13年安徽省高考文科數學試卷及詳解

2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷文科）一選擇題：（1）設是虛數單位，若復數是純虛數，則的值為（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3（2）已知，則（）（A）（B） （C） （D）（3）如圖所示，程序據圖（算法流程圖）的輸出結果為（A）（B） （C） （D） （4）“”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（5） 若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為（A） (B) (C) （D）（6）直線被圓截得的弦長為（A）1（B）2 （C）4 （D）（7）設為等差數列的前項和，則= （A） （B）（C） （D）2 (8) 函數的圖像如圖所示，在區(qū)間上可找到個不同的數，使得，則的取值范圍為 (A) (B) (C) (D) (9) 設的內角所對邊的長分別為，若,則角=(A) (B) (C) (D) （10） 已知函數有兩個極值點，若，則關于的方程的不同實根個數為 （A）3 (B) 4 (C) 5 (D) 62 填空題（11） 函數的定義域為_.（12）若非負數變量滿足約束條件，則的最大值為_.（13）若非零向量滿足，則夾角的余弦值為_.（14）定義在上的函數滿足.若當時。， 則當時，=_.（15） 如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為，則下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號）。當時，為四邊形當時，為等腰梯形當時，與的交點滿足當時，為六邊形當時，的面積為3 解答題（16）（本小題滿分12分） 設函數. （）求的最小值，并求使取得最小值的的集合； （）不畫圖，說明函數的圖像可由的圖象經過怎樣的變化得到.（17）（本小題滿分12分） 為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯考數學成績情況，用簡單隨機抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級學生，以他們的數學成績（百分制）作為樣本，樣本數據的莖葉圖如下： 甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 2 0 9 0（）若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學生總人數，并估計甲校高三年級這次聯考數學成績的及格率（60分及60分以上為及格）；（）設甲、乙兩校高三年級學生這次聯考數學平均成績分別為，估計的值.（18）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，.已知 .（）證明：（）若為的中點，求三菱錐的體積.（19）（本小題滿分13分） 設數列滿足，,且對任意，函數 滿足 ()求數列的通項公式；（）若，求數列的前項和.（20） （本小題滿分13分） 設函數，其中，區(qū)間.（）求的長度（注：區(qū)間的長度定義為；（）給定常數，當時，求長度的最小值.（21）（本小題滿分13分）已知橢圓的焦距為4，且過點.（）求橢圓C的方程；（）設為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為。取點,連接，過點作的垂線交軸于點。點是點關于軸的對稱點，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由.詳解答案一選擇題：本大題共10小題。每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。（1）設是虛數單位，若復數是純虛數，則的值為（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】D【解析】，所以a=3，故選擇D【考點定位】考查純虛數的概念，及復數的運算，屬于簡單題.（2）已知，則（）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】A：，所以答案選A【考點定位】考查集合的交集和補集，屬于簡單題.（3）如圖所示，程序據圖（算法流程圖）的輸出結果為（A） （B） （C） （D） 【答案】C【解析】； ； ，輸出所以答案選擇C【考點定位】本題考查算法框圖的識別，邏輯思維，屬于中等難題.（4）“”是“”的 （A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，所以答案選擇B【考點定位】考查充分條件和必要條件，屬于簡單題.（6） 若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戌中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被 錄用的概率為 （A） (B) (C) （D）【答案】D【解析】總的可能性有10種，甲被錄用乙沒被錄用的可能性3種，乙被錄用甲沒被錄用的可能性3種，甲乙都被錄用的可能性3種，所以最后的概率【考點定位】考查古典概型的概念，以及對一些常見問題的分析，簡單題.（6）直線被圓截得的弦長為 （A）1 （B）2 （C）4 （D）【答案】C【解析】圓心，圓心到直線的距離，半徑，所以最后弦長為.【考點定位】考查解析幾何初步知識，直線與圓的位置關系，點到直線的距離，簡單題.（7）設為等差數列的前項和，則= （A） （B） （C） （D）2【答案】A【解析】 【考點定位】考查等差數列通項公式和前n項公式的應用，以及數列基本量的求解.(8) 函數的圖像如圖所示，在區(qū)間上可找到個不同的數，使得，則的取值范圍為 (A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】表示到原點的斜率； 表示與原點連線的斜率，而在曲線圖像上，故只需考慮經過原點的直線與曲線的交點有幾個，很明顯有3個，故選B.【考點定位】考查數學中的轉化思想，對函數的圖像認識.(9) 設的內角所對邊的長分別為，若,則角=(A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】由正弦定理，所以； 因為，所以，所以，答案選擇B【考點定位】考查正弦定理和余弦定理，屬于中等難度.（11） 已知函數有兩個極值點，若，則關于的方程 的不同實根個數為 （A）3 (B) 4 (C) 5 (D) 6【答案】A【解析】，是方程的兩根，由，則又兩個使得等式成立，其函數圖象如下：如圖則有3個交點，故選A.【考點定位】考查函數零點的概念，以及對嵌套型函數的理解.4 填空題（11） 函數的定義域為_.【答案】【解析】，求交集之后得的取值范圍【考點定位】考查函數定義域的求解，對數真數位置大于0，分母不為0，偶次根式底下大于等于0.（12）若非負數變量滿足約束條件，則的最大值為_.【答案】4【解析】由題意約束條件的圖像如下：當直線經過時，取得最大值.【考點定位】考查線性規(guī)劃求最值的問題，要熟練掌握約束條件的圖像畫法，以及判斷何時取最大.（13）若非零向量滿足，則夾角的余弦值為_.【答案】【解析】等式平方得：則，即得【考點定位】考查向量模長，向量數量積的運算，向量最基本的化簡.（14）定義在上的函數滿足.若當時。， 則當時，=_.【答案】【解析】當，則，故又，所以【考點定位】考查抽象函數解析式的求解.（16） 如圖，正方體的棱長為1，為的中點，為線段上的動點，過點的平面截該正方體所得的截面記為，則下列命題正確的是 （寫出所有正確命題的編號）。當時，為四邊形當時，為等腰梯形當時，與的交點滿足當時，為六邊形當時，的面積為【答案】【解析】（1），S等腰梯形，正確，圖如下：（2），S是菱形，面積為，正確，圖如下：（3），畫圖如下：，正確（4），如圖是五邊形，不正確；（5），如下圖，是四邊形，故正確【考點定位】考查立體幾何中關于切割的問題，以及如何確定平面。5 解答題（16）（本小題滿分12分） 設函數. （）求的最小值，并求使取得最小值的的集合； （）不畫圖，說明函數的圖像可由的圖象經過怎樣的變化得到.【解析】（1） 當時，此時所以，的最小值為，此時x 的集合.(2) 橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得?然后向左平移個單位，得【考點定位】本題主要考查三角恒等變形、三角函數的圖像及性質與三角函數圖像的變換.考查邏輯推理和運算求解能力，中等難度.（17）（本小題滿分12分） 為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯考數學成績情況，用簡單隨機抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級學生，以他們的數學成績（百分制）作為樣本，樣本數據的莖葉圖如下： 甲 乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 2 0 9 0（）若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學生總人數，并估計甲校高三年級這次聯考數學成績的及格率（60分及60分以上為及格）；（）設甲、乙兩校高三年級學生這次聯考數學平均成績分別為，估計的值.【解析】（1） （2） = =【考點定位】考查隨機抽樣與莖葉圖等統(tǒng)計學基本知識，考查用樣本估計總體的思想性以及數據分析處理能力.（18）（本小題滿分12分）如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，.已知 .（）證明：（）若為的中點，求三菱錐的體積.【解析】（1）證明：連接交于點 又是菱形 而 面 (2) 由（1）面 = 【考點定位】考查空間直線與直線，直線與平面的位置，.三棱錐體積等基礎知識和基本技能，考查空間觀念，推理論證能力和運算能力.（19）（本小題滿分13分） 設數列滿足，,且對任意，函數 滿足 ()求數列的通項公式；（）若，求數列的前項和.【解析】由 所以， 是等差數列.而 （2） 【考點定位】考查函數的求導法則和求導公式，等差、等比數列的性質和數列基本量的求解.并考查邏輯推理能力和運算能力.（21） （本小題滿分13分） 設函數，其中，區(qū)間.（）求的長度（注：區(qū)間的長度定義為；（）給定常數，當時，求長度的最小值.【解析】（1）令 解得 的長度（2） 則 由 （1），則故關于在上單調遞增，在上單調遞減. 【考點定位】考查二次不等式的求解，以及導數的計算和應用，并考查分類討論思想和綜合運用數學知識解決問題的能力.（21）（本小題滿分13分）已知橢圓的焦距為4，且過點.（）求橢圓C的方