階微分方程PPT課件

.,1,知識(shí)回顧,幾個(gè)一階微分方程的解法,1、可分離變量方程：,解法：,分離變量法,2、齊次微分方程：,解法：,.,2,知識(shí)回顧,幾個(gè)一階微分方程的解法,3、一階線性微分方程：,解法：,公式法,常數(shù)變易法,.,3,第五節(jié)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu),二階線性微分方程的一般形式：,其中P(x),Q(x),f(x)為連續(xù)函數(shù),f(x)稱為自由項(xiàng).,稱為二階齊次線性方程.,稱為二階非齊次線性方程.,.,4,(1),1、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),證明,定理1(解的疊加原理),設(shè)是方程(1)的兩個(gè)解,則,由條件是方程(1)的解,則有,的線性組合(是任意常數(shù))也,是方程(1)的解.,.,5,1、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),問題：,是方程(1)的通解嗎？,不一定,例如：,通過觀察可知,都是方程,的解.,是該方程的通解.,不是通解.,發(fā)現(xiàn)：,定理1(解的疊加原理),設(shè)是方程(1)的兩個(gè)解,則,的線性組合(是任意常數(shù))也,是方程(1)的解.,.,6,定理2(通解定理),(1),1、二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),設(shè)是方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)解,則(是任意常數(shù))是方程(1),的通解.,定義,.,7,2、二階非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu),(2),定理3（非齊次方程通解定理）,那么方程(2)的通解為,證,設(shè)是方程(2)的特解,由條件，,從而，,.,8,定理4(非齊次線性方程的疊加原理),和,的特解,的一個(gè)特解。,證略,.,9,第六節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程,其中p,q是常數(shù).,1、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法,問題歸結(jié)為求方程(1)的兩個(gè)線性無關(guān)的特解.,方程特點(diǎn)：,之間僅相差一個(gè)常數(shù).,.,10,1、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法,(2),代數(shù)方程(2)稱為微分方程(1)的特征方程,它的根稱,為特征根.,方程特點(diǎn)：,之間僅相差一個(gè)常數(shù).,.,11,(2),情形1,則特征方程(2)有兩個(gè)相異的實(shí)根,故它們線性無關(guān),因此(1)的通解為,.,12,情形2,則特征方程(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根,于是(1)的通解為,代入方程(1),得,故有,.,13,由歐拉公式知，,情形3,則特征方程(2)有一對共軛復(fù)根,仍然是(1)的解,所以方程(1)的通解為,由疊加原理,.,14,小結(jié),特征根的情況,通解的表達(dá)式,相異實(shí)根,相等實(shí)根,復(fù)根,.,15,解,特征方程為,故通解為,例1,特征根為,故所求特解為,.,16,例2,例3,例4,.,17,解,特征方程為,故所求通解為,例2,例3,解,特征方程為,解得,故所求通解為,特征根為,.,18,解,特征方程為,故通解為,例4,特征根為,.,19,訓(xùn)練：求下列微分方程的通解,解,解,方程通解為,特征方程,特征根,解,通解為,.,20,對應(yīng)齊次方程,(1),問題歸結(jié)為求方程(3)的一個(gè)特解.,只討論f(x)的一種類型，,用待定系數(shù)法求解.,2、二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法,(3),.,21,則,.,22,情形1,若不是特征根,即,情形2,若是特征方程的單根,即,.,23,情形3,若是特征方程的重根,即,.,24,綜上討論,設(shè)特解為,其中,.,25,25,作業(yè)：,.,26,知識(shí)回顧,1、二階常系數(shù)齊次線性方程：,解法：,特征方程法,.,27,知識(shí)回顧,2、二階常系數(shù)非齊次線性方程：,通解：,.,28,例5,寫出下列非齊次方程的特解形式,解,特征方程為,特征根為,不是特征根，,所求特解形式為,（為待求系數(shù)）,（二次多項(xiàng)式），,.,29,例5,寫出下列非齊次方程的特解形式,解,特征方程為,特征根為,是單根，,所求特解形式為,（a為待求系數(shù)）,.,30,例5,寫出下列非齊次方程的特解形式,解,特征方程為,特征根為,是重根，,所求特解形式為,（為待求系數(shù)）.,.,31,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,代入方程得,原方程通解為,例6,化簡整理得,所以特解為,.,32,解,對應(yīng)齊次方程通解,特征方程,特征根,例7,代入原方程,得,.,33,解,對應(yīng)齊次方