài)分布的一端的尾巴）所對(duì)應(yīng)的Z值。不同的表示方法適用于按不同的方法編制的正態(tài)分布表（第二式適用于本書所列的正態(tài)分布表），但最后查得的Z值是一樣的。在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤時(shí)，如果總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，則用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替，即。,17,（3）比例的區(qū)間估計(jì)如同對(duì)總體平均數(shù)的估計(jì)那樣，我們可以為其計(jì)算一個(gè)可能的取值區(qū)間（即置信區(qū)間），并同時(shí)指出正確估計(jì)的概率。為了計(jì)算此置信區(qū)間，同樣要先計(jì)算樣本的比例的抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)誤SE公式為樣本中的比例，N樣本容量。,18,計(jì)算總體比例P的置信區(qū)間的公式為用符號(hào)表示為式中校正值。對(duì)于較大的樣本，加與不加該值對(duì)結(jié)果不會(huì)有太大的影響，但當(dāng)樣本較小時(shí)，則最好加上。,19,2.從小樣本對(duì)總體平均數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì),我們上面討論的是當(dāng)樣本平均數(shù)的抽樣分布為正態(tài)時(shí)如何對(duì)總體平均數(shù)或比例進(jìn)行估計(jì)。從小樣本對(duì)總體平均數(shù)或比例進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的方法是一樣的，即：。唯一不同的是，當(dāng)樣本較小時(shí)，其抽樣分布不是正態(tài)分布，而是t分布。這時(shí)，公式中的“臨界值”不再是從正態(tài)分布表中查得的Z值，而是t分布表中對(duì)應(yīng)于某一置信水平或顯著水平的t值。,20,3.置信區(qū)間與置信水平、樣本容量以及標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系,區(qū)間估計(jì)是在樣本統(tǒng)計(jì)量的基礎(chǔ)上來(lái)估計(jì)相應(yīng)的總體參數(shù)，因而我們所希望的當(dāng)然是：這一區(qū)間越小越好，而估計(jì)的正確概率越大越好。但是，從進(jìn)行區(qū)間估計(jì)的公式可以看出，在其它條件一定時(shí)，要提高正碗估計(jì)的概率（即提高置信水平），置信區(qū)間就不可避免地會(huì)增大，而要使置信區(qū)間縮小，就要降低正確估計(jì)的概率。必須牢記的是，置信水平越低，置信區(qū)間越小，該區(qū)間不包括總體參數(shù)的可能性就越大；置信水平越高，置信區(qū)間越大，該區(qū)間包括總體參數(shù)的可能性就越大。,21,4.樣本容量,樣本的“大”與“小”是相對(duì)的，一般情況下，一個(gè)變量的總體的分布是未知的。如果一個(gè)量是由數(shù)個(gè)互相獨(dú)立的部分相加而來(lái)的，那么該量的分布一般為正態(tài).在語(yǔ)言研究中經(jīng)常遇到的許多變量（例如“測(cè)試分?jǐn)?shù)”）都具有這種性質(zhì)，那么不需要太大的樣本容量就可以保證樣本平均數(shù)的正態(tài)分布。當(dāng)樣本容量大于30時(shí)，不論總體的分布是否為正態(tài)，基本上都可以保證樣本平均數(shù)的抽樣分布為正態(tài)或接近正態(tài)。因此，一般30為界，樣本的觀測(cè)值少于30,就是“小”樣本，大于30就叫做“大”樣本。,22,此外，所需樣本容量的大小與其中觀測(cè)值是否互相獨(dú)立也有關(guān)系。如果它們不具備相互獨(dú)立性（觀測(cè)值之間在有關(guān)方面互相聯(lián)系，或者一些觀測(cè)值的性質(zhì)受其它觀測(cè)值的影響），就需要增大樣本容量才能保證樣本平均數(shù)的正態(tài)分布。,23,5.要達(dá)到一定的精確度，如何計(jì)算所需樣本容量,估計(jì)總體平均數(shù)：如果用E來(lái)表示容許的誤差（或估計(jì)的精確度），以表示總體標(biāo)準(zhǔn)差，以Z表示對(duì)應(yīng)于某一置信水平）的標(biāo)準(zhǔn)分（假設(shè)抽樣分布為正態(tài)），所需樣本容量的計(jì)算公式為但是，在通常情況下，總體的標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的，因此在計(jì)算所需樣本容量之前，就需要先抽取一個(gè)小一些的樣本，計(jì)算出標(biāo)準(zhǔn)差S,以此作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，這時(shí)，上面的公式就應(yīng)改寫為,24,估計(jì)總體比例：同樣可以設(shè)定一個(gè)容許誤差，然后計(jì)算所需樣本容量。估計(jì)總休比例的公式是當(dāng)樣本容量較大時(shí)，要不要校正值關(guān)系不