2013高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題------直線與圓錐曲線問題的處理方法(1)(基礎(chǔ)知識).doc

2012高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題-直線與圓錐曲線問題的處理方法(1)（基礎(chǔ)知識） 高考要求 直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等 突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計(jì)算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能 重難點(diǎn)歸納 1 直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法 2 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí) 涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(即應(yīng)用弦長公式)；涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化 同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍 典型題例示范講解例1如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積 命題意圖 直線與圓錐曲線相交，一個(gè)重要的問題就是有關(guān)弦長的問題 本題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法“韋達(dá)定理法” 知識依托 弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想 錯(cuò)解分析 將直線方程代入拋物線方程后，沒有確定m的取值范圍 不等式法求最值忽略了適用的條件 技巧與方法 涉及弦長問題，應(yīng)熟練地利用韋達(dá)定理設(shè)而不求計(jì)算弦長，涉及垂直關(guān)系往往也是利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求簡化運(yùn)算 解法一 由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,其中5m0 由方程組,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范圍為(5，0)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 點(diǎn)A到直線l的距離為d= S=2(5+m),從而S2=4(1m)(5+m)2=2(22m)(5+m)(5+m)2()3=128 S8,當(dāng)且僅當(dāng)22m=5+m,即m=1時(shí)取等號 故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 解法二 由題意，可設(shè)l與x軸相交于B（m,0）, l的方程為x = y +m,其中0m5 由方程組,消去x,得y 24 y 4m=0 直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)M、N，方程的判別式=(4)2+16m=16(1+m)0必成立,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)則y 1+ y 2=4，y 1y 2=4m,S= 4=4S8,當(dāng)且僅當(dāng)即m=1時(shí)取等號 故直線l的方程為y=x1，AMN的最大面積為8 例2已知雙曲線C 2x2y2=2與點(diǎn)P(1，2)(1)求過P(1，2)點(diǎn)的直線l的斜率取值范圍，使l與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒有交點(diǎn) (2)若Q(1，1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在 命題意圖 第一問考查直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，歸結(jié)為方程組解的問題 第二問考查處理直線與圓錐曲線問題的第二種方法“點(diǎn)差法” 知識依托 二次方程根的個(gè)數(shù)的判定、兩點(diǎn)連線的斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式 錯(cuò)解分析 第一問，求二次方程根的個(gè)數(shù)，忽略了二次項(xiàng)系數(shù)的討論 第二問，算得以Q為中點(diǎn)弦的斜率為2，就認(rèn)為所求直線存在了 技巧與方法 涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化 解 (1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1,與曲線C有一個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 (*)()當(dāng)2k2=0,即k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)()當(dāng)2k20,即k時(shí)=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)當(dāng)=0,即32k=0,k=時(shí)，方程(*)有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)0,即k,又k,故當(dāng)k或k或k時(shí)，方程(*)有兩不等實(shí)根，l與C有兩個(gè)交點(diǎn) 當(dāng)0，即k時(shí)，方程(*)無解，l與C無交點(diǎn) 綜上知 當(dāng)k=,或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k,或k,或k時(shí)，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l與C沒有交點(diǎn) (2)假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，則2x12y12=2,2x22y22=2兩式相減得 2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但漸近線斜率為,結(jié)合圖形知直線AB與C無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以Q為中點(diǎn)的弦不存在 例3已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OPOQ，|PQ|=，求橢圓方程 解 設(shè)橢圓方程為mx2+ny2=1(m0,n0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n1=0,=4n24(m+n)(n1)