固體物理習題解答ppt課件VIP

1,固體物理學作業(yè),2,第一章思考題,1、簡述晶態(tài)、非晶態(tài)、單晶、多晶、準晶的特征和性質,答：主要區(qū)別在微結構有序度。固體中微觀組成粒子(原子、離子、分子)在空間排列有序，具有微米數(shù)量級以上的三維平移周期性，這種具有長程有序態(tài)的固體稱為晶態(tài)固體(晶體)，否則為非晶態(tài)。晶體中微觀組成粒子空間排列有序存在于整個固體中，稱為單晶體。多晶體由許多單晶體隨機堆砌而成。單晶體，具有以下性質：(1)規(guī)則幾何外形；(2)各向異性物理性質，(3)確定的熔點。多晶體不具有規(guī)則的外形，物理性質不表現(xiàn)各向異性。非晶體不具有確定的熔點。,3,2、晶體結構可分成布拉菲格子和復式格子嗎？,第一章思考題,答：可以。以原子為結構參考點，可以把晶體分成布拉菲格子和復式格子。任何晶體，以基元為結構參考點，都是布拉菲格子描述。任何化合物晶體，都可以復式格子描述？不是所有的單質晶體，都是布拉菲格子描述？單質晶體，以原子為結構參考點，也可以分成布拉菲格子和復式格子？,4,3、引入倒格子有什么實際意義？對于一定的布拉菲格子，基矢選擇不唯一，它所對應的倒基矢也不唯一，因而有人說一個布拉菲格子可以對應于幾個倒格子，對嗎？復式格子的倒格子也是復式格子嗎？,第一章思考題,答：引入倒格子概念，對分析和表述有關晶格周期性的各種問題非常有效，如：晶體X射線衍射，晶體周期函數(shù)的傅里葉變換。布拉菲格子不可以對應于幾個倒格子?；高x擇不唯一，但定義的布拉菲格子是唯一確定的；同樣，倒基矢選擇不唯一，但定義的倒格子是唯一確定的。因此，給定布拉菲格子對應唯一確定的倒格子。倒格子定義在布拉菲格子概念上，而非復式格子。表達晶體結構周期性，以基元為格點的布拉菲格子是唯一的。,5,4、當描述同一晶面時，密勒指數(shù)(hkl)與晶面指數(shù)(h1h2h3)一定相同嗎？,第一章思考題,答：不一定相同。密勒指數(shù)和晶面指數(shù)都定義為晶面在給定坐標軸上的截距倒數(shù)互質整數(shù)比。但是，密勒指數(shù)是在晶胞基矢為坐標軸上定義的，而晶面指數(shù)是在原胞基矢為坐標軸上定義的。因此，只當晶胞基矢和原胞基矢一致時，同一晶面的密勒指數(shù)和晶面指數(shù)才能相同。一般情況下，同一晶面密勒指數(shù)(hkl)與晶面指數(shù)(h1h2h3)不相同。由于簡單立方結構的晶胞基矢和原胞基矢一致，因此，簡單立方結構的同一晶面密勒指數(shù)(hkl)與晶面指數(shù)(h1h2h3)相同。,6,5、試畫出體心立方和面心立方(100)、(110)、(111)面上格點的分布圖。,第一章思考題,體心立方,面心立方,(100),(110),(111),7,6、怎樣判斷一個體系對稱性的高低？討論對稱性有何物理意義。,第一章思考題,答：一個物理體系對稱性用其具有的對稱操作集合來描述。一個體系具有的對稱操作越多，其對稱性就越高。在數(shù)學上，基本操作的集合構成“群”，每個基本操作稱為群的一個元素。由于晶格周期性限制，描述晶體宏觀對稱性的“點群”只有32種。描述晶體微觀對稱性的“空間群”只有230種。一個物理體系，如知道其幾何對稱性，就可在一定程度上確定它的某些物理性質。例如，若原子結構具有中心反演對稱性，則原子無固定偶極矩；若一個體系具有軸對稱性，偶極矩必在對稱軸上；若有對稱面，偶極矩必在對稱面上。由此可見，不必討論體系結構細節(jié)，僅從體系的對稱性，就可對其物理性質作出某些判斷。對稱理論已成為定性和半定量研究物理問題的重要方法。,8,第一章習題,1.1何謂布拉菲格子？畫出NaCl晶格所構成的布拉菲格子，說明基元代表點構成的格子是面心立方晶體，每個原胞中含幾個格點？,解：由基元代表點-格點-形成的晶格稱為布拉菲格子或布拉菲點陣。它的特征是每個格點周圍的情況(包括周圍的格點數(shù)目和格點配置的幾何方位等)完全相同。,基元由相鄰的一個Na+和一個Cl構成，基元代表點(如：Na+位置)構成面心立方晶格。,每個原胞中含一個格點。,9,第一章習題,1.2在下面的例子中，其結構是不是布拉菲格子？如果是，寫出它的基矢；如果不是，能否挑選合適的格點組成基元，使基元的重心構成布拉菲格子？,(1)底心立方格子；(2)邊心立方格子；(3)蜂窩二維格子。,底心立方格子,是簡單四方格子,邊心立方格子,不是布拉菲格子,不是布拉菲格子,10,1.3對于面心立方晶格，如果取晶胞的三邊為基矢，某一族晶面的密勒指數(shù)為(hkl)，問，如果取原胞的三邊為基矢，該族晶面的晶面指數(shù)是多少？,解：已知，面心立方晶格某晶面密勒指數(shù)(hkl)，求該晶面指數(shù)(h1h2h3)。,a3,設晶面(hkl)在底面截線,第一章習題,11,同理,第一章習題,12,1.4如果基矢a,b,c構成正交晶系，試證明晶面族(hkl)的面間距為,第一章習題,證明：設n為該晶面系的法線方向，密勒指數(shù)(hkl)與n,a,b,c及d有如下關系。,對于正交晶系，,證畢。,13,1.5試求面心立方結構和體心立方結構具有最大面密度的晶面族，并寫出計算這個最大面密度的表示式。,第一章習題,解：由格點面密度與面間距d關系式hkl=dhkl，知晶體格點體密度和面間距d，可求晶面族(hkl)格點面密度表達式。已知，面心立方和體心立方晶胞格點體密度分別為4/a3和2/a3。密勒指數(shù)簡單的晶面系，其面間距d較大，格點面密度也較大。比較(100)，(110)，(111)晶面，可知面心立方(111)晶面和體心立方(110)晶面的格點面密度最大。根據(jù),14,1.7證明體心立方格子和面心立方格子互為倒格子。,第一章習題,證明：根據(jù)BCC和FCC基矢表達式，,要求同學通過矢量運算，證明得出結論：,和倒格子基矢定義,15,第四章思考題,1、能帶理論作了哪些近似和假定？得到哪些結果？,答：能帶理論是近似理論。它作了絕熱近似、平均場近似和周期勢場假定。絕熱近似視固體中原子核(離子實)靜止不動，價電子在固定不變的離子實勢場中運動。通過絕勢近似將電子系統(tǒng)和原子核(離子實)系統(tǒng)分開考慮。平均場近似視固體中每個電子所處的勢場都相同，使每個電子所受勢場只與該電子位置有關，而與其它電子位置無關。通過平均場近似使所有電子都滿足同樣的薛定鄂方程。通過絕熱近似和平均場近似，將一個多粒子體系問題簡化為單電子問題。絕熱近似和平均場近似也稱為單電子近似。周期勢場假定則認為電子所受勢場具有晶格平移周期性。通過以上近似和假定，最終將一個多粒子體系問題變成在晶格周期勢場中的單電子的薛定鄂方程定態(tài)問題。,16,第四章思考題,2、周期場是能帶形成的必要條件嗎？,答：周期場是由布洛赫函數(shù)描述的能帶結構的必要條件。布洛赫定理推導出周期場中單電子狀態(tài)的一般屬性(主要是能帶結構，參見圖4.2-1一維能帶結構的表示圖式)，而晶格周期勢場是布洛赫定理的前提條件。在晶體周期性結構(平移對稱性)中，電子波函數(shù)(k)是布洛赫函數(shù)，能量本征值和本征函數(shù)在k空間具有倒格矢反演和周期性，電子波矢k是與平移對稱性相聯(lián)系的量子數(shù)。非晶態(tài)也具有相似的基本能帶結構，即：導帶、價帶和禁帶。但非晶態(tài)的電子態(tài)與晶態(tài)比較有本質區(qū)別。非晶態(tài)不存在周期性，因此k不再是具有類似特征的量子數(shù)。非晶態(tài)能帶中電子態(tài)分擴展態(tài)和局域態(tài)二類。擴展態(tài)的電子為整個固體共有，可在整個固體內找到，在外場中運動類似晶體中電子；局域態(tài)的電子基本局限在某一區(qū)域，狀態(tài)波函數(shù)只能在圍繞某一不大的尺度內顯著不為零，它們依靠聲子協(xié)助，進行跳躍式導電。,17,第四章思考題,3、按自由電子近似，禁帶產生的原因是什么？緊束縛近似呢？,答：按自由電子近似，零級近似波函數(shù)是平面波，它在晶體中傳播如同X射線。當波矢k不滿足布拉格條件時，晶格的影響很弱，電子幾乎不受阻礙地通過晶體。但當k=n/a(處在布里淵區(qū)邊界)，波長=2/k=2a/n正好滿足布拉格反射條件，受到晶格的全反射，反射波和入射波干涉形成駐波，使電子分布密度發(fā)生變化。一部分主要分布在離子實之間，受離子實吸引較弱，勢能較高，一部分主要分布在離子實周圍，受離子實吸引較強，勢能較低。由此出現(xiàn)能隙。按緊束縛近似，原來孤立原子的每一能級，當原子相互接近組成晶體時，由于原子間的相互作用就構成一個能帶，若原子間距離越小，原子波函數(shù)間交疊越多，相互作用越大，能帶寬度就越寬。,18,由于晶體原胞數(shù)N很大，倒格子原胞體積很小，k在波矢空間準連續(xù)取值，因此，同一能帶中相鄰k值的能量差別很小，所以En(k)可近似看成是k的準連續(xù)函數(shù)。,第四章思考題,4、一個能帶有N個準連續(xù)能級的物理原因是什么？,答：能量本征值En(k)與n和k有關；對給定n，En(k)在波矢空間具有倒格子周期性，因此，電子波矢k可限制在第一布里淵區(qū)；在周期性邊界條件下，k分立取值個數(shù)為晶體原胞數(shù)N；En(k)包含由于k的不同取值所對應的許多能級，稱為一個能帶。,19,第四章思考題,5、近自由電子模型和緊束縛模型有何特點？它們有共同之處嗎？,答：近自由電子近似模型是當晶格周期勢場起伏很小，電子的行為很接近自由電子時采用的處理方法。作為零級近似，用晶格平均勢場代替晶格勢場，以自由電子的波函數(shù)為零級近似波函數(shù)。將晶格勢場與平均勢場的差，作為微擾求解薛定鄂方程。緊束縛近似模型是當晶格周期勢場起伏顯著，電子在某一個原子附近主要受到該原子勢場作用時采用的處理方法。作為零級近似，用孤立原子勢場代替晶格勢場，以自由原子中電子的波函數(shù)為零級近似波函數(shù)。將其它原子勢場的作用作為微擾求解薛定鄂方程。它們共同之處，將電子所受主要勢場代替晶格勢場，并以此選擇零級近似波函數(shù)，將主要勢場以外的其它勢場的影響作為微擾，采用量子力學微擾理論求解薛定鄂方程。,20,第四章思考題,6、試述晶體電子作準經典運動的條件和準經典運動的基本公式。,答：量子力學采用準經典模型來描述晶體電子對外場的響應，并用布洛赫波組成波包，用波包群速度對應經典粒子在外場中的運動。,由此可見，用準經典模型描述晶體電子對外場響應的條件：這一外場相對波包范圍變化緩慢，從而相對晶體原胞范圍變化更為緩慢。,根據(jù)波包定義：,這是因為，從測不準原理xk1，ka/2。即：當波包波矢范圍k比布里淵區(qū)尺度小得多，則波包在晶體空間的范圍將覆蓋許多原胞。,只要令波包的波矢范圍k相對布里淵區(qū)尺度為小量，即：k2/a，則En(k)可代表這一波包內所有電子的狀態(tài)？,21,第四章思考題,6、試述晶體電子作準經典運動的條件和準經典運動的基本公式。,因此，準經典模型是將變化周期遠大于波包范圍和晶體原胞尺度的外場采用經典理論處理，將變化周期遠小于波包范圍的晶格周期勢場采用量子理論結果。,準經典運動的基本公式：波包的群速度等于晶體電子作為經典粒子后的平均速度；并由此導出晶體電子在外場作用下的動力學方程、加速度、準動量和有效質量。,22,第四章思考題,7、試述有效質量、空穴的意義，引入它們有什么用處？,答：關于有效質量：有效質量是在討論晶體電子在外場作用下的加速度時引入的物理量，F(xiàn)=m*a。有效質量是張量，因此電子的加速度一般與外力方向不一致，這是因為電子除了受外力作用外，還受到晶格周期勢場的作用，這個作用由有效質量概括。有效質量與電子狀態(tài)有關，是波矢k的函數(shù)me*(k)；有效質量可以取正值，也可以取負值。引入有效質量，概括了晶格周期勢場，晶體電子在外力下運動，在形式上仍有經典動力學方程。引入有效質量，在能帶極值附近的電子可以看成是具有有效質量的自由電子。,23,第四章思考題,7、試述有效質量、空穴的意義，引入它們有什么用處？,關于空穴：空穴是在討論半導體滿帶(價帶)電子受激發(fā)到達空帶，使?jié)M帶留下一個空狀態(tài)成為近滿帶的導電行為時引入的概念。一個k狀態(tài)空著的能帶所產生的電流與一個帶正電荷e，以該狀態(tài)的電子速度V(k)運動的粒子所產生的電流相同，我們稱這種空的狀態(tài)為“空穴”?？昭ㄔ谕鈭鱿碌倪\動，可以看成是一個帶正電荷e，具有正的有效質量mh*(k)的粒子。引入空穴，使得對一個近滿帶(2N-1)電子在外場下行為的描述轉化為對一個空穴的描述。引入空穴，對于解釋半導體及一些物理現(xiàn)象起著重要作用，如：可以用來解釋某些材料霍爾系數(shù)為正的實驗結果。,24,第四章習題,4.1周期場中電子的波函數(shù)k(r)應是布洛赫波，若一維晶格常數(shù)為a，電子波函數(shù)為試求這些電子態(tài)的波矢。,解：根據(jù)布洛赫定理,25,第四章習題,26,第四章習題,27,第四章習題,4.2電子在周期場中的勢能為其中a=4b，為常數(shù)。(1)試畫出勢能曲線，并求其平均值。(2)用近自由電子近似模型求出晶體的第一和第二禁帶寬度。,解：(1)示意勢能曲線,周期為a=4b,28,第四章習題,(1)求平均值,根據(jù)周期性,29,第四章習題,(2)求第1個能隙寬度,30,第四章習題,(2)求第2個能隙寬度,31,第四章習題,4.6一維晶格中，用緊束縛近似及最近鄰近似，求S態(tài)電子的能譜E(k)的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質量。,解：已知，在緊束縛近似及最近鄰近似下,對于一維晶格，令晶格常數(shù)為a，S態(tài)相互作用積分為，,能譜表示式,帶寬,32,第四章習題,4.6一維晶格中，用緊束縛近似及最近鄰近似，求S態(tài)電子的能譜E(k)的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質量。,有效質量表示式,帶頂有效質量,帶底有效質量,根據(jù),33,第四章習題,4.7二維正方格子的晶格常數(shù)為a，用緊束縛近似及最近鄰近似，求S態(tài)電子的能譜E(k)的表示式，帶寬以及帶頂和帶底的有效質量。,解：已知，在緊束縛近似及最近鄰近似下,令S態(tài)相互作用積分為，,能譜表示式,帶寬,34,第四章習題,4.7二維正方格