2011年全國高水平大學(華約)自主招生選拔學業(yè)能力測試數(shù)學試題.doc

湖南省岳陽縣第一中學高三數(shù)學組 2011年高水平大學(華約)自主招生選拔學業(yè)能力測試數(shù)學試題分值: 分 時量: 分鐘一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分)1. 設(shè)復數(shù)滿足且,則=( ) A. B. C. D. 2.在正四棱錐中,分別為的中點,且側(cè)面與底面所成二面角的正切值為.則異面直線與所成角的余弦值為 ( ) A. B. C . D.3.過點的直線與曲線相切,且不是切點,則直線的斜率是( ) A. 2 B. C. D. 4.若,則的最小值和最大值分別為 ( )ABCOO1O2 A. B. C. D. 5.如圖,和外切于點又都和內(nèi)切,切點分別為,設(shè),則( ) A. B. C. D. 6.已知異面直線成角,為空間中一點,則過與都成角的平面有且只有( ) A. 1個 B.2個 C. 3個 D. 4個7.若向量,則最小值為 ( ) A. B. C. D. 8.為過拋物線焦點的弦,為坐標原點,且為拋物線準線與軸的交點,則的正切值為 ( ) A. B. C. D.ABCEDF9.如圖,已知的面積為,分別為邊上的點,為線段上一點,設(shè)且則面積的最大值為 ( ) A. B. C. D. 10.將一個正11邊形用對角線劃分為9個三角形,這些三角形在正11邊形內(nèi)兩兩不相交,則( ) A.存在某種分法,所分出的三角形都不是銳角三角形 B.存在某種分法,所分出的三角形恰有兩個銳角三角形C.存在某種分法,所分出的三角形至少有3個銳角三角形D.任何一種分法所分出的三角形都恰有1個銳角三角形 二、解答題11.(本小題滿分14分)已知不是直角三角形.(1)證明:;(2)若,且的倒數(shù)成等差數(shù)列,求的值.12. (本小題滿分14分)已知圓柱形水杯質(zhì)量為克,其重心在圓柱軸的中點處(杯底厚度及重量忽略不計,且水杯直主放置),質(zhì)量為克的水恰好裝滿水杯,裝滿水后的水杯重心還在圓柱軸的中點處.(1)若,求裝入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距離與水杯高的比值;(2)水杯內(nèi)裝多少克水可以使裝入水后的水杯的重心最低?為什么?13. (本小題滿分14分)已知函數(shù)另(1)求數(shù)列的通項公式;(2)證明:.14. (本小題滿分14分)已知雙曲線分別為的左、右焦點,為右支上一點,且使,又的面積為.(1)求的離心率; (2)設(shè)為的左頂點,為第一象限內(nèi)上的任意一點,問是否存在常數(shù),使得恒成立.若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.15. (本小題滿分14分)將一枚均勻的硬幣幣連續(xù)拋擲次,以表示未出現(xiàn)連續(xù)3次正面的概率.(1)求和;(2)探究數(shù)列的遞推公式,并給出證明;(3)討論數(shù)列的單調(diào)性及其極限,并闡述該極限的概率意義.MNODyCBAPxz參考答案:一.選擇題1【解】由,得,解得|z| =2(舍),.2【解】法一：如圖右,設(shè)底面邊長為2,則由側(cè)面與底面所成二面角的正切為得高為.如圖建立坐標系,則A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,),則,.MNDCBAPQ設(shè)所成的角為,則.法二: 如圖,設(shè)底面邊長為2,則由側(cè)面與底面所成二面角的正切為得高為.平移DM與AN在一起.即M移到N,D移到CD的中點Q.于是QN = DM = AN.而PA = PB = AB = 2,所以QN = AN = ,而AQ = ,容易算出等腰AQN的頂角.3.【解】易知點在曲線上,但題交待其不是切點,故設(shè)切點為,則所以切線方程為,也所以有,也即,化簡得所以,也即4【解】ABCOO1O2,可見答案是B5.【解】題目中的條件是通過三個圓來給出的,有點眼花繚亂.我們來轉(zhuǎn)化一下,就可以去掉三個圓,接,C在上,則如右圖所示,由于所以設(shè)同理設(shè),由于三點共線,于是又中,有,所以聯(lián)立得.6.【解】已知平面過A,再知道它的方向,就可以確定該平面了.因為涉及到平面的方向,我們考慮它的法線,并且假設(shè)a,b為相交直線也沒關(guān)系.于是原題簡化為：已知兩條相交直線a,b成60角,求空間中過交點與a,b都成角的直線.答案是4個.7.【解】由得,由于,可以用換元法的思想,看成關(guān)于三個變量,答案B8.【解】法一:焦點,直線AB方程,與拋物線方程聯(lián)立,解得,于是,答案A法二:如圖,利用拋物線的定義,將原題轉(zhuǎn)化為:在直角梯形中,EABCDFxBAD = 45,EBDA,AF = AD,BF = BC.類似的,有,所以有,也所以有,答案A9.【解】連結(jié),則有,于是.注意到,且即,所以由三元均值不等式得即(當時取等號)EFABCD于是.10.【解】我們先證明所分出的三角形中至多只有一個銳角三角形.如圖,假設(shè)ABC是銳角三角形,我們證明另一個三角形DEF(不妨設(shè)在AC的另一邊)的(其中的邊EF有可能與AC重合)的D一定是鈍角.事實上,而四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,所以ADC = 180-B,所以D為鈍角.這樣就排除了B,C.下面證明所分出的三角形中至少有一個銳角三角形.假設(shè)ABC中B是鈍角,在AC的另一側(cè)一定還有其他頂點,我們就找在AC的另一側(cè)的相鄰(指有公共邊AC) ACD,則D = 180-B是銳角,這時如果或是鈍角,我們用同樣的方法繼續(xù)找下去,則最后可以找到一個銳角三角形.所以答案是D.DBAC二.解答題11.【解】(1)證:兩邊取正切,即,去分母得(2)依題意,比較(1)中結(jié)論得所以,又,所以,即將代入,得解得或.由于所以或.12.【解】(1)設(shè)裝滿半杯水后,水杯的重心到水杯底面的距離與水杯高的比值為,則此時水的重心到底面距離與水杯高的比值為,杯子的重心到水杯底面的距離與水杯高的比值為,杯中水重克,從而有,解得.(2)設(shè)杯中裝入克水時,水杯重心到水杯底面的距離與水杯高的比值為,則此時水的重心到底面距離與水杯高的比值為,水的質(zhì)量與水杯質(zhì)量之比為,則化簡得(當且僅當時取等號)所以當杯中裝入克水時,水杯重心最低.13.【解】(1)所以得即,所以有.所以,令比較系數(shù)得.也所以,(2) 由均值不等式得,即注意到單調(diào)遞增,且.yOxPQF1F2A所以.14.【解】(1),如圖,在中,所以即也所以,得所以.(2)由(1),雙曲線方程為若軸,此時為等腰.下證令則 所以存在常數(shù)使恒成立.15.【解】(1)顯然又投擲四次連續(xù)出現(xiàn)三次正面向上的情況只有:正正正正或正正正反或反正正正,故.(2)共分三種情況:1)如果第n次出現(xiàn)反面,那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的,所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是2)如果第n次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)反面,那么前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面和前次不出現(xiàn)連續(xù)三次正面是相同的,所以這個時候不出現(xiàn)連續(xù)三次正面的概率是3)如果第次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)反