江蘇省東臺市高中數學 第三章 導數及其應用 3.1.3-3.1.4 空間向量的基本定理和坐標表示導學案（無答案）蘇教版選修1-1（通用）

3.1.3-3.1.4基本定理和坐標表示主備人： 學生姓名： 得分：1、 教學內容：空間向量（第三課時）3.1.3-3.1.4空間向量的基本定理和坐標表示2、 教學目標1.了解空間向量基本定理及其意義.2.掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.3.掌握空間向量線性運算的坐標運算三、課前預習：1空間的基底惟一嗎？2設向量a(x1，y1，z1)與向量b(x2，y2，z2)共線，若x2y2z20，則滿足的條件是什么？四、講解新課1空間向量基本定理(1)定理如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么對空間任一向量p，存在惟一的有序實數組x，y，z，使pxe1ye2ze3.(2)基底與基向量如果三個向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個向量都可由向量e1，e2，e3線性表示我們把e1，e2，e3稱為空間的一個 ，e1，e2，e3叫做 空間任何三個不共面的向量都可構成空間的一個基底(3)正交基底與單位正交基底如果空間一個基底的三個基向量是兩兩互相垂直，那么這個基底叫做正交基底，當一個正交基底的三個基向量都是 時，稱這個基底為單位正交基底，通常用i，j，k表示(4)推論設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任意一點P，都存在惟一的有序實數組(x，y，z)，使得xyz.2空間向量的坐標表示空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k分別為x，y， z軸方向上的單位向量，對于空間任一個向量a，若有axiyjzk，則有序實數組(x，y，z)叫向量a在空間直角坐標系中的坐標特別地，若A(x，y，z)，則向量的坐標為(x，y，z)3坐標運算設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3) (R)ab(a0)b1a1，b2a2，b3a3 (R).4、有關例題要點一空間向量的基底例1若a，b，c是空間的一個基底試判斷ab，bc，ca能否作為該空間的一個基底？規(guī)律方法空間向量有無數個基底判斷給出的某一向量組中的三個向量能否作為基底，關鍵是要判斷它們是否共面，如果從正面難以入手，常用反證法或是一些常見的幾何圖形幫助我們進行判斷跟蹤演練1以下四個命題中正確的是_空間的任何一個向量都可用三個給定向量表示；若a，b，c為空間的一個基底，則a，b，c全不是零向量；如果向量a，b與任何向量都不能構成空間的一個基底，則一定有a與b共線；任何三個不共線的向量都可構成空間的一個基底要點二用基底表示向量例2如圖，四棱錐POABC的底面為一矩形，PO平面OABC，設a，b，c，E，F分別是PC和PB的中點，試用a，b，c表示，.規(guī)律方法(1)空間中的任一向量均可用一組不共面的向量來表示，只要基底選定，這一向量用基底表達的形式是惟一的；(2)用基底來表示空間中的向量是向量解決數學問題的關鍵，解題時注意三角形法則或平行四邊形法則的應用跟蹤演練2如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是ABC、OBC的重心，設a，b，c.試用向量a，b，c表示向量.要點三空間向量的坐標表示例3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的三等分點且PN2NC，AM2MB，PAAB1，求的坐標規(guī)律方法建系時要充分利用圖形的線面垂直關系，選擇合適的基底，在寫向量的坐標時，考慮圖形的性質，充分利用向量的線性運算，將向量用基底表示跟蹤演練3已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點，并且PAAD1，建立適當坐標系，求的坐標要點四空間向量線性運算的坐標運算例4：已知a=(1,-3,8), b=(3,10,-4), 求a+b,a-b, 3a.跟蹤演練4：已知空間四點A(-2,3,1), B(2,-5,3), C(10,0,10)和D(8,4,9). 求證：四邊形ABCD是梯形。五、課堂練習1有以下命題：單位正交基底中的基向量模為1且互相垂直；O，A，B，C為空間四點，且向量，不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C一定共面；已知向量a，b，c是空間的一個基底，則向量ab，ab，c，也是空間的一個基底其中正確的命題序號是_2已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，若kab與2ab平行，則實數k_.3已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若，則C的坐標是_4若a，b，c是空間的一個基底，且存在實數x，y，z使得xaybzc0，則x，y，z滿足的條件是_六、課堂小結七、課后作業(yè)1在空間直角坐標系Oxyz中，下列說法正確的是_向量與點B的坐標相同； 向量與點A的坐標相同；向量與向量的坐標相同； 向量與向量的坐標相同2正方體ABCDA1B1C1D1中，點E、F分別是底面A1C1和側面CD1的中心，若0 (R)，則_.3.已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，點M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在線段MN上，且MG2GN，用基底向量，表示向量為_4已知a3，6，6， b1,3,2，若ab，則_.5與a(2，1,2)共線且滿足az18的向量z_.6若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則是ab的_