2013年上海高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密啟用前2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學(xué)（上海卷）一、填空題1計算：2設(shè)，是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則3若，則4已知ABC的內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)邊分別為a、b、c，若，則角C的大小是_（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）5設(shè)常數(shù)，若的二項展開式中項的系數(shù)為，則6方程的實數(shù)解為_7在極坐標系中，曲線與的公共點到極點的距離為_8盒子中裝有編號為1，2，3，4，5，6，7，8，9的九個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是_（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）9設(shè)AB是橢圓的長軸，點C在上，且，若AB=4，則的兩個焦點之間的距離為_10設(shè)非零常數(shù)d是等差數(shù)列的公差，隨機變量等可能地取值，則方差11若，則12設(shè)為實常數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，若對一切成立，則的取值范圍為_13在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為_14對區(qū)間I上有定義的函數(shù)，記，已知定義域為的函數(shù)有反函數(shù)，且，若方程有解，則二、選擇題15設(shè)常數(shù)，集合，若，則的取值范圍為（ ）(A) (B) (C) (D) 16錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）(A)充分條件 (B)必要條件 (C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件17在數(shù)列中，若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素，（）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為（ ）(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量分別為；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為.若分別為的最小值、最大值，其中,則滿足（ ）. (A) (B) (C) (D) 三、解答題19.（本題滿分12分）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離.20（6分+8分）甲廠以x千克/小時的速度運輸生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每小時可獲得利潤是元.(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤.21（6分+8分）已知函數(shù)，其中常數(shù)；（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）令，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖像，區(qū)間（且）滿足：在上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的中，求的最小值22（3分+5分+8分）如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點，若存在過點P的直線與都有公共點，則稱P為“C1C2型點”(1)在正確證明的左焦點是“C1C2型點”時，要使用一條過該焦點的直線，試寫出一條這樣的直線的方程（不要求驗證）；(2)設(shè)直線與有公共點，求證，進而證明原點不是“C1C2型點”；(3)求證：圓內(nèi)的點都不是“C1C2型點”23（3分+6分+9分）給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.2013年 上海 高考理科數(shù)學(xué)（參考答案）一 填空題1. 2. 2 3. 0 4. 5. 2 6. 7. 8. 9. 10. 30d 11. 12. 13. 14. 2二 選擇題題號15161718代號BBAD三 解答題19. 【解答】因為ABCD-A1B1C1D1為長方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C； 直線BC1到平面D1AC的距離即為點B到平面D1AC的距離設(shè)為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得而中，故所以，即直線BC1到平面D1AC的距離為20【解答】(1)根據(jù)題意，又，可解得(2)設(shè)利潤為元，則故時，元21【解答】(1)因為，根據(jù)題意有(2) ，或，即的零點相離間隔依次為和，故若在上至少含有30個零點，則的最小值為23. 【解答】：（1）C1的左焦點為，過F的直線與C1交于，與C2交于，故C1的左焦點為“C1-C2型點”，且直線可以為；（2）直線與C2有交點，則，若方程組有解，則必須；直線與C2有交點，則，若方程組有解，則必須故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點，即原點不是“C1-C2型點”。（3）顯然過圓內(nèi)一點的直線若與曲線C1有交點，則斜率必存在；根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點，則直線與圓內(nèi)部有交點，故化簡得，。若直線與曲線C1有交點，則化簡得，。由得，但此時，因為，即式不成立；當(dāng)時，式也不成立綜上，直線若與圓內(nèi)有交點，則不可能同時與曲線C1和C2有交點，即圓內(nèi)的點都不是“C1-C2型點” 23. 【解答】：（1）因為，故，（2）要證明原命題，只需證明對任意都成立，即只需證明若，顯然有成立；