數(shù)學模型(第四版)課后詳細答案

數(shù)學模型作業(yè)六道題作業(yè)一1.P56.8一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給予獎勵，俱樂部只準備了一把軟尺用于測量，請你設(shè)計按照測量的長度估計魚的重量的方法。假定魚池中只有一種鱸魚，并且得到8條魚的如下數(shù)據(jù)（胸圍指魚身的最大周長）： 身長/cm36.831.843.836.832.145.135.932.1質(zhì)量/g76548211627374821389652454胸圍/cm24.821.327.924.821.631.822.921.6先用機理分析建立模型，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)。解：要求魚的體重，我們利用質(zhì)量計算公式：M=V。我們假定魚池中是同一種魚，于是可以近似地考慮其密度是相同的。至于魚的體積問題，由于是同一種類，可以假定這種魚在體型上是一致的。我們假設(shè)魚的體積和魚身長的立方成正比。即：V=k1L3，因此，模型為：模型一利用Eviews軟件，用最小二乘法估計模型中的參數(shù)K1，如下圖1所示：圖1從圖1結(jié)果可以得到參數(shù)K1=0.，所以模型為：上述模型存在缺陷，因為它把肥魚和瘦魚同等看待。因此，有必要改進模型。如果只假定魚的橫截面是相似的，假設(shè)橫截面積與魚身最大周長的平方成正比，即：V=k2d2L，因此，模型為：模型二利用Eviews軟件，用最小二乘法估計模型中的參數(shù)K2，如下圖2所示：圖2從圖2可以得到參數(shù)K2=0. ，所以模型為：將實際數(shù)據(jù)與模型結(jié)果比較如表1所示：表1實際數(shù)據(jù)M76548211627374821389652454模型一M1727.165469.2141226.061727.165482.6291338.502675.108482.619模型二M2729.877465.2481099.465729.877482.9601470.719607.106483.9602.P131.2 一家出版社準備在某市建立兩個銷售代理點，向7個區(qū)的大學生售書，每個區(qū)的大學生數(shù)量（單位：千人）已經(jīng)表示在圖上。每個銷售代理點只能向本區(qū)和一個相鄰區(qū)的大學生售書，這兩個代理點應該建在何處，才能使所能供應的大學生的數(shù)量最大？建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型并求解。 解：1253476將大學生數(shù)量為34、29、42、21、56、18、71的區(qū)分別標號為1、2、3、4、5、6、7區(qū)，畫出如下區(qū)域區(qū)之間的相鄰關(guān)系： 記r 為第i區(qū)的大學生人數(shù)，用0-1變量xij=1表示（i，j）區(qū)的大學生由一個代售點供應圖書（ij，且i，j相鄰），否則xij=0，建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型。即：將上述建立的模型輸入LINGO，如下： modle: max=63*x12+76*x13+71*x23+85*x25+63*x34+77*x45+39x*x46+74*x56+89*x67+92*x47 s.t. x12+x13+x23+x24+x25+x34+x45+x46+x47+x56+x67=2; x12+x13=1; x12+x23+x24+x25=1; x13+x23+x34=1; x24+x45+x56=1; x46+x56+x67=1 gin(x12); gin(x13); gin(x23); gin(x25); gin(x34); gin(x45); gin(x46);gin(x47); gin(x67); End運行，得到的輸出如下： Local optirnal solution found at iteration Objective value: Vauable Value Reduced Cost x12 0. x13 0. x23 0. x24 0. x25 1. x34 0. x45 0. x46 0. x47 1. x56 0. 0. x67 0. 從上述結(jié)果可以得到：最優(yōu)解 (其他的均為0)，最優(yōu)值為177人. 即：第2、5區(qū)的大學生由一個銷售代理點供應圖書，代理點在2區(qū)或者5區(qū)，第4、7區(qū)區(qū)的大學生由另一個銷售代理點供應圖書，代理點在4區(qū)或者7區(qū)。作業(yè)二3.P181.14 在魚塘中投放n0尾魚苗，隨著時間的增長，尾數(shù)將減少而每尾的重量將增加。(1) 設(shè)尾數(shù)n(t) 的(相對)減少率為常數(shù);由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本身成正比。分別建立尾數(shù)和每尾魚重的微分方程，并求解。(2) 用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，到時刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數(shù)的相對減少量|/n| 表示，記作E，即單位時間捕獲量是En(t)。問如何選擇T和E，使從T開始的捕獲量最大。解：（1）魚塘的初始魚苗為n0尾，且隨著時間的增長，尾數(shù)將減少。設(shè)尾數(shù)n(t) 的(相對)減少率為為k1，因此由題意建立微分方程為：求解得： 在魚塘里，由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚表面積成正比，即：在魚塘里，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本身成正比，即：所以每尾魚重量的凈增長率r(t)為：因此，建立微分方程為：因為該微分方程涉及多個變量間的數(shù)量關(guān)系，所以我們暫時無法求解該微分方程。但是要想解決此微分方程還需要更多的信息，例如，每尾魚表面積與其重量間的關(guān)系，一旦此關(guān)系確定，便可輕松解出每尾魚的質(zhì)量隨時間的變化，即m(t)。（2）用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，假設(shè)t=T時開始捕撈，且單位時間的捕撈率為E，依題意建立微分方程：因此得:所以單位時間的捕撈魚的尾數(shù)為En(t)，因此從T時刻開始的總捕撈量為：問題就轉(zhuǎn)化為求E和的值，使得y最大，由于條件不足導致m(t)求解不出，因此無法求出y的具體解釋式。4.P213.2 雨滴的速度v與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度g有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在空氣中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度v的表達式。解：雨滴速度問題中涉及的物理量：雨滴的速度，空氣密度，粘滯系數(shù),重力加速度，長度。要尋找的關(guān)系是：更一般的將各個物理量之間的關(guān)系寫作：這里沒有因變量與自變量之分，進而設(shè)：其量綱表達式為：其中L，M，T是基本量綱。因此量綱表達式可以寫成:根據(jù)量綱原則可寫成：量綱矩陣為：解得方程的基本解為：將（2）代入（1）可得兩個相互獨立的無量綱量為了得到形如的關(guān)系，取，其中是某個函數(shù)，所以（2）式為：于是：作業(yè)三5.P248.13 一個島嶼上棲居著食肉爬行動物和哺乳動物，又長著茂盛的植物。爬行動物以哺乳動物為食物，哺乳動物又依賴植物生存。在適當假設(shè)下建立三者關(guān)系的模型，求其平衡點。解：、分別表示植物、哺乳動物、食肉爬行動物在時刻的數(shù)量。假設(shè)不考慮植物、哺乳動物和食肉爬行動物對自身的阻滯增長作用。 設(shè)為植物的固有增長率，而哺乳動物的存在使植物的增長率減少，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是建立植物數(shù)量的模型：比例系數(shù)反映了哺乳動物消耗植物的能力。哺乳動物離開植物無法生存，設(shè)其死亡率為，則哺乳動物獨自存在時有：而植物的存在可以為哺乳動物提供食物，但是食肉爬行動物的存在使哺乳動物數(shù)量減少，設(shè)減少的程度與食肉爬行動物數(shù)量成正比，于是建立哺乳動物數(shù)量模型： 其中比例系數(shù)反映了植物對哺乳動物的供養(yǎng)能力，反映了食肉爬行動物掠取哺乳動物的能力。食肉爬行動物離開動物無法生存，設(shè)其死亡率為，則食肉爬行動物獨自存在時有：而哺乳動物的存在可以為食肉爬行動物提供食物，于是(4)式右端應加上哺乳動物對食肉爬行動物的增長作用，設(shè)為，于是建立食肉爬行動物的數(shù)量模型：比例系數(shù)反映了哺乳動物對食肉爬行動物的供養(yǎng)能力。綜上所述，建立如下微分方程組模型 求得微分方程組的平衡點為其中平衡解對是沒有意義的。6.P437.9 一個服務(wù)網(wǎng)絡(luò)由k個工作站v1，v2，vk依次串接而成，當某種服務(wù)請求到達工作站vi 時， vi 能夠處理的概率為 pi ，轉(zhuǎn)往下一站vi+1處理的概率為 qi（i=1,2,. ,k-1,設(shè) qk=0），拒絕處理的概率為 ri ，滿足pi + qi + ri =1。試構(gòu)造馬氏鏈模型，確定到達 vi的請求平均經(jīng)過多少工作站才能獲得接受或拒絕處理的結(jié)果，被接受和拒絕的概率各多大。解：用隨機變量表示第站對請求服務(wù)的處理方式，表示接受請求表示拒絕請求，用表示第站接受請求的概率，表示第站拒絕請求的概率。表示第站轉(zhuǎn)移至下一站的轉(zhuǎn)移概率。分析可知，第站處理請求的概率和第站處理請求的概率以及轉(zhuǎn)移概率有關(guān)，由此可得 其中， ，由（1）可以計算出個站各自接受和拒絕服務(wù)請求的概率如下表1所示：站次概率 1234 k由獨立重復事件概率和公式可得服務(wù)請求被接受處理的概率為:服務(wù)請求被拒絕處理的概率為將服務(wù)請求到達工作站記做狀態(tài)，設(shè)表示請求被拒絕，表示請求被接受，于是轉(zhuǎn)移概率矩陣為:轉(zhuǎn)移矩陣的狀態(tài)稱為吸收狀態(tài)，如果馬氏鏈中至少含有一個吸收狀態(tài)，并且從每一個非吸收狀態(tài)出發(fā)，能以正的概率經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移到達某一個吸收狀態(tài)，那么這個馬氏鏈稱為吸收鏈。吸收鏈可以寫成簡單的標準形式，若有個吸收