2016年江西省五市八校高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）含答案解析

第 1 頁（共 26 頁） 2016 年江西省五市八校高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是滿足題目要求的） 1設(shè)集合 A=x|2x 1 5，集合 B=x|y=6 x） ，則 AB 等于（ ） A（ 3， 6） B 3， 6 C（ 3， 6 D 3， 6） 2設(shè) i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù) a （ a R）是純虛數(shù)，則 a 的值為（ ） A B 2 C 2 D 3（ 2x+5y） 2016 展開式中第 k+1 項(xiàng)的系數(shù)為（ ） A B C D 4已知正數(shù) m 是 2 和 8 的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線 =1 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A B C 或 D或 5等差數(shù)列 公差 d 0 且 ，則數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 最大值，當(dāng) 得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù) n 是（ ） A 6 B 7 C 5 或 6 D 6 或 7 6執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的 t 1， ，則輸出的 S 屬于（ ） A B C 5， 5 D 3， 5 7如圖：網(wǎng)格紙上的小正方形邊長都為 1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） 第 2 頁（共 26 頁） A 4 B C D 8 8設(shè) a， b R，則 “a b”是 “a（ ea+e a） b（ eb+e b） ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要 條件 9已知等腰直角 C=4，點(diǎn) P， Q 分別在邊 ， =0， = ，直線 過 重心，則 | |=（ ） A B 2 C D 1 10已知直線 y=1 x 與雙曲線 （ a 0， b 0）的漸近線交于 A， B 兩點(diǎn)，且過原點(diǎn)和線段 點(diǎn)的直線的斜率為 ，則 的值為（ ） A B C D 11函數(shù) y=2016x 圖象大致是（ ） A B C D 12已知函數(shù) f（ x） =（ a ） x2+a R）在區(qū)間（ 1， +）上，函數(shù) f（ x）的圖象恒在直線 y=2方，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， B ， C（ ， +） D（ ， ） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13若函數(shù) f（ x） =1+ 為奇函數(shù)， g（ x） = ，則不等式 g（ x） 1 的解集為 _ 14若實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組 ，則 z=2y |x|的最小值是 _ 第 3 頁（共 26 頁） 15如圖所示的幾何體是由正四棱錐和圓柱組合而成，且該幾何體內(nèi)接于球（正四棱錐的頂點(diǎn)都在球面上），正四棱錐底面邊長為 2，體積為 ，則圓柱的體積為 _ 16己知數(shù)列 等差數(shù)列，數(shù)列 等比數(shù)列，對(duì)一切 n N*，都有 =數(shù)列 通項(xiàng)公式為 _ 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 . 17設(shè) 三個(gè)內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，點(diǎn) O 為 外接圓的圓心，若滿足 a+b 2c （ 1）求角 C 的最大值； （ 2）當(dāng)角 C 取最大值時(shí)，己知 a=b= ，點(diǎn) P 為 接圓圓弧上點(diǎn)，若 ，求 xy 的最大值 18骨質(zhì)疏松癥被稱為 “靜悄悄的流行病 “，早期的骨質(zhì)疏松癥患者大多數(shù)無明顯 的癥狀，針對(duì)中學(xué)校園的學(xué)生在運(yùn)動(dòng)中骨折事故頻發(fā)的現(xiàn)狀，教師認(rèn)為和學(xué)生喜歡喝碳酸飲料有關(guān)，為了驗(yàn)證猜想，學(xué)校組織了一個(gè)由學(xué)生構(gòu)成的興趣小組，聯(lián)合醫(yī)院檢驗(yàn)科，從高一年級(jí)中按分層抽樣的方法抽取 50 名同學(xué) （常喝碳酸飲料的同學(xué) 30，不常喝碳酸飲料的同學(xué) 20），對(duì)這50 名同學(xué)進(jìn)行骨質(zhì)檢測(cè)，檢測(cè)情況如表：（單位：人） 有骨質(zhì)疏松癥狀 無骨質(zhì)疏松癥狀 總計(jì) 常喝碳酸飲料的同學(xué) 22 8 30 不常喝碳酸飲料的同學(xué) 8 12 20 總計(jì) 30 20 50 （ 1）能否據(jù)此判斷有 把握認(rèn)為骨質(zhì)疏松癥與喝碳酸 飲料有關(guān)？ （ 2）現(xiàn)從常喝碳酸飲料且無骨質(zhì)疏松癥狀的 8 名同學(xué)中任意抽取兩人，對(duì)他們今后是否有骨質(zhì)疏松癥狀情況進(jìn)行全程跟蹤研究，記甲、乙兩同學(xué)被抽到的人數(shù)為 X，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E（ X） 附表及公式 P（ k2k） k 19已知菱形 ， ，半圓 O 所在平面垂直于平面 P 在半圓弧上（不同于 B， C） 第 4 頁（共 26 頁） （ 1）若 平面 成角的正弦值為 ，求出點(diǎn) P 的位置； （ 2）是否存在點(diǎn) P，使得 存在，求出點(diǎn) P 的位置，若不存在，說明理由 20給定橢圓 C： + =1（ a b 0），稱圓 x2+y2=a2+橢圓 C 的 “伴隨圓 ” 已知點(diǎn) A（ 2， 1）是橢圓 G： y2=m 上的點(diǎn) （ 1）若過點(diǎn) 的直線 l 與橢圓 G 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求 l 被橢圓 G 的伴隨圓截得的弦長； （ 2）橢圓 G 上的 B， C 兩點(diǎn)滿足 4k1 1（其中 直線 斜率），求證：B， C， O 三點(diǎn)共線 21對(duì)于函數(shù) y=F（ x），若在其定義域內(nèi)存在 得 （ =1 成立，則稱 函數(shù)F（ x）的 “反比點(diǎn) ”已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = 1 （ 1）求證：函數(shù) f（ x）具有 “反比點(diǎn) ”，并討論函數(shù) f（ x）的 “反比點(diǎn) ”個(gè)數(shù)； （ 2）若 x 1 時(shí)，恒有 xf（ x） （ g（ x） +x）成立，求 的最小值 選做題 22如圖，在三角形 ， 0， D，以 直徑的圓分別交 C 于 E、 F （ 1）求證： S 四邊形 F （ 2）求證： 選做題 第 5 頁（共 26 頁） 23在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），已知以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線 l 的極坐標(biāo)方程為 =（ 0）（注：本題限定： 0， 0， 2） （ 1）把橢圓 C 的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； （ 2）設(shè)射線 l 與橢圓 C 相交于點(diǎn) A，然后再把射線 l 逆時(shí)針 90，得到射線 橢圓 C 相交于點(diǎn) B，試確定 是否為定值，若為定值求出此定值，若不為定值請(qǐng)說明理由 選做題 24已知函數(shù) f（ x） =|x 2| （ ）解不等式； f（ x） +f（ 2x+1） 6； （ ）已知 a+b=1（ a， b 0）且對(duì)于 x R， f（ x m） f（ x） 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 第 6 頁（共 26 頁） 2016 年江西省五市八校高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分 個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是滿足題目要求的） 1設(shè)集合 A=x|2x 1 5，集合 B=x|y=6 x） ，則 AB 等于（ ） A（ 3， 6） B 3， 6 C（ 3， 6 D 3， 6） 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出 A 中不等式的解集確定出 A，求出 B 中 x 的范圍確定出 B，找出 A 與 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式解得： x 3，即 A=（ 3， +）， 由 B 中 y=6 x），得到 6 x 0，即 x 6， B=（ ， 6）， 則 AB=（ 3， 6）， 故選： A 2設(shè) i 是虛數(shù)單位，若復(fù) 數(shù) a （ a R）是純虛數(shù)，則 a 的值為（ ） A B 2 C 2 D 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、純虛數(shù)的定義即可得出 【解答】 解：復(fù)數(shù) a =a =a 2 i 是純虛數(shù)， 則 a 2=0，解得 a=2， 故選： C 3（ 2x+5y） 2016 展開式中第 k+1 項(xiàng)的系數(shù)為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 = （ 2x） 2016 k（ 5y） k，化簡(jiǎn)整理即可得出 【解答】 解： = （ 2x） 2016 k（ 5y） k=22016 （ 2x+5y） 2016 展開式中第 k+1 項(xiàng)的系數(shù)為 22016 故選： D 第 7 頁（共 26 頁） 4已知正數(shù) m 是 2 和 8 的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線 =1 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） A B C 或 D或 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 運(yùn)用等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，可得 m=4，求得橢圓的 a， b， c，即可得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo) 【解答】 解：正數(shù) m 是 2 和 8 的等比中項(xiàng)，可得 8=16，解得 m=4， 圓 錐曲線 =1 即為橢圓 =1， 可得 a=2， b=1， c= = ， 即有焦點(diǎn)為（ 0， ）， 故選： B 5等差數(shù)列 公差 d 0 且 ，則數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 最 大值，當(dāng) 得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù) n 是（ ） A 6 B 7 C 5 或 6 D 6 或 7 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 根據(jù)題意得出 a1+，由此能求出數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù) n 【解答】 解：等差數(shù)列 ，公差 d 0，且 ， 0， 即 a1+， 又 a1+； 數(shù)列 前 6 或 7 項(xiàng)最大 故選： D 6執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的 t 1， ，則輸出的 S 屬于（ ） 第 8 頁（共 26 頁） A B C 5， 5 D 3， 5 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 該程序的作用是計(jì)算一個(gè)分段函數(shù)的函數(shù)值，由條件為 t 我們可得分段函數(shù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，由分支結(jié)構(gòu)中是否兩條分支上對(duì)應(yīng)的語句行，我們易得函數(shù)的解析式，從而確定S 的區(qū)間 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得程序框圖的 功能是計(jì)算并輸出 S= 的值， 由題意可得：當(dāng) t 1， ）時(shí)， S=3t 3， ）； 當(dāng) t ， 時(shí)， S=50， 5； 畫出此分段函數(shù)在 t 1， 時(shí)的圖象如下： 第 9 頁（共 26 頁） 則輸出的 s 屬于 3， 5 故選： D 7 如圖：網(wǎng)格紙上的小正方形邊長都為 1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） A 4 B C D 8 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個(gè)直三棱柱切去一個(gè)三棱錐所得的組合體，由三視圖求出幾何元素的長度、判斷出線面的位置關(guān)系，由柱體、錐體的體積公式求出幾何體的體積 【解答】 解：由三視圖知該幾何 體是一個(gè)直三棱柱切去一個(gè)三棱錐所得的組合體， 其直觀圖如圖所示： 底面是等腰三角形， C=2，棱長是 4， 其中 D 是 中點(diǎn)， 平面 G=F， 平面 組合體的體積： V=V 三棱柱 V 三棱錐 E = ， 故選： C 8設(shè) a， b R，則 “a b”是 “a（ ea+e a） b（ eb+e b） ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要 條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 第 10 頁（共 26 頁） 【分析】 構(gòu)造函數(shù)， f（ x） =ex+e x，分類討論判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)充分性和必要性判斷即可 【解答】 解：設(shè) f（ x） =ex+e x， f（ x） =e x= ， 當(dāng) x 0 時(shí)， 1， （ 2 1 0， f（ x） 0， x 0 時(shí)， f（ x）是增函數(shù) ， a b 0， f（ a） f（ b）， ea+e a eb+e b a（ ea+e a） b（ eb+e b）， 當(dāng) x 0 時(shí)， （ 2 1 0， f（ x） 0， x 0 時(shí)， f（ x）是減函數(shù)， b a 0， f（ a） f（ b）， ea+e a eb+e b a（ ea+e a） b（ eb+e b）， 當(dāng) a 0 b 時(shí)，顯然成立， 綜上所述當(dāng) a b 時(shí)， “a（ ea+e a） b（ eb+e b） ”恒成立，故充分性成立， 反之也成立，故必要性成立， “a b”是 “a（ ea+e a） b（ eb+e b） ”充要條件， 故選： C 9已知等腰直角 C=4，點(diǎn) P， Q 分別在邊 ， =0， = ，直線 過 重心，則 | |=（ ） A B 2 C D 1 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 可作出圖形，根據(jù)條件便可得出 Q 為 中點(diǎn)，可設(shè) 重心為 G，則由題意即可得到 而有 由條件可以得到點(diǎn) A 為 中點(diǎn)，并可求得 ，從而便可得到 ，這樣由 等腰直角三角形即可求出 值，而 ，從而便可得出 的值 【解答】 解：如圖，設(shè) 重心為 G，由條件知 ， 等腰直角三角形， ； 第 11 頁（共 26 頁） ； ； Q 為 中點(diǎn)； 又 由 得， ； A 為 中點(diǎn)； ； 等腰直角三角形， B=45， 0； ， ； ； 即 故選： C 10已知直線 y=1 x 與雙 曲線 （ a 0， b 0）的漸近線交于 A， B 兩點(diǎn)，且過原點(diǎn)和線段 點(diǎn)的直線的斜率為 ，則 的值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分 析】 求得雙曲線的漸近線方程，將直線 y=1 x 聯(lián)立，求得交點(diǎn) A， B 的坐標(biāo)，可得中點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的斜率公式計(jì)算即可得到所求值 【解答】 解：雙曲線 （ a 0， b 0）的漸近線方程為 y= x， 把 y=1 x 代入 y= x， 第 12 頁（共 26 頁） 可得 A（ ， ）， B（ ， ）， 可得 中點(diǎn) M 為（ ， ） 由過原點(diǎn)和線段 點(diǎn)的直線的斜率為 ， 即有 = = ， 故選： A 11函數(shù) y=2016x 圖象大致是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象 【分析】 求導(dǎo) y=2016而確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)及函數(shù)的單調(diào)性，從而利用排除法求得 【解答】 解： y=2016x y=2016 當(dāng) x 0 時(shí)， y 0； 故函數(shù) y=2016x 0， +）上是增函數(shù)， 故排除 A， B； y=2016 1， 0上單調(diào)遞增， 且在 1， 0上先負(fù)后正， 故 y=2016x 1， 0上有極小值， 而在 1， 0上， y=2016x 0 恒成立； 故排除 D； 故選 C 12已知函數(shù) f（ x） =（ a ） x2+a R）在區(qū)間（ 1， +）上，函數(shù) f（ x）的圖象恒在直線 y=2方，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A（ ， B ， C（ ， +） D（ ， ） 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 第 13 頁（共 26 頁） 【分析】 將圖象的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式恒成立；通過構(gòu)造函數(shù)，對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)的根與 區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行討論，求出新函數(shù)的最值，求出 a 的范圍 【解答】 解：已知函數(shù) f（ x） =（ a ） x2+a R） 若在區(qū)間（ 1， +）上，函數(shù) f（ x）的圖象恒在直線 y=2下方， 等價(jià)于對(duì)任意 x （ 1， +）， f（ x） 2 即（ a ） x2+20 恒成立 設(shè) g（ x） =（ a ） x2+2x （ 1， +） 即 g（ x）的最大值小于 0 g（ x） =（ x 1）（ 2a 1 ） （ 1）當(dāng) a 時(shí)， g（ x） =（ x 1）（ 2a 1 ） 0， g（ x） =（ a ） x2+2x （ 1， +）為減函數(shù) g（ 1） = a 0 a ， a ， （ 2） a 1 時(shí)， g（ x） =（ x 1）（ 2a 1 ） 0 g（ x） =（ a ） x2+2x （ 1， +）為增函數(shù)， g（ x）無最大值，即最大值可無窮大，故此時(shí)不滿足條件 （ 3）當(dāng) a 1 時(shí)， g（ x）在（ 1， ）上為減函數(shù)，在（ ， +）上為增函數(shù)， 同樣最大值可無窮大，不滿足題意； 綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ， 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13若函數(shù) f（ x） =1+ 為奇函數(shù)， g（ x） = ，則不等式 g（ x） 1 的解集為 （ ， 0） （ 0， e 1） 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用 f（ 0） =0 求出 a 的值，利用分段函數(shù)的不等式進(jìn)行求解即可得到結(jié)論 【解答】 解： 函數(shù) f（ x）的定義域?yàn)椋?， +），且函數(shù) f（ x）是奇函數(shù)， f（ 0） =0， 即 f（ 0） =1+ =0，得 a= 1， 第 14 頁（共 26 頁） 則 g（ x） = ， 若 x 0，由 g（ x） 1 得 1，即 1，得 0 x e 1， 若 x 0，由 g（ x） 1 得 e x 1，即 x 0，則 x 0，此時(shí) x 0， 綜上不等式的解集為（ ， 0） （ 0， e 1）， 故答案為：（ ， 0） （ 0， e 1） 14若實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組 ，則 z=2y |x|的最小值是 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用平移法進(jìn)行判斷即可 【解答】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖： 由 z=2y |x|得 y= |x|+ z， 平移 y= |x|+ z，由圖象知當(dāng) y= |x|+ z 經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)， z 最小，此時(shí) z 最小， 由 得 ，即 A（ ， 0）， 此時(shí) z= | |= ， 故答案為： 15如圖所示的幾何體是由正四棱錐和圓柱組合而成，且該幾何體內(nèi)接于球（正四棱錐的頂點(diǎn)都在球面上），正四棱錐底面邊長為 2，體積為 ，則圓柱的體積為 2 第 15 頁（共 26 頁） 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 【分析】 外接球的球心在圓柱上下底面中心的連線中點(diǎn)，利用棱錐的體積計(jì)算出棱錐的高，利用勾股定理了非常解出外接球的半徑，計(jì)算出圓柱的高，圓柱的 底面直徑為棱錐底面對(duì)角線長 【解答】 解：設(shè)圓柱的上下底面中心為 E， F，則外接球的球心為 中點(diǎn) O，連接 A， 則 = = = = ， ， 設(shè)外接球的半徑為 r，則 S SE=r 1 OA=r， r 1） 2+2，解得 r= 圓柱的高 h=2（ ） =1， 圓柱的體積 V= h=2 故答案為 2 16己知數(shù)列 等差數(shù)列，數(shù)列 等比數(shù)列，對(duì)一切 n N*，都有 =數(shù)列 通項(xiàng)公式為 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，等比數(shù)列 公比為 q，化簡(jiǎn) =q（ ） 2，從而可得 =（ ） 3而化簡(jiǎn)可得 ，從而求得 【解答】 解：設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，等比數(shù)列 公比為 q， = =， 第 16 頁（共 26 頁） =q， an=q（ ） 2， =q（ ） 2， = ， 即 =（ ） 3 即（ d）（ an+d） 3=（ d） 3 化簡(jiǎn)可得， ， 0， d=0， 故數(shù)列 常數(shù)列， 故 =1， 故答案為： 三、解答題：本大題共 5 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 . 17設(shè) 三個(gè)內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，點(diǎn) O 為 外接圓的圓心，若滿足 a+b 2c （ 1）求角 C 的最大值； （ 2）當(dāng)角 C 取最大值時(shí)，己知 a=b= ，點(diǎn) P 為 接圓圓弧上點(diǎn)，若 ，求 xy 的最大值 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 （ 1）由余弦定理可以得 到 ，而由 a+b 2c 即可得出 范圍，從而得出 a2+范圍，進(jìn)一步便可得到 ，從而有 ，這便說明角 C 的最大值為 ； （ 2） 時(shí)便可得出 等邊三角形，從而可求得外接圓半徑為 1，并可求得，從而對(duì) 兩邊平方便可得到 x2+y2= 2樣便可得出最大值 【解答】 解：（ 1）在 由余弦定理得， ； a+b 2c； ； ； 第 17 頁（共 26 頁） ； ，當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取 “=”； ； 即 ； ； 角 C 的最大值為 ； （ 2）當(dāng)角 C 取最大值 時(shí)， ； 等邊三角形； O 為 中心，如圖所示， D 為邊 中點(diǎn)，連接 ： ； ，即外接圓半徑為 1，且 20； ； 對(duì) 兩邊平方得， ； 1=x2+ x2+y2= 2且僅當(dāng) x=y 時(shí)取 “=”； 1； xy 的最大值為 1 18骨質(zhì)疏松癥被稱為 “靜悄悄的流行病 “，早期的骨質(zhì)疏松癥患者大多數(shù)無明顯的癥狀，針對(duì)中學(xué)校園的學(xué)生在運(yùn)動(dòng)中骨折事故頻發(fā)的現(xiàn)狀，教師認(rèn)為和學(xué)生喜歡喝碳酸飲料有關(guān)，為了驗(yàn)證猜想，學(xué)校組織了一個(gè)由學(xué)生構(gòu)成的興趣小組，聯(lián)合醫(yī)院檢驗(yàn)科，從高一年級(jí)中按分層抽樣的方法抽取 50 名同學(xué) （常喝碳酸飲料的同學(xué) 30，不常喝碳酸飲料的同學(xué) 20），對(duì)這50 名同學(xué)進(jìn)行骨質(zhì)檢測(cè)，檢測(cè)情況如表：（單位：人） 有骨質(zhì)疏松癥狀 無骨質(zhì)疏松癥狀 總計(jì) 第 18 頁（共 26 頁） 常喝碳酸飲料的同學(xué) 22 8 30 不常喝碳酸飲料的同學(xué) 8 12 20 總計(jì) 30 20 50 （ 1）能否據(jù)此判斷有 把握認(rèn)為骨質(zhì)疏松癥與喝碳酸飲料有關(guān)？ （ 2）現(xiàn)從常喝碳酸飲料且無骨質(zhì)疏松癥狀的 8 名同學(xué)中任意抽取兩人，對(duì)他們今后是否有骨質(zhì)疏松癥狀情況進(jìn)行全程跟蹤研究，記甲、乙兩同學(xué)被抽到的人數(shù)為 X，求 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E（ X） 附表及公式 P（ k2k） k 【考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【分析】 （ 1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算 值，即可得到結(jié)論； （ 2） X 可能取值為 0， 1， 2，求出相應(yīng)的概率，可得 X 的分布列及數(shù)學(xué)期望 E（ X） 【解答】 解：（ 1）由表中數(shù)據(jù)得 觀測(cè)值所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有 把握認(rèn)為骨質(zhì)疏松癥與喝碳酸飲料有關(guān)有關(guān)） （ 2）由題可知從常喝碳酸飲料且無骨質(zhì)疏松癥狀的 8 名同學(xué)中任意抽取兩人，抽取方法有種，其中甲、乙兩人沒有一個(gè)人被抽到有 種；恰有一人被抽到有種；兩人都被抽到有 種 X 可能取值為 0， 1， 2， ， ， X 的分布列為： X 0 1 2 P X 的分布列為： 19已知菱形 ， ，半圓 O 所在平面垂直于平面 P 在半圓弧上（不同于 B， C） （ 1）若 平面 成角的正弦值為 ，求出點(diǎn) P 的位置； （ 2）是否存在點(diǎn) P，使得 存在，求出點(diǎn) P 的位置，若不存在，說明理由 第 19 頁（共 26 頁） 【考點(diǎn)】 直線與平面所成的角 【分析】 （ 1）過 O 作 接 平面 O 為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則 為平面 法向量，設(shè) ，求出 的坐標(biāo)，令 | |= 解出 即可確定 P 點(diǎn)位置； （ 2）令 =0 解出 ，根據(jù) 的范圍得出結(jié)論 【解答】 解（ 1） P 為圓弧中點(diǎn)或者靠近點(diǎn) B 的三等分點(diǎn) 連接 半圓內(nèi)作 圓弧于點(diǎn) M，則 M 為圓弧中點(diǎn) 平面 平面 面 面 C， 平面 四邊形 菱形， ， 等邊三角形， 是 兩垂直 以 O 為原點(diǎn)， 在直線分別為 x， y， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè) ， （ 0， ），則 P（ 0， A（ ， 2， 0）， =（ ， ， 平面 為平面 一個(gè)法向量， = = = = 解得 P 為圓弧中點(diǎn)或者靠近點(diǎn) B 的三 等分點(diǎn) （ 2）假設(shè)存在點(diǎn) P 使得 P（ 0， C（ 0， 1， 0）， B（ 0， 1， 0）， ， ， ， 解得 ，則與 （ 0， ）矛盾， 在半圓弧上不存在這樣的點(diǎn) P 使得 第 20 頁（共 26 頁） 20給定橢圓 C： + =1（ a b 0），稱圓 x2+y2=a2+橢圓 C 的 “伴隨圓 ” 已知點(diǎn) A（ 2， 1）是橢圓 G： y2=m 上的點(diǎn) （ 1）若過點(diǎn) 的直線 l 與橢圓 G 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求 l 被橢圓 G 的伴隨圓截得的弦長； （ 2）橢圓 G 上的 B， C 兩點(diǎn)滿足 4k1 1（其中 直線 斜率），求證：B， C， O 三點(diǎn)共線 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ 1）將 A 代入橢圓方程，可得 m，進(jìn)而得到橢圓方程和伴橢圓方程，討論直線 出 l 的方程，代入橢圓方程運(yùn)用判別式為 0，求得 k，再由直線和圓相交的弦長公式，計(jì)算即可得到所求弦長； （ 2）設(shè)直線 方程分別為 y 1=x 2）， y 1=x 2），設(shè)點(diǎn) B（ C（ 聯(lián)立橢圓方程求得交點(diǎn) B， C 的坐標(biāo)，運(yùn)用直線的斜率公式，計(jì)算直線 C 的斜率相等，即可得證 【解答】 解：（ 1）由點(diǎn) A（ 2， 1）是橢圓 G： y2=m 上的點(diǎn) 可得 22+412=m，即有 m=8， 即橢圓 G： + =1， 可得 ， ，可得伴隨圓 方程為 x2+0， 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足 l 與橢圓 G 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 ， 與橢圓 G： 聯(lián)立，得 ， 由直線 l 與橢圓 G 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，得 ， 解得 k= 1，由對(duì)稱性取直線 ，即 ； 第 21 頁（共 26 頁） 圓心到直線 l 的距離為 ， 直線 l 被橢圓 G 的伴隨圓 截得的弦長 = ； （ 2）證明 ：設(shè)直線 方程分別為 y 1=x 2）， y 1=x 2）， 設(shè)點(diǎn) B（ C（ 聯(lián)立 G： ，得 ， 則 2 ，得 ； 同理 ， 斜率 ， 同理 ； 因?yàn)?4k1 1，所以 ，= 即有 B， O， C 三點(diǎn)共線 21對(duì)于函數(shù) y=F（ x），若在其定義域內(nèi)存在 得 （ =1 成立，則稱 函數(shù)F（ x）的 “反比點(diǎn) ”已知函數(shù) f（ x） =g（ x） = 1 （ 1）求證：函數(shù) f（ x）具有 “反比點(diǎn) ”，并討論函數(shù) f（ x）的 “反比點(diǎn) ”個(gè)數(shù)； （ 2）若 x 1 時(shí)，恒有 xf（ x） （ g（ x） +x）成立，求 的最小值 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)恒成立問題 第 22 頁（共 26 頁） 【分析】 （ 1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的最值，然后求解滿足題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù) （ 2）轉(zhuǎn)化表達(dá)式通過構(gòu)造函數(shù)，求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后對(duì) 分類討論，求解 的最小值 【解答】 解（ 1）證明：設(shè) h（ x） =1， h（ x） =1， h（ x） 0 得 x （ e， +）， h（ x） 0 得 x （ 0， e） h（ e） =1=e 1 0， ， 在（ 0， +）上有解，所以函數(shù) f（ x）具有 “反比點(diǎn) ”且有且只有一個(gè)； （ 2） xf（ x） （ g（ x） +x） （ 1+x） （ ） （ x ）， 令 ， 1當(dāng) 1 時(shí)， =4 4（ ）（ ） 0，故恒有 x 0則 G（ x） 0 恒成立，故 G（ x）在區(qū)間 1， +）上是增函數(shù) G（ x） G（ 1） =0，這與條件矛盾； 2當(dāng) 1 0 時(shí)， x= = 0， 故恒有 y= x 0在區(qū)間 1， +）上是增函數(shù) x 2 2 0，則 G（ x） 0 恒成立，故 G（ x）在區(qū)間 1， +）上是增函數(shù) G（ x） G（ 1） =0，這與條件矛盾； 3當(dāng) =0 時(shí)， G（ x） = 0 恒成立，故 G（ x）在區(qū)間 1， +）上是增函數(shù) G（ x） G（ 1） =0，這與條件矛盾； 4當(dāng) 0 1 時(shí)，設(shè) x =0的兩個(gè)根 x1+ 2， ， 0 1， 故有 x （ 1， ， x 0，在區(qū)間（ 1， 是增函數(shù) G（ x） G（ 1） =0，這與條件矛盾； 5當(dāng) 1 時(shí)， =4 4（ ）（ ） 0 則 G（ x） 0 恒成立，故 G（ x）在區(qū)間 1， +）上是減函數(shù) G（ x） G（ 1） =0，命題恒成立； 綜上所述 1，所以 的最小值為 1 選做題 22如圖，在三角形 ， 0， D，以 直徑的圓分別交 C 于 E、 F （ 1）求證： S 四邊形 F （ 2）求證： 第 23 頁（共 26 頁） 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段；相似三角形的性質(zhì) 【分析】 （ 1）由圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角，可得四邊形 矩形，