雙曲線經(jīng)典例題講解

第一部分 雙曲線相關(guān)知識點講解一雙曲線的定義及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1 雙曲線定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（|F1F2|）的點的軌跡（為常數(shù)）這兩個定點叫雙曲線的焦點 要注意兩點：（1）距離之差的絕對值.（2）2a|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質(zhì)的不同. 當(dāng)|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應(yīng)的一支； 當(dāng)|MF1|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F1所對應(yīng)的一支； 當(dāng)2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線； 當(dāng)2a|F1F2|時，動點軌跡不存在.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：和（a0，b0）.這里，其中|=2c.要注意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標(biāo)軸上.4.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意兩個問題： 正確判斷焦點的位置； 設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，運(yùn)用待定系數(shù)法求解.二雙曲線的內(nèi)外部： (1)點在雙曲線的內(nèi)部. (2)點在雙曲線的外部.三.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上）.四雙曲線的簡單幾何性質(zhì)=1（a0，b0） 范圍：|x|a，yR 對稱性：關(guān)于x、y軸均對稱，關(guān)于原點中心對稱 頂點：軸端點A1（a，0），A2（a，0） 漸近線： 若雙曲線方程為漸近線方程 若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為 若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在x軸上，焦點在y軸上） 與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是 與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是六.弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則。第二部分 典型例題分析題型1：運(yùn)用雙曲線的定義例1. 如圖所示，為雙曲線的左焦點，雙曲線上的點與關(guān)于軸對稱，則的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 ，選C練習(xí)：設(shè)P為雙曲線上的一點F1、F2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|：|PF2|=3：2，則PF1F2的面積為（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故選B。題型2 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2 已知雙曲線C與雙曲線=1有公共焦點，且過點（3，2）.求雙曲線C的方程解：設(shè)雙曲線方程為=1.由題意易求c=2.又雙曲線過點（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求雙曲線的方程為=1.練習(xí)：1已知雙曲線的漸近線方程是，焦點在坐標(biāo)軸上且焦距是10，則此雙曲線的方程為 ； 解：設(shè)雙曲線方程為，當(dāng)時，化為，當(dāng)時，化為，綜上，雙曲線方程為或2.已知點，動圓與直線切于點，過、與圓相切的兩直線相交于點，則點的軌跡方程為A BC（x 0） D解析，點的軌跡是以、為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，選B題型3 與漸近線有關(guān)的問題例3.焦點為（0，6），且與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程是 A B C D解析從焦點位置和具有相同的漸近線的雙曲線系兩方面考慮，選B練習(xí)：過點（1，3）且漸近線為的雙曲線方程是解：設(shè)所求雙曲線為 點（1，3）代入：.代入（1）：即為所求.題型4 弦中點問題設(shè)而不求法例4. 雙曲線的一弦中點為（2，1），則此弦所在的直線方程為 （ ）A. B. C. D. 解:設(shè)弦的兩端分別為.則有：.弦中點為（2，1），.故直線的斜率.則所求直線方程為：，故選C.練習(xí)：1.在雙曲線上，是否存在被點M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由.【錯解】假定存在符合條件的弦AB，其兩端分別為：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：.M（1，1）為弦AB的中點，故存在符合條件的直線AB，其方程為：.這個結(jié)論對不對呢？我們只須注意如下兩點就夠了：其一：將點M（1，1）代入方程，發(fā)現(xiàn)左式=1-1，故點M（1，1）在雙曲線的外部；其二：所求直線AB的斜率，而雙曲線的漸近線為.這里，說明所求直線不可能與雙曲線相交，當(dāng)然所得結(jié)論也是荒唐的.問題出在解題過程中忽視了直線與雙曲線有公共點的條件.【正解】在上述解法的基礎(chǔ)上應(yīng)當(dāng)加以驗證.由這里，故方程（2）無實根，也就是所求直線不合條件.結(jié)論；不存在符合題設(shè)條件的直線.2. 已知雙曲線,問過點A（1，1）能否作直線,使與雙曲線交于P、Q兩點，并且A為線段PQ的中點？若存在，求出直線的方程，若不存在，說明理由。解：設(shè)符合題意的直線存在，并設(shè)、 則 1得 因為A（1，1）為線段PQ的中點，所以 將(4)、(5)代入（3）得 若，則直線的斜率， 其方程為 得 根據(jù),說明所求直線不存在。3.已知中心在原點，頂點A1、A2在x軸上，離心率e=的雙曲線過點P(6，6) (1)求雙曲線方程 (2)動直線l經(jīng)過A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點M、N，問 是否存在直線l,使G平分線段MN，證明你的結(jié)論 解 (1)如圖，設(shè)雙曲線方程為=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求雙曲線方程為=1 (2)P、A1、A2的坐標(biāo)依次為(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐標(biāo)為(2，2）假設(shè)存在直線l，使G(2，2)平分線段MN，設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2) 則有，kl=l的方程為y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164280,所求直線l不存在 題型5 綜合問題1.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為，右頂點為.（）求雙曲線C的方程（）若直線與雙曲線恒有兩個不同的交點A和B且（其中為原點），求k的取值范圍解（1）設(shè)雙曲線方程為由已知得，再由，得故雙曲線的方程為.（2）將代入得 由直線與雙曲線交與不同的兩點得 即且. 設(shè)，則，由得，而.于是，即解此不等式得 由+得故的取值范圍為 2.已知兩定點滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線kx1與曲線E交于A、B兩點。（）求的取值范圍；（）如果且曲線E上存在點C，使求。解：（）由雙曲線的定義可知，