2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（北京卷含答案）(1)

2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（北京卷，含答案）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知集合，若，則a的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】C2.復(fù)數(shù)A. B. C. D. 【答案】A3.在極坐標(biāo)系中，圓的圓心的極坐標(biāo)是A. B. C. D. 【答案】B4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s的值為A. B. C. D. 【答案】D5.如圖，AD、AE、BC分別與圓O切于點(diǎn)D、E、F，延長(zhǎng)AF與圓O交于另一點(diǎn)G，給出下列三個(gè)結(jié)論：； .其中正確的結(jié)論的序號(hào)是( )A B C D【答案】A.CBGAODEF 6.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：分鐘）為（A，c為常數(shù)）。已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品時(shí)用時(shí)15分鐘，那么c和A的值分別是A. 75，25B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16【答案】D7.某四面體三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是A. B. C. D. 【答案】C8. 設(shè)A（0，0），B（4，0），C（，4），D（t，4）（），記N（t）為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整數(shù)點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)N（t）的值域?yàn)锳 9，10，11 B 9，10，12 C 9，11，12 D 10，11，12 【答案】CD(t+4,4)C(t,4)B(4,0)A(0,0)圖2 t=2時(shí)情況點(diǎn)分布（11點(diǎn)）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.在中，若，則_，_.【答案】 10.已知向量，若與共線，則_.【答案】11.在等比數(shù)列中，若，則公比_；_.【答案】 12.用數(shù)字2，3組成四位數(shù)，且數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(gè)(用數(shù)字作答)【答案】13.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.【答案】（0,1）14.曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，給出下列三個(gè)結(jié)論：曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)；曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；若點(diǎn)P在曲線C上，則的面積不大于.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是_.【答案】三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值。16. （共14分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，.（1）求證：平面PAC；（2）若，求PB與AC所成角的余弦值；（3）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng).17.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)。乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示。（1）如果，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）如果，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。（注：方差，其中為，的平均數(shù)）18.已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)，都有，求的取值范圍?！窘馕觥浚海ǎ?，令，當(dāng)時(shí)，的情況如下：+00+0所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，與的情況如下：0+00所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間是。（）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋圆粫?huì)有當(dāng)時(shí)，由（）知在上的最大值是所以等價(jià)于， 解得故當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，0。19.已知橢圓G：，過點(diǎn)（m，0）作圓的切線l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)。（1）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（2）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值?！窘馕觥浚海ǎ┯梢阎?所以所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，離心率為 （）（）由題意知，.當(dāng)時(shí)，切線l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí)當(dāng)m=1時(shí)，同理可得當(dāng)時(shí)，設(shè)切線l的方程為由設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則又由l與圓所以由于當(dāng)時(shí)，所以.因?yàn)榍耶?dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為220.若數(shù)列：，滿足（，2，），則稱為E數(shù)列。記.（1）寫出一個(gè)滿足，且的E數(shù)列；（2）若，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是；（3）對(duì)任意給定的整數(shù)，是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。【解析】：（）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5）（）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列，所以.所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以a2000=12+（20001）1=2020.充分性，由于a2000a1000