廣西壯族自治區(qū)桂平市第五中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期聯(lián)考試題 文（PDF）

【 屆高三數(shù)學(xué)（ 文） 試題第 頁(yè)（ 共 頁(yè)） 】 數(shù)學(xué)（ 文） （ ） （ 試卷總分 分 考試時(shí)間 分鐘） 題號(hào)第卷第卷總分合分人復(fù)分人 得分 第卷（ 選擇題 共 分） 得分評(píng)卷人 一、 選擇題： 本大題共 小題， 每小題 分， 共 分 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合 題目要求的 已知復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)為 ， 且（ ） （ 為虛數(shù)單位） ， 則 （ ） 槡槡 已知集合 槡 ， ， 則 （ ） ， ， ， ， ， 已知 （ ） ， ， ， （ （ ） ） ， ， ， 則 ， ， 的大小關(guān)系是（ ） 把能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差的正整數(shù)稱為“ 幸運(yùn)數(shù)” ， 則在 這 個(gè)數(shù)中， 能稱為“ 幸運(yùn)數(shù)” 的個(gè)數(shù)是（ ） 函數(shù) （ ） （ ） 的部分圖象可以為（ ） ? ? ? ? ? ? ? ? 某市為慶祝建國(guó) 周年， 營(yíng)造一個(gè)安全的交通出行環(huán)境， 方便市 民出行， 對(duì)全市兩千多輛出租車的行駛年限進(jìn)行了調(diào)查， 現(xiàn)從中隨 ? ? ? ? ? ?運(yùn)行年限 頻率 組距 機(jī)抽出 輛出租車， 已知抽到 的出租車的行駛年限都在（ ， 年之間， 根據(jù)調(diào)查結(jié)果， 得到出租 車行駛年限情況的殘缺頻率分布 直方圖， 如圖所示， 利用這個(gè)殘缺 的頻率分布直方圖估計(jì)出租車行 駛年限的中位數(shù)大約是（ ） 的值為（ ） 槡 槡 槡 已知單位向量 ， ， 且 （ ， ） ， 若 ， ， 則下列式子一定成立的是（ ） 如圖所示的程序框圖， 輸入 ， 若輸出的值為 ， 則判斷框內(nèi) 應(yīng)填入的條件為（ ） 開(kāi)始 輸入? ? ? 結(jié)束 輸出? 否 是 已知橢圓 ： （ ） 的左右焦點(diǎn)分別為 ， ， 為橢圓上一點(diǎn)， 且 ， 若坐標(biāo)原點(diǎn) 到直線 距 離是 槡 ， 且橢圓的焦距為 槡 ， 則 （ ） 在 中， 內(nèi)角 ， ， 的對(duì)邊分別為 ， ， ， 已知 ， （ ） ， 則 （ ） 已知雙曲線 （ ， ） 的漸近線與圓 在 第一象限的交點(diǎn)為 ， ， 分別是雙曲線的左， 右焦點(diǎn)， 若 ， 則雙曲線的離心率 （ 槡 ） 的值為（ ） 槡 或槡 槡 題號(hào) 答案 第卷（ 非選擇題 共 分） 本卷包括必考題和選考題兩部分， 第 題為必考題， 每個(gè) 試題考生都必須作答， 第 題為選考題， 考生根據(jù)要求作答 得分評(píng)卷人二、 填空題： 本大題共 小題， 每小題 分， 共 分 把答案填在題中橫線上 曲線 （ ） 在點(diǎn)（ ， （ ） ） 處的切線與拋物線 相切， 則 已知 是數(shù)列 的前 項(xiàng)和， ， 數(shù)列 是公差為 的等差數(shù)列， 則 函數(shù) （ ） 的最小正周期為 在三棱錐 中， 底面 是以 為斜邊的等腰直角三角 形， ， 當(dāng)其外接球的表面積為 ， 且 點(diǎn)到底面 的距離為 時(shí)， 則側(cè)面 的面積為 【 屆高三數(shù)學(xué)（ 文） 試題第 頁(yè)（ 共 頁(yè)） 】 得分評(píng)卷人三、 解答題： 解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明， 證明過(guò)程或演 算步驟 （ 分） 某市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教研組， 在高三理科一班進(jìn)行了一次 “ 采用兩種不同方式進(jìn)行答卷” 的考試實(shí)驗(yàn)， 第一種做卷方式： 按 從前往后的順序依次做； 第二種做卷方式： 先做簡(jiǎn)單題， 再做難 題 為了比較這兩種做卷方式的效率， 選取了 名學(xué)生， 將他們 隨機(jī)分成兩組， 每組 人 第一組學(xué)生用第一種方式， 第二組學(xué) 生用第二種方式， 根據(jù)學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)（ 單位： 分） 繪制了莖葉圖 如圖所示 （ ） 若 分（ 含 分） 以上為優(yōu)秀， 根據(jù)莖葉圖估計(jì)兩種做卷 方式的優(yōu)秀率； （ ） 設(shè) 名學(xué)生考試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為 ， 根據(jù)莖葉圖填寫下面的 列聯(lián)表： 超過(guò) 中 位 數(shù) 的人數(shù) 不超 過(guò) 中 位 數(shù) 的人數(shù) 合計(jì) 第一種做卷方式 第二種做卷方式 合計(jì) 根據(jù)列聯(lián)表， 能否有 的把握認(rèn)為兩種做卷方式的效率有差 異？ 附： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， （ ） 第一種答題方式第二種答題方式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 分 ） 正項(xiàng)數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， 且 （ ） （ ） 證明： 數(shù)列 為等差數(shù)列； （ ） 求使 槡 成立的 的最小值 【 屆高三數(shù)學(xué)（ 文） 試題第 頁(yè)（ 共 頁(yè)） 】 （ 分） 如圖， 在直三棱柱 中， ， 槡 ， ， ， 分別為 ， 的中點(diǎn) （ ） 求證： 平面 ； （ ） 設(shè) 為 上一點(diǎn)， 且 ， 求點(diǎn) 到平面 的距離 ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 分 ） 已知函數(shù) （ ） ， （ ） （ ） ， （ ） 為 （ ） 的導(dǎo)數(shù) （ ） 求證： （ ） 在區(qū)間 ， 上存在唯一零點(diǎn)； （ 其中， （ ） 為 （ ） 的導(dǎo)數(shù)） （ ） 若不等式 （ ） （ ） 在 ，） 上恒成立， 求 實(shí)數(shù) 的取值范圍 【 屆高三數(shù)學(xué)（ 文） 試題第 頁(yè)（ 共 頁(yè)） 】 （ 分） 已知拋物線 ： （ ） 的焦點(diǎn)為 ， 準(zhǔn)線 與 軸交 于點(diǎn) ， 過(guò)點(diǎn) 的直線交拋物線于 ， 兩點(diǎn)， 點(diǎn) 在第一象限 （ ） 若 ， 槡 ， 求直線 的方程； （ ） 若 ， 點(diǎn) 為準(zhǔn)線 上任意一點(diǎn)， 求證： 直線 ， ， 的 斜率成等差數(shù)列 請(qǐng)考生在第 、 題中任選一題作答， 如果多做， 則按所做的第 一題計(jì)分 （ 分） 【 選修 坐標(biāo)系與參數(shù)方程】 在直角坐標(biāo)系 中， 曲線 的參數(shù)方程為 （ 為 參數(shù)） ， 以坐標(biāo)原點(diǎn) 為極點(diǎn)， 以 軸的正半軸為極軸建立極坐 標(biāo)系， 直線 的極坐標(biāo)方程為 槡 （ ） 求曲線 的普通方程和直線 的直角坐標(biāo)方程； （ ） 已知點(diǎn) 是曲線 上的任意一點(diǎn)， 求點(diǎn) 到直線 的距離的 最小值 （ 分） 【 選修 不等式選講】 已知 ， ， （ ） 若 ， 求證： ； （ ） 若 ， 求證： 你選做的題目是 題（ 填 、 ） 答案： 數(shù)學(xué)（ 文） 數(shù)學(xué)（ 文） 參考答案 （ 解析： （ ） ， ， 則 槡 槡 槡 ， 故選 ） （ 解析： 槡 （， ， ， ， ， ， 故選 ） （ 解析： 由題設(shè)知， （ （ ） ） （ ） ， ， ， 又 ， ， 則 ， 故選 ） （ 解析： 設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為 ， （ ） ， 則它們的平方差為（ ）（ ） （ ）， 故“ 幸運(yùn)數(shù)” 即為能被 整除的正整 數(shù)， 在 這 個(gè)數(shù)中， 幸運(yùn)數(shù)組成一個(gè)首 項(xiàng)為 ， 公差為 的等差數(shù)列， 末項(xiàng)為 ， 設(shè)共有 個(gè)幸運(yùn)數(shù)， 則 （ ） ， 解得， ， 故選 ） （ 解析： （ ） ， 函數(shù) （ ） 是奇函 數(shù)， 則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 則排除 、 ， 又 （ ） ， （ ） ， 則排除 ， 故選 ） （ 解析： 由頻率分布直方圖知， 數(shù)據(jù)位于 ， ） 的頻率為 （ ） ， 前三個(gè)矩形的面積之和為 ， 則中位數(shù)位于區(qū)間 ， ） ， 設(shè)中位數(shù) ， 則 （ ） ， 解得， ， 故 選 ） （ 解析： （ ） （ ） 槡 槡 ， 故選 ） （ 解析： ， ， ， 是單位向量且 ， ， ， 故選 ） （ 解析： 由程序框圖知， ， ， ， ， 否 ， ， ， 否 ， ， ， 否 ， ， ， 否 ， ， ， 是， 輸出結(jié)果 ， 結(jié)束程序， 故選 ） （ 解析： 過(guò) ， 作直線 的垂線， 垂足為 ， ， 則 ， 由題設(shè)知， 槡 ， 是 的中點(diǎn)， 槡 ， 在 中， ， ， 由橢圓的定義知， ， 在 中， 由余弦定理得， （ ） （ ） （ ） ， 化簡(jiǎn)得， ， 又橢圓的焦距為 槡 ， 槡 ， 則 ， 故選 ） （ 解析： 由正弦定理及 得， ， ， ， ， 則 ， 由余弦定理得， ， 又 （ ） ， ， 即 ， ， 故選 ） （ 解 析： 由 得， （ ， ） ，又 （ ， ） ， 則 ， 化簡(jiǎn)得， ， 即 ， 解得 或 ， 槡 ， 槡 ， 故選 ） 或 （ 解析： （ ） ， （ ） ， 則曲線 （ ） 在點(diǎn)（ ， （ ） ） 處的切線的 斜率為 （ ） ， 又切點(diǎn)為（ ， ， ） ， 切線方 程為 ， 聯(lián)立 得， （ ） ， （ ） ， 解得， 或 ） （ 解析： 數(shù)列 是公差為的等差數(shù) 列， ， 即 （ ） ， 又 ， 數(shù)列 是公比為 的等比數(shù)列， 則 ， ） （ 解 析： （ ） ， ， ， 由函數(shù) （ ） 的圖象知， 周期為 ） 數(shù)學(xué)（ 文） ? ? ? ? ? （ 解析： 設(shè) 點(diǎn)在底面 上的射影為 ， ， ， 則 點(diǎn)為 的外心， 又底面 是以 為斜邊的等腰直 角三角形， 點(diǎn)為斜邊 的中點(diǎn)， 設(shè) ， 則 槡 ， 設(shè)外接球的半徑為 ， 由題設(shè)知， ， 槡 ， 設(shè)球心為 ， 則 在 上， （ ） （ ）， 即（ 槡 ） （槡 ） （ 槡 槡 ） ， 解得， ， 側(cè)面 的面積是 槡槡 ） 解： （ ） 根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知， 用第一種做卷方式答卷的分?jǐn)?shù)在 分（ 含 分） 以上的有 人， 第一種做卷方式的優(yōu)秀率為 用第二種做卷方式答卷的分?jǐn)?shù)在 分（ 含 分） 以上的有 人， 第二種做卷方式的優(yōu)秀率為 ； （ 分） ? ? （ ） 這 名學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)按從小到大的順序排 列后， 排在中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是 和 ， 則它們的 中位數(shù)為 ；（ 分）? 由此填寫列聯(lián)表如下： 超過(guò)中位 數(shù) 的人 數(shù) 不超過(guò)中 位數(shù) 的 人數(shù) 合計(jì) 第一種做卷方式 第二種做卷方式 合計(jì) （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， 故有 的把握認(rèn)為兩種做卷方式的效率有差 異（ 分）? （ ） 證明： 當(dāng) 時(shí)， ， ， （ 分）? 當(dāng) 時(shí)， 由 得， （ ） （ ） ， 化簡(jiǎn)得， ， 數(shù)列 是以 為首項(xiàng)， 以 為公差的等差數(shù) 列；（ 分）? （ ） 解： 由（ ） 知， ， （ ） ， ， 槡 ， 則 槡 槡 （ ） ， 當(dāng) 時(shí)， 上式也成立， 槡 ，（ 分）? 則不等式 槡 為 槡 槡 ， ， 故使 槡 成立的 的最 小值為 （ 分）? （ ） 證明： ， 槡 ， ， 即 ， 又 是直三棱柱， 平面 ， 則 ，（ 分）? ， 分別為 ， 的中點(diǎn)， 且 ， ， 四邊形 為正方形， 則 ， 又 ， 平面 ；（ 分）? （ ） 解： 由（ ） 知， 即 ， 又 是直三棱柱， 平面 ， ， 則點(diǎn) 到平面 的距離即為 ， ， （ 分） ? ? 由（ ） 知， ， 且 槡 ， 槡槡 ， 設(shè)點(diǎn) 到平面 的距離為 ， 則 槡 ， 槡 ， 則 槡 ， 即點(diǎn) 到平面 的距離為 槡 （ 分）? （ ） 證明： （ ） ， （ ） （ ） ， 則 （ ） ， 顯然， 函數(shù) （ ） 在區(qū)間 ， 上單調(diào)遞增， （ 分） ? ? 又 （ ） ， 數(shù)學(xué)（ 文） （ ） ， （ ） 在區(qū)間 ， 上存在唯一零點(diǎn)；（ 分）? （ ） 解： 由（ ） 知， （ ） ， 不等式 （ ） （ ） 即為 （ ） ， 即 在 ， ） 上恒成立， （ 分） ? ? 令 （ ） ， 則 （ ） （ ） （ ） ， 當(dāng) 時(shí)， ， 當(dāng) 時(shí)， （ ） （ ） （ ） （ ） ，（ 分）? 則 （ ） 在 ， ） 單調(diào)遞增， 故 （ ） （ ） ， 故 ， 實(shí)數(shù) 的取值范圍是（ ， （ 分） ? ? （ ） 解： 設(shè)點(diǎn) 在準(zhǔn)線 上的射影為 ， 由拋物 線的定義知， ， 設(shè) （ ， ） ， （ ） ， 由題設(shè)知， ， （槡 ） ， 解得， ， 則 槡 ， ， 即 ， （ 分）? 又由拋物線的定義知， ， 即 ， 聯(lián)立， 解得， 或 ， ， ， 則 ， 焦點(diǎn)為 （ ， ） ， （ ，槡 ） ， 則直線 的斜率為 槡 ， 故直線 的方程為 槡 （ ） ；（ 分）? （ ） 證明： 若 ， 則拋物線 ： ， （ ， ） ， 準(zhǔn)線 ： ， 設(shè)直線 的方程為 ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， 由 消去 得， ， 則 ， ， （ ） ， （ ） ， （ 分）? 則 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ， 又 ， ， 故直線 ， ， 的斜率成等差數(shù)列 （ 分） ? ? 解： （ ） 由 （ 為參數(shù)） 得， ， 曲線 的普通方程為