微觀經(jīng)濟學計算題練習

河南 洛陽（平頂山）李恒運微觀經(jīng)濟學計算題 1.某君對消費品x的需求函數(shù)為，分別計算價格P60和P40時的價格彈性系數(shù)。 解：由，得， 這樣，于是， 即，當價格為60和40時的點價格彈性系數(shù)分別為-3和 -4/3。2.假設某商品的50為75個消費者購買，他們每個人的需求彈性為-2，另外50為25個消費者購買，他們每個人的需求彈性為-3，試問這100個消費者合計的彈性為多少? 解：設被這100個消費者購得的該商品總量為Q，其市場價格為P。 據(jù)題設，其中75人購買了其總量的一半，且他們每人對該商品的需求彈性為-2，這樣，他們每人的彈性 且 又，另外25人購買了其總量之另一半，且他們每人對該商品的需求彈性為-3，這樣，他們每人的彈性 且 由此，這100個消費者合計的彈性為 將式(1)、(3)代入，得 將式(2)、(4)代入，得 3.若無差異曲線是一條斜率是-b的直線，價格為Px、Py，收入為M時，最優(yōu)商品組合是什么? 解：預算方程為：Pxx+PyyM，其斜率為-Px/Py MRSXY=MUX/MUY=-b 由于無差異曲線是直線，這時有角解。 當bPx/Py時，角解是預算線與橫軸的交點，如圖319(a)所示。 這時，y0 由預算方程得，x=M/Px 最優(yōu)商品組合為(M/Px，0) 當b0，求：(1)當價格為P1時的消費者剩余是多少?(2)當價格由P1變到P2時消費者剩余變化了多少? 解：(1)由ga-bP，得反需求函數(shù)為設價格為p1時，需求量為q1，q1=a-bP1消費者剩余= (2)設價格為p2時，需求量為q2，q2a-bp2 消費者剩余變化量 5. X公司和Y公司是機床行業(yè)的兩個競爭者。這兩家公司的主要產(chǎn)品的需求曲線分別為： 公司X：Px1 000-5Qx，公司Y：Py1 600-4Qy。 這兩家公司現(xiàn)在的銷售量分別為100單位X和250單位Y。 (1)求X和Y當前的價格彈性。 (2)假定Y降價后，使Qy增加到300單位，同時導致X的銷售量Qx下降到75單位，試問X公司產(chǎn)品X的交叉價格彈性是多少? 解：(a)由題設，Qx100，Qy=250，則 Px1 000-5Qx1Py1 600-4Qy1 600-4250600 于是x之價格彈性 y之價格彈性 (b)由題設，Qy300，Qx75 這樣， Py1 600-4Qy 1 600-4300 =400 QxQx-Qx 75-100 -25 Py=Py-Py =400-600 =-200 于是，X公司產(chǎn)品x對Y公司產(chǎn)品y的交叉價格彈性 =5/7 即交叉價格彈性為5/7。6.令消費者的需求曲線為pa-bp，a、b0，并假定征收 lOOt的銷售稅，使得他支付的價格提高到P(1+t)。證明他損失的消費者剩余超過政府征稅而提高的收益。 解：設價格為p時，消費者的需求量為q1，由p=a-bq1，得 又設價格為P(1+t)時，消費者的需求量為q2，由Pa-bq2 得 消費者剩余損失 政府征稅而提高的收益=(1+t)pq2-pq1 消費者剩余虧損一政府征稅而提高的收益 因此，消費者剩余損失總是超過政府征稅而提高的收益。 7.假定效用函數(shù)為Uq0.5+2M，q為消費的商品量，M為收入。求：(1)需求曲線；(2)反需求曲線；(3)p=0.05，q25時的消費者剩余。 解：(1)根據(jù)題意可得，商品的邊際效用 單位貨幣的效用為 若單位商品售價為P，則單位貨幣的效用就是商品的邊際效用除以價格，即=MU/P 于是得，即 進而得，這就是需求曲線。 (2)由，得，這就是反需求曲線。 (3)當p=0.05，q=25時， 消費者剩余= 8若某消費者對X、Y的效用函數(shù)如下：U（x）=20X-X2，U（y）= 40Y-4Y2，且Px=2元，Py=4元，現(xiàn)有收入24元，該消費者要花完全部現(xiàn)有收入并獲得最大效用，應購買X、Y各多少？解： 解得： 9.某消費者的效用函數(shù)為UXY，Px1元，Py2元，M =40元，現(xiàn)在Py突然下降到1元。試問： (1)Y價格下降的替代效應使他買更多還是更少的Y? (2)Y價格下降對Y需求的收入效應相當于他增加或減少多少收入的效應?收入效應使他買更多還是更少的Y? (3)了價格下降的替代效應使他買更多還是更少的X?收入效應使他買更多還是更少的X?Y價格下降對X需求的總效應是多少?對Y需求的總效應又是多少? 解：(1)先求價格沒有變化時，他購買的X和Y的量。這時已知，Px1，Py2，UXY 預算方程為： X+2Y40解 Y=X/2 X+2Y=40得 X=20（即圖中0X1） Y=10（即圖中0Y1） 再求購買20單位的X、10單位的Y在新價格下需要的收入。 M=Pxx+Pyy120+11030(元) 最后，求在新價格和新收入(30元)下他購買的X和Y的量。 Px=1，Py1，MUxY，MUyX MUx/Px=MUy/Py 即為：Y/1=X/1 預算約束為：X+Y30解 Y=X X+Y=30得 X=15 Y=15 因此，Y價格下降使他購買更多的y，多購買(15-10)=5單位，在圖中從OY1增加到OY2。 (2)先求y價格下降后，他實際購買的X和Y的量。 Px=1，Py1，M40，MUxY，MUyX 即為：Y/1=X/1 預算方程為：X+Y40解 Y=X X+Y=50得 X=20 Y=20 可見，Y價格下降的收入效應使他購買更多的Y即在圖中從 OY2增加到OY3，購買(20-15)=5單位。 由于在新價格和收入為30元時，他購買15單位的X、15單位的Y。在新價格下，要使他能購買20單位X、20單位Y，需增加 10元收入，即收入為40元。所以，要增購5單位Y的話，必需增加 10元收入，即圖中預算線上升到AB。 因此，Y價格下降對Y需求的收入效應相當于他增加10元收入的效應。 (3)Y的價格下降的替代效應使他買更少的X，少買(20- 15)=5單位，即圖中X的購買量從Ox1降為Ox2。收入效應使他購買更多的X，多買(20-15)5單位，即圖中X的購買量從Ox2恢復到OX1。Y價格下降對X需求的總效應為零。 y價格下降的替代效應使他多購買5單位Y，收入效應使他也多購買5單位Y。故Y價格下降對Y需求的總效應為10單位，即圖中Y1Y3=Y1Y2+Y2Y3。10. 已知生產(chǎn)函數(shù)為，請問：(a)該生產(chǎn)函數(shù)是否為齊次函數(shù)?次數(shù)為若干?(b)該生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報酬情況。 (c)假如L與K均按其邊際產(chǎn)量取得報酬，當L與K取得報償后，尚有多少剩余產(chǎn)值?解：(a) 該生產(chǎn)函數(shù)為齊次函數(shù)，其次數(shù)為0.8。 (b)根據(jù)a)題 可知該生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬遞減的生產(chǎn)函數(shù)。 (c)對于生產(chǎn)函數(shù) 這里的剩余產(chǎn)值是指總產(chǎn)量減去勞動和資本分別按邊際產(chǎn)量取得報酬以后的余額，故 剩余產(chǎn)值Q-LMPPL-KMPPK 11.已知生產(chǎn)函數(shù)為 (a)求出勞動的邊際產(chǎn)量及平均產(chǎn)量函數(shù)。 (b)考慮該生產(chǎn)函數(shù)的邊際技術替代率函數(shù)(MRTS)的增減性。 (c)考慮該生產(chǎn)函數(shù)勞動的邊際產(chǎn)量函數(shù)的增減性。 解：(a)勞動的邊際產(chǎn)量函數(shù)MPPLdQ/dL 勞動的平均產(chǎn)量函數(shù)APPLQ/L (b)生產(chǎn)函數(shù)邊際技術替代率指產(chǎn)量不變條件下一種生產(chǎn)要素增加的投入量與另一種生產(chǎn)要素相應減少的投入量之比，即 -K/L或-dK/dL。為此，需要從生產(chǎn)函數(shù)中先求得K和L之間的關系，然后從這一關系中求得dK/dL。 由生產(chǎn)函數(shù) Q= 得 QK+QL1OKL K(Q-10L)-QL 則邊際技術替代率MRTS=-dK/dL當dK/dL0時，dK/dL0，即，故Q4是利潤最大或虧損最小的產(chǎn)量。利潤TR-TCPQ-(Q3-6Q2+30Q+40)=304-，可見，當價格為30元時，廠商會發(fā)生虧損，最小虧損額為8美元。 (3)廠商退出行業(yè)的條件是PAVC的最小值。 TCQ3 -6Q2+30Q+20， VC=Q3-6Q2+30Q AVC=VC/Q=Q2 -6Q+30要求AVC最低點的值，只要令dAVC/dQ=0，即dAVC/dQ 2Q-60， Q3當Q3時AVC，可見，只要價格P0，即，故Q4是利潤最大或虧損最小的產(chǎn)量。利潤TR-TCPQ-(Q3-6Q2+30Q+40)=304-，可見，當價格為30元時，廠商會發(fā)生虧損，最小虧損額為8美元。 (3)廠商退出行業(yè)的條件是PAVC的最小值。 TCQ3 -6Q2+30Q+20， VC=Q3-6Q2+30Q AVC=VC/Q=Q2 -6Q+30要求AVC最低點的值，只要令dAVC/dQ=0，即dAVC/dQ 2Q-60， Q3當Q3時AVC，可見，只要價格P21，廠商就會停止生產(chǎn)。18.若很多相同廠商的長期成本函數(shù)都是LTCQ3-4Q2+ 8Q，如果正常利潤是正的，廠商將進入行業(yè)；如果正常利潤是負的，廠商將退出行業(yè)。 (1)描述行業(yè)的長期供給函數(shù)。 (2)假設行業(yè)的需求函數(shù)為QD2 000100P，試求行業(yè)均衡價格，均衡產(chǎn)量和廠商的人數(shù)。解：(1)已知LTCQ3-4Q2+80則LACQ2-4Q+8，欲求LAC的最小值，只要令dLAC/dQ=0即20-40 Q2這就是說，每個廠商的產(chǎn)量為Q2時，長期平均成本最低，其長期平均成本為：LAC=22-42+8=4。當價格P等于長期平均成本4時，廠商既不進入，也不退出，即整個行業(yè)處于均衡狀態(tài)。故行業(yè)長期供給函數(shù)即供給曲線是水平的，行業(yè)的長期供給函數(shù)為P =4。 (2)已知行業(yè)的需求曲線為QD2 000-100P，而行業(yè)的供給函數(shù)為P4，把P4代入QD2 000-100P中可得：行業(yè)需求量QD2 000-10041 600 由于每個廠商長期均衡產(chǎn)量為2，若廠商有n個，則供給量Qs =2n。行業(yè)均衡時，QDQs，即1 6002n， n800。故整個行業(yè)均衡價格為4，均衡產(chǎn)量為1 600，廠商有800家。 19. 假設一個壟斷廠商面臨的需求曲線為P10-3Q，成本函數(shù)為TCQ2+2Q。(1)求利潤極大時的產(chǎn)量、價格和利潤。 (2)如果政府企圖對該壟斷廠商采取限價措施迫使其達到完全競爭產(chǎn)業(yè)所能達到的產(chǎn)量水平，則限價應為多少? (3)如果政府打算對該壟斷廠商征收一筆固定的調節(jié)稅，以便把該廠商所獲得的超額利潤都拿去，試問這筆固定稅的總額是多少?解：(1)已知P10-3Q，則MR10-6Q又知成本函數(shù) TCQ2+2Q MC(TC)2Q+2利潤極大化的條件是 MC=MR 即2Q+210-6Q 得Q1 把Q1代入P10-3Q中得：P10-317 利潤TR-TCPQ-(Q2+20)71-（12+21）4 (2)政府采取限價措施使壟斷者達到完全競爭行業(yè)所能達到的產(chǎn)量水平。完全競爭條件下利潤極大化的條件是PMC即10-3Q20+2 Q1.6 把Q1.6代入P10-3Q中得：P10-31.65.2。此時的利潤TR-TCPQ-(Q2 +2Q)5.21.6-1.62+21.6）-2.56 說明在政府限價時，廠商虧損了。 (3)如果政府征收的固定調節(jié)稅恰好是把該廠商的超額利潤都拿走，則政府對該廠商征收的固定調節(jié)稅就是4單位，征稅后產(chǎn)量、價格都沒有變，壟斷廠商的超額利潤為零。 20假定行業(yè)需求曲線為Q250P，每家廠商的邊際成本為4。試求：（1）兩個廠商的古諾反應函數(shù)。（2）古諾雙寡頭廠商的價格和產(chǎn)量。（3）若廠商數(shù)目無限增大，古諾均衡價格和產(chǎn)量是多少？解：（1）TR1=250-（Q1+Q2）Q1MR1=250-2Q1-Q2同理，MR2=250-2Q2-Q1根據(jù)MR=MC，得到反應函數(shù)：250-2Q1-Q2=4250-2Q2-Q1=4 （2）解得：Q1=Q2=82，P=250-（Q1+Q2）=86 （3）若廠商數(shù)目無限增大，P=MC=4，Q=250-4=246 21.假設一個壟斷廠商面臨的需求曲線為P10-3Q，成本函數(shù)為TCQ2+2Q。 (1)求利潤極大時的產(chǎn)量、價格和利潤。 (2)如果政府企圖對該壟斷廠商采取限價措施迫使其達到完全競爭亍業(yè)所能達到的產(chǎn)量水平，則限價應為多少? (3)如果政府打算對該壟斷廠商征收一筆固定的調節(jié)稅，以便把該廠商所獲得的超額利潤都拿去，試問這筆固定稅的總額是多少?(4)如果政府對該壟斷廠商生產(chǎn)的每單位產(chǎn)品征收產(chǎn)品稅1單位，新的均衡點如何?解：(1)已知P10-3Q，則MR10-6Q又知成本函數(shù) TCQ2+2Q MC(TC)2Q+2利潤極大化的條件是 MC=MR 即2Q+210-6Q 得Q1 把Q1代入P10-3Q中得：P10-317 利潤TR-TCPQ-(Q2+20)71-（12+21）4 (2)政府采取限價措施使壟斷者達到完全競爭行業(yè)所能達到的產(chǎn)量水平。完全競爭條件下利潤極大化的條件是PMC即10-3Q20+2 Q1.6 把Q1.6代入P10-3Q中得：P10-31.65.2。此時的利潤TR-TCPQ-(Q2 +2Q)5.21.6-1.62+21.6）-2.56 說明在政府限價時，廠商虧損了。 (3)如果政府征收的固定調節(jié)稅恰好是把該廠商的超額利潤都拿走，則政府對該廠商征收的固定調節(jié)稅就是4單位，征稅后產(chǎn)量、價格都沒有變，壟斷廠商的超額利潤為零。 (4)如果政府對壟斷廠商的每單位產(chǎn)品征收1單位的產(chǎn)品稅，這種單位產(chǎn)品稅是隨著產(chǎn)量變化而變化的一項可變成本，它會導致壟斷廠商的AC曲線和MC曲線向上移動，使原有的均衡位置發(fā)生變化。由于增加單位產(chǎn)品稅如同增加MC，故征稅后均衡條件為：MC+1MR 即(2Q+2)+110-60 Q7/80.875 把Q古代入P10-328中得：P=7.375 征收單位產(chǎn)品稅后的利潤TR-TCPQ-(Q2+2Q) 7.3750.875-(0.8752+20.875)3.9375 征收單位產(chǎn)品稅之前，壟斷廠商的均衡產(chǎn)量為1單位，制定的價格為7單位，利潤為4單位。征收單位產(chǎn)品稅后，均衡點位置發(fā)生了變化。壟斷廠商新的均衡產(chǎn)量為0.875單位，制定價格為 7.375單位，利潤為3.9375單位。 22.假定對勞動的市場需求曲線為DL-10W+150，勞動的供給曲線為SL20W，其中SL、DL分別為勞動市場供給，需求的人數(shù)，W為每日工資。問： (a)在這一市場中，勞動與工資的均衡水平為多少? (b)假如政府希望把均衡工資提高到6元/日，其方法是將錢直接補貼給企業(yè)，然后由企業(yè)給工人提高工資。為使職工平均工資由原來工資提高到6元/日，政府需補貼給企業(yè)多少?新的就業(yè)水平是多少?企業(yè)付給職工的總補貼將是多少? (c)假如政府不直接補貼給企業(yè)，而是宣布法定最低工資為6元/日，則在這個工資水平下將需求多少勞動?失業(yè)人數(shù)是多少? 解：據(jù)題設，DL-10W+150，SL20W (a)均衡時有DLSL，-10W+15020W，得W150/305 (元)，QLDLSL205100(人) (b)如圖99所示，當均衡工資提高到W6時，QLSL620120，新的就業(yè)水平即為120人。 設政府給企業(yè)的單位勞動補貼為S元，則補貼后的勞動需求曲線為 DL-10(W-s)+150 將W6，QL120代入，得 S=W+DL/10-15=6+120/10-15=3 于是政府付給企業(yè)的補貼額為sQL3120360元，企業(yè)付給職工的補貼額為(W-W)QL(6-5)120120元 (c)若政府宣布法定最低工資為6元/日，則此時勞動需求 DL-10 6+15090人，而勞動供給SL=206120人，故失業(yè)人數(shù)為SL-DL120-9030人 23.假設某國的總生產(chǎn)函數(shù)為Q=ALrsK1-rs。其中：Q為實際國民生產(chǎn)總值，L為勞動，K為實物資本，r為常數(shù)，s為勞動力平均受教育年限。 (a)試導出勞動所得在國民收入中所占份額的表達式(即總產(chǎn)出中付給勞動工資的份額比重)；(假定勞動市場為完全競爭市場) (b)顯示勞動力平均受教育年限的增加對勞動所得份額的影響； (c)說明實物資本的積累對勞動所得份額的影響。 解：(a)設P為一般物價水平，因勞動市場為完全競爭市場，故 wVMPLPMPPLPP，rsA 于是勞動所得份額為 (b) ，即勞動力平均受教育年限增加1，勞動所得份額將增加r。 (c) ，即實物資本的積累對勞動所得份額沒有影響。24.假設一廠商在完全競爭的產(chǎn)品和要素市場上從事生產(chǎn)經(jīng)營。其生產(chǎn)函數(shù)為Q=48L0.5K0.5，其中Q為產(chǎn)品的年產(chǎn)出噸數(shù)，L為雇傭的工人人數(shù)，K為使用的資本單位數(shù)。產(chǎn)品的售價為每噸 50元，工人的年工資為14 400元，單位資本的價格為80元。在短期，資本為固定要素，該廠商共擁有3 600單位的資本。 (a)在短期，試計算： (i)該廠商勞動需求曲線的表達式； (ii)工人的均衡雇傭量； (iii)短期均衡時該廠商對勞動的點需求彈性； (iV)該廠商的年純利潤。 (b)在長期，設產(chǎn)品價格和勞動的工資率仍保持不變，該廠商所在行業(yè)具有成本遞增性質，因為該行業(yè)擴張時資本價格會隨之上漲。試計算： (i)資本的長期均衡價格； (ii)在長期該廠商雇傭的均衡工人數(shù)量。 解；(a)由生產(chǎn)函數(shù)及給定K3 600，得 因產(chǎn)品和要素市場均為完全競爭，故均衡時有W=VMPL PMPPL，又由題設