結(jié)構(gòu)力學(xué)課件15動(dòng)力學(xué)

1,（1）主振型,m1,m2,特征方程頻率方程,15-4兩自由度體系的自由振動(dòng),一、剛度法,2,令,主振型,二、柔度法,3,三、主振型及主振型的正交性,由功的互等定理：,整理得：,因，則存在：,兩個(gè)主振型相互正交，因與質(zhì)量有關(guān)，稱為第一正交關(guān)系。,第一主振型,第二主振型,4,由功的互等定理：,上式分別乘以12、22，則得：,第一主振型慣性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型慣性力在第一主振型位移上所做的功等于零；,某一主振型的慣性力在其它主振型位移上不做功，其能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到其它主振型上，不會(huì)引起其它主振型的振動(dòng)；,各個(gè)主振型能單獨(dú)存在，而不相互干擾。,5,15-5兩個(gè)自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載下的受迫振動(dòng),在平穩(wěn)階段，各質(zhì)點(diǎn)也作簡(jiǎn)諧振動(dòng)：,Y1=D1/D0,Y2=D2/D0,如果荷載頻率與任一個(gè)自振頻率1、2重合，則D0=0,當(dāng)D1、D2不全為零時(shí)，則出現(xiàn)共振現(xiàn)象,6,例：質(zhì)量集中在樓層上m1、m2，層間側(cè)移剛度為k1、k2,解：荷載幅值：P1=P，P2=0，求剛度系數(shù)：,k11=k1+k2,k21=k2,k22=k2,k12=k2,當(dāng)m1=m2=m，k1=k2=k,7,兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移動(dòng)力系數(shù)不同。,當(dāng),趨于無(wú)窮大?？梢?jiàn)在兩個(gè)自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況,8,如圖示對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下。,與2相應(yīng)的振型是,=1,當(dāng)=2，D0=0，也有：,不會(huì)趨于無(wú)窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個(gè)。,對(duì)稱體系在對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只有當(dāng)荷載頻率與對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振；當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)不會(huì)發(fā)生共振。同理可知：對(duì)稱體系在反對(duì)稱荷載作用下時(shí)，只有當(dāng)荷載頻率與反對(duì)稱主振型的自振頻率相等時(shí)才發(fā)生共振。,9,yst1,yst2=P/k,荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力,yst1=yst2=P/k,層間剪力:Qst1=P,動(dòng)荷載產(chǎn)生的位移幅值和內(nèi)力幅值,由此可見(jiàn)，在多自由度體系中，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的動(dòng)力系數(shù)。,層間動(dòng)剪力:,10,這說(shuō)明在右圖結(jié)構(gòu)上，,適當(dāng)加以m2、k2系統(tǒng),可以消除m1的振動(dòng)（動(dòng)力吸振器原理）。,吸振器不能盲目設(shè)置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動(dòng)時(shí)才有必要設(shè)置。,設(shè)計(jì)吸振器時(shí)，先根據(jù)m2的許可振幅Y2，選定,，再確定,11,例：如圖示梁中點(diǎn)放一電動(dòng)機(jī)。重2500N，電動(dòng)機(jī)使梁中點(diǎn)產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉(zhuǎn)速為300r/min，產(chǎn)生的動(dòng)荷載幅值P=1kN，問(wèn)：1）應(yīng)加動(dòng)力吸振器嗎？2）設(shè)計(jì)吸振器。(許可位移為1cm),解：1）,頻率比在共振區(qū)之內(nèi)應(yīng)設(shè)置吸振器。,2）由,彈簧剛度系數(shù)為：,N/m,=102kg,12,15-9近似法求自振頻率,1、能量法求第一頻率Rayleigh法,根據(jù)能量守恒定律，當(dāng)不考慮阻尼自由振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)體系在任何時(shí)刻的動(dòng)能T和應(yīng)變能U之和應(yīng)等于常數(shù)。根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)可知：在體系通過(guò)靜力平衡位置的瞬間，速度最大（動(dòng)能具有最大值），動(dòng)位移為零（應(yīng)變能為零）；當(dāng)體系達(dá)到最大振幅的瞬間（變形能最大），速度為零（動(dòng)能為零）。對(duì)這兩個(gè)特定時(shí)刻，根據(jù)能量守恒定律得：Umax=Tmax,求Umax，Tmax,求頻率,如梁上還有集中質(zhì)量mi，,位移幅值,.,Yi為集中質(zhì)量mi處的位移幅值。,13,假設(shè)位移幅值函數(shù)Y(x)必須注意以下幾點(diǎn)：,1、必須滿足運(yùn)動(dòng)邊界條件：（鉸支端：Y=0；固定端：Y=0，Y=0）,盡量滿足彎矩邊界條件，以減小誤差。剪力邊界條件可不計(jì)。2、所設(shè)位移幅值函數(shù)應(yīng)與實(shí)際振型形狀大致接近；如正好與第n主振型相似，則可求的n的準(zhǔn)確解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲線，得到頻率的近似值。由于假定高頻率的振型困難，計(jì)算高頻率誤差較大。故Rayleigh法主要用于求1的近似解。3、相應(yīng)于第一頻率所設(shè)的振型曲線，應(yīng)當(dāng)是結(jié)構(gòu)比較容易出現(xiàn)的變形形式。曲率小，拐點(diǎn)少。4、通?？扇〗Y(jié)構(gòu)在某個(gè)靜荷載q（x）（如自重）作用下的彈性曲線作為Y（x）的近似表達(dá)式。此時(shí)應(yīng)變能可用相應(yīng)荷載q（x）所作的功來(lái)代替，即,14,2）假設(shè)均布荷載q作用下的撓度曲線作為Y(x),例12試求等截面簡(jiǎn)支梁的第一頻率。1）假設(shè)位移形狀函數(shù)為拋物線,滿足邊界條件且與第一振型相近,3）假設(shè),第一振型的精確解。,精確解,15,例13求楔形懸臂梁的自振頻率。設(shè)梁截面寬度為1，高度為h=h0 x/l。,解：,單位長(zhǎng)度的質(zhì)量：,設(shè)位移形狀函數(shù)：,滿足邊界條件：,Rayleigh法所得頻率的近似解總是比精確解偏高。其原因是假設(shè)了一振型曲線代替實(shí)際振型曲線，迫使梁按照這種假設(shè)的形狀振動(dòng)，相當(dāng)于給梁加上了某種約束，增大了梁的剛度，致使頻率偏高。當(dāng)所設(shè)振型越接近于真實(shí)，則相當(dāng)于對(duì)體系施加的約束越小，求得的頻率越接近于真實(shí)，即偏高量越小。,截面慣性矩：,16,1、假設(shè)多個(gè)近似振型,都滿足前述兩個(gè)條件。,2、將它們進(jìn)行線性組合,（a1、a2、an是待定常數(shù)）,3、確定待定常數(shù)的準(zhǔn)則是：獲得最佳的線性組合，這樣的Y（x）代入頻率計(jì)算公式中得到的2的值雖仍比精確解偏高，但對(duì)所有的a1，a2，an的可能組合，確實(shí)獲得了最小的2值。,所選的a1，a2，an使,2獲得最小值的條件是,這是以a1，a2，an為未知量的n個(gè)奇次線性代數(shù)方程。令其系數(shù)行列式等于零，得到頻率方程，可以解出原體系最低n階頻率來(lái)。階次越低往往越準(zhǔn)。,為了使假設(shè)的振型盡可能的接近真實(shí)振型，盡可能減小假設(shè)振型對(duì)體系所附加的約束，Ritz提出了改進(jìn)方法：,17,18,例14用RayleighRitz法求等截面懸臂梁的最初幾個(gè)頻率。,解：懸臂梁的位移邊界條件為：,只取第一項(xiàng),代入：,代入頻率方程：,其精確解：,與精確解相比，誤差為27%。,19,例14用RayleighRitz法求等截面懸臂梁的最初幾個(gè)頻率。,解：,取兩項(xiàng),代入：,代入頻率方程：,求得kij，mij：,求得最初兩個(gè)頻率近似值：,（0.48%）,（58%）說(shuō)明,說(shuō)明：1)由于1、2均近似于第一振型，由它們組合的第二振型自然很差，故第二頻率不準(zhǔn)。2)RayleighRitz法所得結(jié)果仍然偏高，其原因同瑞利法。,20,2、集中質(zhì)量法,在計(jì)算無(wú)限自由度體系的自振頻率時(shí)，可以用若干個(gè)集中質(zhì)量來(lái)代替連續(xù)分布的質(zhì)量。關(guān)于質(zhì)量的集中方法有多種，最簡(jiǎn)單的是靜力等效的集中質(zhì)量法。,該法既可求基本頻率，也可求較高頻率。且適用于各類結(jié)構(gòu)。,集中質(zhì)量的數(shù)目越多結(jié)果越精確，但工作量也就越大。,等效原則：使集中后的重力與原重力互為靜力等效，即兩者的合力相等。作法：將桿分為若干段