河北省衡水市武邑中學(xué)2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）

河北武邑中學(xué)2020學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一.選擇題，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求，將正確答案填涂在答題卡上.1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用分式不等式的解法化簡集合，再由補(bǔ)集的定義可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分式不等式的解法以及集合補(bǔ)集的定義，屬于基礎(chǔ)題.2.已知向量，若，則的值為（ ）A. 3B. C. D. -3【答案】A【解析】【分析】先求，再根據(jù)向量數(shù)量積得方程，解得的值.【詳解】因?yàn)?，所以由得，選A.【點(diǎn)睛】求平面向量數(shù)量積有三種方法：一是夾角公式；二是坐標(biāo)公式；三是利用數(shù)量積的幾何意義.3.要得到函數(shù)圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（ ）A. 伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度B. 伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度4C. 縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移個單位長度D. 縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度【答案】A【解析】分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可詳解：將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到 再將得到的圖象向左平移個單位長度得到 故選A點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合和的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵4.若函數(shù).則函數(shù)的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分別求出與時函數(shù)值的取值范圍，再求并集即可.【詳解】因?yàn)闀r，；時，所以函數(shù)值域是，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的值域以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.5.已知向量，滿足，且，則在方向上的投影為（ ）A. -1B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)得到，可得,再根據(jù)向量投影的定義即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄渴欠橇阆蛄?即,因?yàn)椋?所以，向量在向量方向上的投影為，故選A.【點(diǎn)睛】平面向量數(shù)量積公式主要應(yīng)用以下幾個方面:(1)求向量的夾角， （此時往往用坐標(biāo)形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量 的模（平方后需求）.6.已知，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得的值，然后利用，展開后計(jì)算得出正確選項(xiàng).【詳解】由于， 所以.故 ，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.7.已知、是銳角的三個內(nèi)角，向量，則與的夾角是（ ）A. 直角B. 鈍角C. 銳角D. 不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)可知，可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭卿J角的三個內(nèi)角，所以，即，所以，又因?yàn)橄蛄浚?故的夾角為銳角.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及銳角三角形的性質(zhì)、誘導(dǎo)公式以及正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題. 平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是.8.如圖圖為中國古代劉徽的九章算術(shù)注中研究“勾股容方”問題的圖形，圖中為直角三角形，四邊形為它的內(nèi)接正方形，已知，在上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正方形的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，由可得，解得，利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，即，解得，設(shè)在任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正方形的事件為，由幾何概型概率公式可得，.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題. 解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積.9.如圖是函數(shù)（）的部分圖象，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由,求得，從而求出函數(shù)的解析式，再由求得，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)圖象得,所以，所以，又因?yàn)?，所以或，又因?yàn)楹瘮?shù)周期為，故，解得，則.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角函數(shù)的圖象與解析式，同時考查了正弦函數(shù)的周期公式，意在考查對基礎(chǔ)知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.10.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得而且，利用零點(diǎn)存在定理可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增且連續(xù)，而，即，所以，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于中檔題.應(yīng)用零點(diǎn)存在定理解題時，要注意兩點(diǎn)：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).11.已知中，于，則（ ）A. 6B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】求得結(jié)合，利用，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡即可得結(jié)果.【詳解】因，所以，因?yàn)?，且,所以，可得，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題. 向量數(shù)量積的運(yùn)算主要掌握兩點(diǎn)：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.12.若是方程的解，是方程的解，則等于（ ）A. B. 1C. D. -1【答案】B【解析】【分析】方程的根就是對應(yīng)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用函數(shù)與互為反函數(shù)，推出函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，即可求解本題【詳解】因?yàn)槭欠匠痰慕猓欠匠痰慕?；所以是方程的解，是方程的解，是圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；是圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以與的圖象關(guān)于對稱，又因?yàn)榈膱D象也關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，可得，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查反函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于難題轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本解法將方程的根的問題轉(zhuǎn)化成曲線交點(diǎn)問題是解題的關(guān)鍵.二.填空題：將答案填在答題卡上相應(yīng)位置.13.不共線向量，滿足，且，則與的夾角為_.【答案】【解析】由垂直可知=0,即,又因?yàn)?,所以.填（或）.14.定義在上的函數(shù)滿足，若，且，則_.【答案】4【解析】【分析】先化簡的表達(dá)式，然后計(jì)算的表達(dá)式，結(jié)合的奇偶性可求得的值.【詳解】依題意，故為奇函數(shù).故，所以 .【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.15.若圓與圓相切，則的值為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩圓相切得圓心之間距離等于半徑之和或之差的絕對值，解得的值.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)閮蓤A相切，所以或，解得或.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓位置關(guān)系，考查基本分析求解能力.屬基本題.16.在平面內(nèi)，點(diǎn)是定點(diǎn)，動點(diǎn)，滿足，則集合所表示的區(qū)域的面積是_.【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量運(yùn)算求得點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡后可求得點(diǎn)的軌跡也即表示的區(qū)域，由此計(jì)算出區(qū)域的面積.【詳解】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由于，即,故設(shè)，即，設(shè)，由得，即，則，故表示的是原點(diǎn)在圓心，半徑為的圓，由于，故點(diǎn)所表示的區(qū)域是圓心在原點(diǎn)，半徑為的兩個圓之間的扇環(huán)，故面積為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析求解能力，屬于中檔題.三.解答題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知定義在上的函數(shù)是增函數(shù).（1）若，求的取值范圍；（2）若函數(shù)是奇函數(shù)，且，解不等式.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1)結(jié)合函數(shù)的定義域，利用單調(diào)性,原不等式轉(zhuǎn)化為,由此解不等式組可求得的范圍；(2)利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、結(jié)合，將原不等式轉(zhuǎn)化為,解不等式即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可得，求得，即的范圍是.（2）函數(shù)是奇函數(shù)，且，.不等式的解集為.【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用，以及抽象函數(shù)解不等式，屬于中檔題.根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式應(yīng)注意以下三點(diǎn)：（1）一定注意抽象函數(shù)的定義域（這一點(diǎn)是同學(xué)們?nèi)菀资韬龅牡胤?，不能掉以輕心）；（2）注意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性（往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù)）；（3）化成 后再利用單調(diào)性和定義域列不等式組.18.設(shè)向量，為銳角.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，求出的值，進(jìn)而可得結(jié)果；(2) 由,利用向量共線的充要條件可得，再利用兩角差的正切公式可得結(jié)果.【詳解】（1），.又為銳角，.(2) ,. ，.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量共線的充要條件，考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于中檔題.向量的位置關(guān)系問題是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.19.如圖所示，平面上，點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上且 .（1）若點(diǎn)，求的值：（2）若，四邊形的面積用表示，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求得tan，進(jìn)而得到tan2，最后求出（2）由條件求出，于是得到+=sin+cos+1=sin（+）+1（0），然后再根據(jù)三角函數(shù)的相關(guān)知識求解【詳解】（1）由條件得B（，），AOB=， tan=， tan2 = = = ，tan（2+）= = =（2）由題意得=|sin（）=sin=（1，0），=（cos，sin）， =+=（1+cos，sin）， =1+cos， +=sin+cos+1=sin（+）+1（0）， ，sin（）1， +的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題將三角函數(shù)的知識與向量結(jié)合在一起考查，體現(xiàn)了向量的工具性，解題時可根據(jù)所給的條件及要求逐步將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最后化為三角函數(shù)的問題求解20.一半徑為的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面；已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每轉(zhuǎn)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時（圖中點(diǎn)）開始計(jì)算時間.（1）以水輪所在平面與水面的交線為軸，以過點(diǎn)且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)距離水面的高度表示為時間的函數(shù)；（2）點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長時間？【答案】(1) (2) 【解析】【分析】(1) 設(shè)，先根據(jù)的最大和最小值求得和的值,利用周期公式求得,根據(jù)當(dāng)時,可求得的值,從而可得結(jié)果；(2)由最大值為3,可得三角函數(shù)方程,進(jìn)而可求點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)的時間;【詳解】（1）設(shè)，則，.，（2）令，得，點(diǎn)第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要的時間.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解析式，以及三角函數(shù)性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題. 與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.21.如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，.（1）求證：；（2）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面；（3）求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得平面，由線面垂直的定義即可證得（2）延長交于點(diǎn)，由題意可證得四邊形為平行四邊形，據(jù)此結(jié)合線面平行的判定定理證明題中的結(jié)論即可；（3）設(shè)為中點(diǎn)，連接，將多面體分割為兩部分，分別求解對應(yīng)的體積，然后相加即可確定多面體的體積.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以又因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫?平面，所以平面又平面，所以（2）延長交于點(diǎn)，因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，所以因?yàn)?，所以由已知，?又因?yàn)椋?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面?）設(shè)為中點(diǎn)，連接，由已知，所以平面又因?yàn)?，所以平面，所以平面平面因?yàn)?，所以平面，所以多面體為直三棱柱因?yàn)?，且，所以由已知，且，所以，且又因?yàn)椋矫?，所以平面因?yàn)椋?，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直證明線線垂直的方法，線面平行的判定定理，組合體體積的求解方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.22.已知函數(shù)（1）設(shè)，比較：與的大小關(guān)系；（2）當(dāng)時，函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（