初中數(shù)學(xué)幾何圖形綜合題

初中數(shù)學(xué)幾何圖形綜合題必勝中學(xué)2018-01-30 15:15:15題型專項(xiàng)幾何圖形綜合題【題型特征】以幾何知識(shí)為主體的綜合題,簡稱幾何綜合題,主要研究圖形中點(diǎn)與線之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系,以及特定圖形的判定和性質(zhì).一般以相似為中心,以圓為重點(diǎn),常常是圓與三角形、四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)的綜合運(yùn)用.【解題策略】解答幾何綜合題應(yīng)注意:(1)注意觀察、分析圖形,把復(fù)雜的圖形分解成幾個(gè)基本圖形,通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形.(2)掌握常規(guī)的證題方法和思路;(3)運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題,運(yùn)用方程的思想解決幾何計(jì)算問題.還要靈活運(yùn)用其他的數(shù)學(xué)思想方法等.【小結(jié)】幾何計(jì)算型綜合問題,是以計(jì)算為主線綜合各種幾何知識(shí)的問題.這類問題的主要特點(diǎn)是包含知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、邏輯關(guān)系復(fù)雜、解法靈活.解題時(shí)必須在充分利用幾何圖形的性質(zhì)及題設(shè)的基礎(chǔ)上挖掘幾何圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,在復(fù)雜的“背景”下辨認(rèn)、分解基本圖形,或通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形,并善于聯(lián)想所學(xué)知識(shí),突破思維障礙,合理運(yùn)用方程等各種數(shù)學(xué)思想才能解決.【提醒】幾何論證型綜合題以知識(shí)上的綜合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考試題中,幾何論證型綜合題的難度普遍下降,出現(xiàn)了一大批探索性試題,根據(jù)新課標(biāo)的要求,減少幾何中推理論證的難度,加強(qiáng)探索性訓(xùn)練,將成為幾何論證型綜合題命題的新趨勢.為了復(fù)習(xí)方便,我們將幾何綜合題分為:以三角形為背景的綜合題;以四邊形為背景的綜合題;以圓為背景的綜合題.類型1操作探究題1在RtABC中，C90，RtABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到RtADE的位置，點(diǎn)E在斜邊AB上，連接BD，過點(diǎn)D作DFAC于點(diǎn)F.(1)如圖1，若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，求證：ACBC；(2)若DAFDBA.如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長線上時(shí)，判斷線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；當(dāng)點(diǎn)F在線段CA上時(shí)，設(shè)BEx，請用含x的代數(shù)式表示線段AF.解：(1)證明：由旋轉(zhuǎn)得，BACBAD，DFAC，CAD90.BACBAD45.ACB90，ABC45.ACBC.(2)AFBE.理由：由旋轉(zhuǎn)得ADAB，ABDADB.DAFABD，DAFADB.AFBD.BACABD.ABDFAD，由旋轉(zhuǎn)得BACBAD.FADBACBAD1/318060.由旋轉(zhuǎn)得，ABAD.ABD是等邊三角形ADBD.在AFD和BED中：1.F=.BED=90；2.ADBD； 3.FADEBD，AFDBED(AAS)AFBE.如圖由旋轉(zhuǎn)得BACBAD.ABDFADBACBAD2BAD，由旋轉(zhuǎn)得ADAB，ABDADB2BAD.BADABDADB180，BAD2BAD2BAD180.BAD36.設(shè)BDa，作BG平分ABD，BADGBD36.AGBGBDa.DGADAGADBGADBD.BDGADB，BDGADB.BD/ADDG/DB.BD/AD(ADBD)/BDAD/BD（1+根號(hào)5）/2。FADEBD，AFDBED，AFDBED.BD/ADBE/AF.AFBD/ADBE（1+根號(hào)5）/2*x.2如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，分別延長OD到點(diǎn)G，OC到點(diǎn)E，使OG2OD，OE2OC，然后以O(shè)G，OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE.(1)求證：DEAG；(2)正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0360)得到正方形OEFG，如圖2.在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)OAG是直角時(shí)，求的度數(shù)；若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF長的最大值和此時(shí)的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由解：(1)證明：延長ED交AG于點(diǎn)H，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，OAOD，OAOD.在AOG和DOE中，1.OAOD；2.AOGDOE90；3.OGOEAOGDOE.AGODEO.AGOGAO90，GAODEO90.AHE90，即DEAG.(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，OAG成為直角有兩種情況：()由0增大到90過程中，當(dāng)OAG90時(shí)，OAOD1/2*OG1/2*OG，在RtOAG中，sinAGOOA/OG1/2AGO30.OAOD，OAAG，ODAG.DOGAGO30，即30.()由90增大到180過程中，當(dāng)OAG90時(shí)，同理可求BOG30，18030150.綜上所述，當(dāng)OAG90時(shí)，30或150.AF的最大值為2分子根號(hào)22，此時(shí)315.提示：如圖當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A，O，F(xiàn)在一條直線上時(shí)，AF的長最大，正方形ABCD的邊長為1，OAODOCOB2分子根號(hào)2.OG2OD，OGOG.OF2.AFAOOF2分子根號(hào)22.COE45，此時(shí)315.3如圖，矩形ABCD中，AB4，AD3，M是邊CD上一點(diǎn)，將ADM沿直線AM對折，得到ANM.(1)當(dāng)AN平分MAB時(shí)，求DM的長；(2)連接BN，當(dāng)DM1時(shí)，求ABN的面積；(3)當(dāng)射線BN交線段CD于點(diǎn)F時(shí)，求DF的最大值解：(1)由折疊可知ANMADM，MANDAM.AN平分MAB，MANNAB.DAMMANNAB.四邊形ABCD是矩形，DAB90.DAM30.DMADtanDAM33分子根號(hào)3根號(hào)3。(2)如圖1，延長MN交AB延長線于點(diǎn)Q.四邊形ABCD是矩形，ABDC.DMAMAQ.由折疊可知ANMADM，DMAAMQ，ANAD3，MNMD1.MAQAMQ.MQAQ.設(shè)NQx，則AQMQ1x.在RtANQ中，AQ2AN平方NQ平方，(x1)平方3的平方x的平方.解得x4.NQ4，AQ5.AB4，AQ5，SNAB4/5*S，NAQ4/51/2ANNQ24/5.(3)如圖2，過點(diǎn)A作AHBF于點(diǎn)H，則ABHBFC，BH/AHCF/BC.AHAN3，AB4，當(dāng)點(diǎn)N，H重合(即AHAN)時(shí)，DF最大(AH最大，BH最小，CF最小，DF最大)此時(shí)M，F(xiàn)重合，B，N，M三點(diǎn)共線，ABHBFC(如圖3)，DF的最大值為4根號(hào)7圖1類型2動(dòng)態(tài)探究題4(2016自貢)已知矩形ABCD的一條邊AD8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處(1)如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP，OP，OA.若OCP與PDA的面積比為14，求邊CD的長；(2)如圖2，在(1)的條件下，擦去折痕AO，線段OP，連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P，A不重合)，動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BNPM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作MEBP于點(diǎn)E.試問當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M，N在移動(dòng)的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明變化規(guī)律若不變，求出線段EF的長度解：(1)四邊形ABCD是矩形，CD90.APDDAP90.由折疊可得APOB90，APDCPO90.CPODAP.又DC，OCPPDA.OCP與PDA的面積比為14，設(shè)OPx，則CO8x.在RtPCO中，C90，由勾股定理得，解得x5.ABAP2OP10.CD10.(2)過點(diǎn)M作MQAN，交PB于點(diǎn)Q.APAB，MQAN，APBABPMQP.MPMQ.BNPM，BNQM.MPMQ，MEPQ，EQ0.5PQ.MQAN，QMFBNF.在MFQ和NFB中，1.QFMNFB；2.QMFBNF；3.MQBNMFQNFB(AAS)QFBF0.5QB.EFEQQF0.5PQ0.5QB0.5PB.由(1)中的結(jié)論可得PC4，BC8，C90，在(1)的條件下，當(dāng)點(diǎn)M，N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2*根號(hào)5.5如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在x軸和y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(5，2)，點(diǎn)P是CB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C，B重合)，連接OP，AP，過點(diǎn)O作射線OE交AP的延長線于點(diǎn)E，交CB邊于點(diǎn)M，且AOPCOM，令CPx，MPy.(1)當(dāng)x為何值時(shí)，OPAP?(2)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在x，使OCM的面積與ABP的面積之和等于EMP的面積若存在，請求x的值；若不存在，請說明理由解：(1)由題意知OABC5，ABOC2，BOCM90，BCOA.OPAP，OPCAPBAPBPAB90.OPCPAB.OPCPAB.解得x14，x21(不合題意，舍去)當(dāng)x4時(shí)，OPAP.(2)BCOA，CPOAOP.AOPCOM，COMCPO.OCMPCO，OCMPCO.yx4/x(2x5)(3)存在x符合題意過點(diǎn)E作EDOA于點(diǎn)D，交MP于點(diǎn)F，則DFAB2.OCM與ABP面積之和等于EMP的面積，SEOAS矩形OABC251/25ED.ED4，EF2.PMOA，EMPEOA.解得y5/2.6如圖1，矩形ABCD的兩條邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)D與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，且AD8，AB6.如圖2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)也以每秒1個(gè)單位長度的速度沿矩形ABCD的邊AB經(jīng)過點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，矩形ABCD和點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1)當(dāng)t5時(shí)，請直接寫出點(diǎn)D，點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求出PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍；(3)點(diǎn)P在線段AB或線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作PEx軸，垂足為點(diǎn)E，當(dāng)PEO與BCD相似時(shí)，求出相應(yīng)的t值解：(1)D(4，3)，P(12，8)(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上時(shí)，BP6t.S0.5BPAD0.5(6t)84t24.當(dāng)點(diǎn)P在邊BC上時(shí)，BPt6.S0.5BPAB0.5(t6)63t18.類型3類比探究題7如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長線上，且PAPE，PE交CD于點(diǎn)F.(1)求證：PCPE；(2)求CPE的度數(shù)；(3)如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)ABC120時(shí)，連接CE，試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由解：(1)證明：在正方形ABCD中，ABBC，ABPCBP45，在ABP和CBP中，1.AB=BC;2.PBPB;3.ABPCBPABPCBP(SAS)PAPC.又PAPE，PCPE.(2)由(1)知，ABPCBP，BAPBCP.DAPDCP.PAPE，DAPE.DCPE.CFPEFD(對頂角相等)，180PFCPCF180DFEE，即CPFEDF90.(3)在菱形ABCD中，ABBC，ABPCBP60，在ABP和CBP中，1.AB=BC;2.PBPB;3.ABPCBPABPCBP(SAS)PAPC，BAPBCP.PAPE，PCPE.DAPDCP.PAPE，DAPAEP.DCPAEP.CFPEFD(對頂角相等)，180PFCPCF180DFEAEP，即CPFEDF180ADC18012060.EPC是等邊三角形PCCE.APCE.8已知AC，EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對角線，點(diǎn)E在ABC內(nèi)，CAECBE90.(1)如圖1，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時(shí)，連接BF.求證：CAECBF；若BE1，AE2，求CE的長；(2)如圖2，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為矩形，且AB/BCEF/FCk時(shí)，若BE1，AE2，CE3，求k的值；(3)如圖3，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為菱形，且DABGEF45時(shí)，設(shè)BEm，AEn，CEp，試探究m，n，p三者之間滿足的等量關(guān)系(直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)解：(1)證明：四邊形ABCD和EFCG均為正方形，ACB45，ECF45.ACBECBECFECB，即ACEBCF.CAECBF.CAECBF，CAECBF，AE/BF根號(hào)2.BF根號(hào)2.又CAECBE90，CBFCBE90，即EBF90.解得CE根號(hào)6.(2)連接BF，AB/BCEF/FCk，CFECBA，CFECBA.ECFACB，CE/CFAC/BC.ACEBCF.ACEBCF.CAECBF.CAECBE90，CBFCBE90，題型2與圓有關(guān)的幾何綜合題9(2016成都)如圖，在RtABC中，ABC90，以CB為半徑作C，交AC于點(diǎn)D，交AC的延長線于點(diǎn)E，連接ED，BE.(1)求證：ABDAEB；(2)當(dāng)BC(AB)3(4)時(shí)，求tanE；(3)在(2)的條件下，作BAC的平分線，與BE交于點(diǎn)F，若AF2，求C的半徑解：(1)證明：ABC90，ABD90DBC.DE是直徑，DBE90.E90BDE.BCCD，DBCBDE.ABDE.BADDAB，ABDAEB.10如圖，在RtABC中，ABC90，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點(diǎn)D，E，F(xiàn).O是BEF的外接圓，EBF的平分線交EF于點(diǎn)G，交O于點(diǎn)H，連接BD，F(xiàn)H.(1)試判斷BD與O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)ABBE1時(shí)，求O的面積；(3)在(2)的條件下，求HGHB的值解：(1)直線BD與O相切理由：連接OB.BD是RtABC斜邊上的中線，DBDC.DBCC.OBOE，OBEOEB.又OEBCED，OBECED.DFAC，CDE90.CCED90.DBCOBE90.BD與O相切(2)連接AE.在RtABE中，ABBE1，AE根號(hào)2.DF垂直平分AC，CEAE根號(hào)2.BC1根號(hào)2.CCAB90，DFACAB90，ACBDFA.又CBAFBE90，ABBE，CABFEB.(3)ABBE，ABE90，AEB45.EAEC，C22.5.HBEGCED9022.567.5.BH平分CBF，EBGHBF45.BGEBFH67.5.11如圖，在ACE中，CACE，CAE30，O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上(1)試說明CE是O的切線；(2)若ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示O的直徑AB；(3)設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)(不含端點(diǎn)