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擺式陀螺尋北儀的原理和穩(wěn)態(tài)方位誤差 航天一院十五所 余祖蔭摘要: 在地球自轉(zhuǎn)水平分量作用下,?？仆勇輸[的自轉(zhuǎn)軸矢端有指北的趨勢，然而在地球自轉(zhuǎn)垂直分量作用下又有偏離北的趨向，那么從原理上講，穩(wěn)態(tài)條件下，陀螺自轉(zhuǎn)軸矢端到底能否無誤差地穩(wěn)定在北向（子午面內(nèi)）? 本文回答了這個題。即，對于雙軸?？仆勇輸[，由于系統(tǒng)存在兩個積分環(huán)節(jié)，因此在地球自轉(zhuǎn)垂直分量作用下，理論上將不存在穩(wěn)態(tài)誤差。文中對單軸?？仆勇輸[在理論上將存在穩(wěn)態(tài)誤差的問題進行了簡單說明并對擺式陀螺尋北儀的某些特性提出了新的解釋。主題詞： ?？仆勇輸[ 陀螺尋北儀 穩(wěn)態(tài)誤差 1 雙軸(二自由度)?？仆勇輸[式尋北儀及其原理 雙軸?？仆勇輸[式尋北儀也稱為懸掛擺式陀螺尋北儀(下稱擺式尋北儀)。是應(yīng)用廣泛的一種尋北系統(tǒng)。其基本結(jié)構(gòu)是一個由金屬懸?guī)覓熘耐勇?，陀螺自轉(zhuǎn)軸(下稱H軸)呈水平狀態(tài)。由于陀螺房的懸掛點在陀螺房重心之下，因此構(gòu)成了一個以此懸掛點為支點的具有兩個自由度的陀螺擺，如圖1。由于重心在運動支點下方，陀螺繞通過支點的水平軸的運動在某種程度上將受到重力的約束，呈現(xiàn)半自由狀態(tài)，因此稱它是“1.5”自由度的陀螺更為恰當。 由于采用懸?guī)闲詰覓旖Y(jié)構(gòu)，從而消除了普通機械懸掛產(chǎn)生的摩擦干擾力矩，同時具有自動對準鉛垂方向的能力，因此系統(tǒng)可以達到極高的尋北精度。 雙軸?？仆勇輸[與地球組成的特殊的力學(xué)系統(tǒng)具有非常獨特的動態(tài)特性。假設(shè)初始狀態(tài)下，H軸指向東，由于地球自轉(zhuǎn)角速度 (下稱地速)水平分量的作用，地面將相對慣性空間發(fā)生傾斜，但由于陀螺的定軸性，H軸的表觀運動將是其矢端向上抬高(在北半球)。又由于懸掛支點在陀螺房重心的上面，因此將產(chǎn)生一重力矩。在此重力矩作用下，H軸將產(chǎn)生進動，進動方向正好是使H矢端向北運動。當運動到北向(更確切地說應(yīng)該是子午面內(nèi),以下同)時，作用到陀螺上的水平分量“消失”，但由于陀螺房的慣性和陀螺擺的等效慣性(見后)作用，擺動不會停在北向，而是越過北向。越過北向之后地速水平分量對陀螺的作用反向，產(chǎn)生的反向力矩再次使之歸回北向，從而形成對稱子午面的擺動。2 擺式北儀的運動方程為了分析擺的運動過程，首先建立其運動微分方程。陀螺擺的懸掛支點是陀螺房的懸?guī)A持點,因此陀螺擺的運動方程應(yīng)該是以此支點為轉(zhuǎn)軸的三維轉(zhuǎn)動運動方程.實際上,由于采用懸?guī)У奶厥鈶覓旆绞? 陀螺擺在運動過程中除去轉(zhuǎn)角運動之外還存在三維方向的平移運動,但是由于平移運動與尋北測量之間的關(guān)系不大(只是在研究干擾運動時需要考慮)因此在討論尋北原理時不予考慮.三維小角度線性化轉(zhuǎn)動運動方程，也即三維力矩平衡方程為： (1) (2) (3） (1)式為獨立方程,與(2)和(3)式無關(guān),而(2)和(3)式為聯(lián)立方程.(1)式中的角是沿陀螺H軸的，與陀螺方位和俯仰進動特性(即陀螺特性)無關(guān),而尋北測量只關(guān)心方位角的運動過程,所以(1)式可以不加討論而只需研究另外兩軸的運動方程?；蛘哒f,由于系統(tǒng)為兩個自由度陀螺，只須用兩個運動方程來描述。假設(shè)Z軸為通過陀螺房懸掛點和陀螺房的重心的連線向上為正，X軸為通過陀螺房懸掛點并且垂直于陀螺轉(zhuǎn)子軸的水平輸入軸，Y軸為通過陀螺房懸掛點并且平行于陀羅轉(zhuǎn)子軸（H軸）。式中 H 陀螺動量矩或陀螺自轉(zhuǎn)角速度矢量； Jx 陀螺房繞懸掛點而平行于陀螺水平輸入軸的轉(zhuǎn)動慣量； Jy 陀螺房繞懸掛點而平行于 Y軸的轉(zhuǎn)動慣量( Y軸平行于陀羅轉(zhuǎn)子軸H)； 陀螺房繞懸掛點而平行于 Z軸的轉(zhuǎn)動慣量; a 繞 z軸的轉(zhuǎn)角，即H軸相對子午面的夾角或稱方位角； b 繞 X 軸的轉(zhuǎn)角,即H軸相對水平面的夾角或稱H軸的抬高角； 繞 Y 軸的轉(zhuǎn)角,即繞陀羅H軸的轉(zhuǎn)角; Cx 陀螺房繞X軸轉(zhuǎn)動的阻尼系數(shù)； CZ 陀螺房繞 Z軸轉(zhuǎn)動的阻尼系數(shù)； DB 懸?guī)まD(zhuǎn)剛度； we 地球自轉(zhuǎn)角速度； l 觀測地點的緯度； m 陀螺房(含陀螺)質(zhì)量；l 擺長，即陀螺房重心到陀螺房懸掛點的距離。當忽略空氣摩擦力矩和懸吊扭轉(zhuǎn)剛度(通?？赏ㄟ^使上懸?guī)A跟蹤陀螺房的擺動并使之達到相對靜止來近似地實現(xiàn)無扭轉(zhuǎn)力)，并考慮到a，b為小角度(通常在使用時也確如此)，以及，從而得到第二次簡化式。繞鉛垂輸出軸: (4) 繞水平輸出軸: (5)此時擺動將為無阻尼振蕩過程，其復(fù)合擺動周期為: (6) 圖1 圖2 陀螺自轉(zhuǎn)角速度矢端在東西鉛垂面內(nèi)的投影為一橢圓，其長軸在水平面之上(南半球時在水平面之下，赤道時正好在水平面內(nèi));其短軸在子午面內(nèi)，如圖2。在考慮到阻尼時，上述封閉橢圓為一衰減螺旋線，其收斂點也在子午面內(nèi)。 式(6)指出，擺動周期與擺長的平方根成反比，這一點和常見的單擺周期特性不同。這是因為，在這里，擺長是構(gòu)成重力擺矩的正比參量，而重力擺矩乃等效于擺繞X軸的彈性剛度。從(6)中還可以看出：H/mgl構(gòu)成一個繞Z軸的等效轉(zhuǎn)動慣量，通常它比大得多，這就是為什么陀螺擺系統(tǒng)的“動擺”(即H0時)周期比陀螺馬達靜止(即H0時)時的“靜擺”周期大得多的原因。 當觀測地點在赤道時，l=0，只有地速的水平分量作用于陀螺，衰減振蕩過渡過程結(jié)束之后， H軸將停在北向?？梢?，地速水平分量是促成擺式陀螺尋北儀尋北的有用分量。當觀測地點不在赤道時，除去上述水平分量外，陀螺還將感受到地速垂直分量。此時 H矢端將不斷出現(xiàn)從北向偏離的表觀運動(在北半球，H軸矢端順時針轉(zhuǎn)動)?？梢?，地速垂直分量是一種干擾分量。 現(xiàn)在假設(shè)此系統(tǒng)先處在赤道上，由于沒有垂直分量的干擾作用，有阻尼的擺系統(tǒng)過渡過程結(jié)束后H軸無疑將穩(wěn)定在北向，陀螺 H軸方位上的表觀運動為零。如果這時再將其移開赤道，例如向北移動，則系統(tǒng)將開始受到地速垂直分量的影響，即相對慣性空間在鉛垂方向給系統(tǒng)加入一個等速輸入量。那么，在忽略懸掛扭轉(zhuǎn)力矩的條件下，陀螺擺系統(tǒng)在這一等速干擾輸入下是否還能夠使其 H軸矢端穩(wěn)定在北向而無穩(wěn)態(tài)誤差呢？或是存在某個穩(wěn)態(tài)誤差而穩(wěn)定在某個微小偏北角方向上呢 ？換句話說，這種尋北系統(tǒng)的尋北精度是否存在著一個不為零的理論極限？在研究擺式陀螺尋北儀時這是一個應(yīng)該回答的理論問題.3陀螺擺系統(tǒng)動態(tài)特性框圖及穩(wěn)態(tài)誤差分析為了進行穩(wěn)態(tài)誤差分析，這里利用線性控制系統(tǒng)理論中的無差度的概念，并且仍然利用小參數(shù)線性化微分方程組，即在陀螺自轉(zhuǎn)軸矢端偏北為小角度條件下進行分析。然后根據(jù)線性微分方程畫出系統(tǒng)框圖。這種簡化不會影響分析問題的本質(zhì)。 SSSSSJYmgl a 圖 3 圖3為用框圖表示的擺式陀螺尋北儀在無人為約束條件下的線性化動態(tài)特性。S為拉氏變換算子。這里把地速垂直分量(相對慣性空間)作為系統(tǒng)輸入，輸出為H軸的偏北角。 顯然，若系統(tǒng)過渡過程結(jié)束后，H軸在方位上無表觀運動，則此時陀螺H軸相對慣性空間的進動角速率必須正好等于地速垂直分量。過渡過程結(jié)束即意味著系統(tǒng)中，慣性力矩分量和阻尼力矩分量衰減為零。 圖中看出，系統(tǒng)向前回路有幾個并聯(lián)支路，但其主回路開環(huán)傳遞函數(shù)中存在兩個積分環(huán)節(jié)。第一個積分環(huán)節(jié)是繞鉛垂軸z的，第二個積分環(huán)節(jié)是繞水平輸入軸X的。 根據(jù)控制系統(tǒng)理論：一個具有單位反饋的閉環(huán)系統(tǒng)中，若其開環(huán)傳遞函數(shù)中存在兩個積分環(huán)節(jié)時，則該系統(tǒng)稱為二階無差度系統(tǒng)。這種系統(tǒng)在等速輸入下，輸出與輸入之間不但有相同的速度(無速度誤差)而且不存在位置誤差。這就是說，在地速垂直分量的干擾作用下，陀螺擺系統(tǒng)仍然具有尋北能力，陀螺轉(zhuǎn)子最終將穩(wěn)定在子午面或以子午面為擺動平衡位置擺動而不存在穩(wěn)態(tài)誤差，也即其尋北誤差的理論極限為零。 從開環(huán)傳遞函數(shù)可以看出，在忽略了空氣阻尼和轉(zhuǎn)動慣量后此系統(tǒng)內(nèi)各環(huán)節(jié)都是無慣性的。這里試解釋為：正是由于陀螺進動所具有的無慣性特性，才構(gòu)成了這種特殊的具有兩個積分環(huán)節(jié)的無源閉環(huán)自動調(diào)節(jié)系統(tǒng)。4穩(wěn)態(tài)的形成及其特性 前面提到，陀螺自轉(zhuǎn)軸在方位上無表觀運動，說明它相對慣性空間也以地速垂直分量的速度在轉(zhuǎn)動。產(chǎn)生這種運動的原因可從運動微分方程的穩(wěn)態(tài)解得出. (7) 上式說明，此時陀螺H軸失端將相對水平面自動抬高某個角度(若在南半球，則低下某個角度,此角度值是緯度的函數(shù))，以產(chǎn)生一個重力矩。在此重力矩作用下，陀螺H軸產(chǎn)生一個繞鉛垂軸的進動角速度，它正好等于地速垂直分量以及由于抬高角而引入的水平分量在垂直方向上的二次投影分量之和。這就是說，陀螺H軸自動產(chǎn)生的抬高角所形成的重力矩造成的進動角速度補償了地速垂直分量的干擾。 當存在干擾力矩(例如，因基座振動動產(chǎn)生的整流力矩)使上述抬高角發(fā)生變化,H軸失端繞鉛垂軸的進動角速度將大于或者小于地速垂直分量,則H軸失端將以順時針或者反時針方向偏離子午面.在北半球,假設(shè)平均干擾抬高角為正,則偏離角為順時針, 陀螺輸入軸將再次感受到地速水平分量:在此水平分量的作用下,驅(qū)使H軸失端再次返回北向,最后穩(wěn)定(平衡)在點. （8）此穩(wěn)定點即為干擾運動產(chǎn)生的尋北誤差. 上式指出,在干擾運動產(chǎn)生同樣的抬高角的情況下,擺長越長，產(chǎn)生的尋北誤差越大（對大多數(shù)干擾運動和干擾力矩的分析結(jié)果也會得出類似的結(jié)論）.這就是為什么不能無限制地通過加大擺長來提高擺動周期的原因。從上式還可以看出，上述誤差還將隨著測量地點的緯度提高而加大。實際系統(tǒng)中，此抬高角是不易觀察到的。在赤道上此抬高角為零。當工作在地球兩極時，抬高角達到實際的最大值，如式(9)，但此時北向已不復(fù)存在，陀螺軸將是隨遇穩(wěn)定，不再有振蕩過程(表觀運動仍然為零)，或振蕩周期為無窮大。 (9) 當陀螺房質(zhì)量給定時，重力矩將由擺長決定。擺長過小將使抬高角過大，擺長為零時成為無重力約束的自由陀螺而失去尋北能力。 當重力矩變到無窮大時，繞水平輸入軸的(半個)自由度消失，上述抬高角永遠為零，則雙自由度?？仆勇輸[變?yōu)閱巫杂啥雀？仆勇輸[。在失去了一個自由度的同時，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中也失去了一個積分環(huán)節(jié)而成為一階無差度系統(tǒng)。雖然這種系統(tǒng)在地速水平分量作用下，H軸也有尋北能力，但是當測量地點的緯度不為零時，陀螺H軸不能自動產(chǎn)生抬高角來補償?shù)厮俅怪狈至康母蓴_作用。為了使H軸的穩(wěn)態(tài)方向或擺動平衡位置維持在北向附近(假設(shè)H軸在水平狀態(tài)下)，H軸將產(chǎn)生某個穩(wěn)態(tài)誤差角Da(即使忽略系統(tǒng)繞垂直軸的摩擦力矩). 此系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差將隨緯度的提高而加大，因此?？茊巫杂啥葘け眱x又稱為偏差陀螺尋北儀。一般情況下(除非測量地點接近兩極)，此項誤差也很小，而框架垂直軸的摩擦力矩產(chǎn)生的誤差要顯著得多。 為了提高單自由度尋北儀的尋北精度，通常不采用簡單的擺動測量方式而是采用指北力矩測量方式或者在陀螺控制回路加入一個積分環(huán)節(jié)以便消除由地速垂直分量所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。5結(jié)論 雙軸擺式陀螺尋北儀尋北測量時，由于地速水平分量的作用使陀螺自轉(zhuǎn)軸總是趨向于北，而地速垂直分量的作用又使其不斷偏離北向。但由于這種陀螺系統(tǒng)有兩個自由度，存在兩個積分環(huán)節(jié)，構(gòu)成一個二階無差度的系統(tǒng)，使其在地速垂直分量的干擾下，陀螺H軸的平衡位置仍然能穩(wěn)定在子午面內(nèi)，理論上不存在