湖南省永州市祁陽(yáng)縣第一中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)10月月考試題 文（含解析）

祁陽(yáng)一中2020屆高三月考測(cè)試卷（文科數(shù)學(xué)）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. 設(shè),若是純虛數(shù)（其中為虛數(shù)單位）,則（ ）A. B. 2 C. -1 D. 1【答案】D【解析】,所以,選D.2. 設(shè)集合, ,則=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,所以=,選B.3. 設(shè)xR，則“x1”是“x2+x-20”的()A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】x2+x-20,所以“x1”是“x2+x-20”的充分不必要條件,選A.4. 下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減;是奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增; 是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增;因此選A5. 設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)，則此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的概率是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】所求概率為幾何概型，測(cè)度為面積，區(qū)域D為正方形，面積為；到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離等于2為一個(gè)圓，到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2的點(diǎn)在圓外，所以所求概率為，選D6. 對(duì)某商店一個(gè)月內(nèi)每天的顧客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖如圖所示，則該樣本中的中位數(shù)、眾數(shù)、極差分別是()A. 46,45,56 B. 46,45,53 C. 47,45,56 D. 45,47,53【答案】A【解析】中位數(shù)在45到47之間，眾數(shù)為45，極差為68-12=56，所以選A7. 下圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出S的值是（ ）A. 15 B. 31 C. 63 D. 127【答案】C【解析】執(zhí)行循環(huán)得：結(jié)束循環(huán)，輸出，選C點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng).8. 已知在等比數(shù)列中,若,則（ ）A. 200 B. 400 C. 2020 D. 1600【答案】D【解析】由,得，選D9. 下列命題正確的是（ ）A. 若 ，則 B. 若則C. D. 若且，則的最小值為4.【答案】D【解析】若 ，則; 若則不恒成立，如；無(wú)解；若且，則 ，所以選D點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.10. 若x，y滿足則的最大值是()A. 1 B. 4 C. 1 D. 4【答案】A【解析】作可行域如圖，則直線過(guò)點(diǎn)A(-1,-1)時(shí)取最大值1,選A點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問(wèn)題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無(wú)誤地作出可行域；二，畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.11. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù),取函數(shù)。當(dāng)=時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】略12. 給出以下數(shù)對(duì)序列：(1,1)；(1,2)(2,1)；(1,3)(2,2)(3,1)；(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；記第i行的第j個(gè)數(shù)對(duì)為aij，如a43(3,2)，則anm()A. (m，nm1) B. (m1，nm) C. (m1，nm1) D. (m，nm)【答案】A【解析】第n行的第1個(gè)數(shù)對(duì)為（1，n），所以第m個(gè)數(shù)對(duì)為(m,n-m+1),選A點(diǎn)睛：由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等方法.(2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項(xiàng)的變化特征；拆項(xiàng)后的特征；各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；化異為同.對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用處理.二 、 填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上。13. 設(shè)，向量，且，則_.【答案】2【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)睛：(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加減乘： 14. 函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi).【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，需解得0x1，所以定義域?yàn)?0，115. 若，則=_.【答案】【解析】因?yàn)?，所?6. 設(shè)函數(shù) 記若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】試題分析：令，設(shè)，令，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)需滿足，即考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)【方法點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17. 在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為(1)求的值；(2)若的面積【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)正弦定理將角的關(guān)系化為邊的關(guān)系：再根據(jù)余弦定理求的值；（2）由三角同角關(guān)系求出值，再根據(jù)三角形面積公式求面積.試題解析： 因?yàn)?，所?所以 所以因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?所以18. 某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，按其數(shù)學(xué)成績(jī)（均為整數(shù)）分成六組后得到如右部分頻率分布直方圖，觀察圖中的信息，回答下列問(wèn)題： （1）補(bǔ)全頻率分布直方圖；并估計(jì)本次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為的學(xué)生成績(jī)中抽取一個(gè)容量為6的樣本，再?gòu)倪@6個(gè)樣本中任取2人成績(jī)，求至多有1人成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的概率.【答案】（1）121（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖所有小長(zhǎng)方形面積之和為1，求得分?jǐn)?shù)在120，130）內(nèi)的頻率，再除以組距得高，畫(huà)出直方圖；利用組中值與對(duì)應(yīng)概率的積的和計(jì)算數(shù)學(xué)平均成績(jī)（2）先根據(jù)分層抽樣確定人數(shù)，利用枚舉法確定所有基本事件數(shù)，從中確定至多有1人成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段內(nèi)的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算概率試題解析：分?jǐn)?shù)在120，130）內(nèi)的頻率（1）1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3，因此補(bǔ)充的長(zhǎng)方形的高為0.03。估計(jì)平均分為 （2）由題意，110，120）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與120，130）分?jǐn)?shù)段的人數(shù)之比為1：2，用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為110，130）的學(xué)生成績(jī)中抽取一個(gè)容量為6的樣本，需在110，120）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人成績(jī)，分別記為m，n；在120，130）分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人成績(jī)，分別記為a，b，c，d；設(shè)“從6個(gè)樣本中任取2人成績(jī)，至多有1人成績(jī)?cè)诜謹(jǐn)?shù)段120，130）內(nèi)”為事件A，則基本事件共有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d）,（c，d），共15個(gè)事件A包含的基本事件有（m，n），（m，a），（m，b），（m，c），（m，d），（n，a），（n，b），（n，c），（n，d）共9個(gè)19. 設(shè)函數(shù)，且圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為.(1)求的值； (2)求在區(qū)間上的最大值和最小值【答案】（1）1.（2），1【解析】試題分析：（1）本小題中的函數(shù)是?？嫉囊环N形式，先用降冪公式把化為一次形式，但角變?yōu)椋龠\(yùn)用輔助角公式化為形式，又由對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸距離為，可知此函數(shù)的周期為，從而利用周期公式易求出；（2）本小題在前小題的函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行完成，因此用換元法只需令，利用求出u的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖像即可找到函數(shù)的最值.試題解析：（1） 因?yàn)閳D象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸距離為，又，所以，因此.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，所以，因此故在區(qū)間上的最大值和最小值分別為考點(diǎn)：降冪公式，輔助角公式，周期公式，換元法，正弦函數(shù)圖像，化歸思想.20. 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)(單位：千元)對(duì)年銷售量(單位：t)和年利潤(rùn)(單位：千元)的影響對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量(i1，2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到右面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值 46.65636.8289.81.61469108.8表中，(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)與的關(guān)系為.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：年宣傳費(fèi)49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為 【答案】（1）ycd適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型（2）100.668.（3）年銷售量576.6，年利潤(rùn)預(yù)報(bào)值66.32.年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大【解析】()由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型.()令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程.由于 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為=100.6+68w,因此y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68.() （）由()知,當(dāng)x=49時(shí),年銷售量y的預(yù)報(bào)值=100.6+68=576.6,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值=576.60.2-49=66.32.（）根據(jù)（）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值=0.2（100.6+68）-x=-x+13.6+20.12,當(dāng)=即x=46.24時(shí)取最大值.故宣傳費(fèi)用為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.21. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足且構(gòu)成等比數(shù)列(1) 證明：； (2)設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，求?！敬鸢浮浚?）見(jiàn)解析（2）【解析】試題分析：（1）令得，根據(jù)各項(xiàng)均為正數(shù)解得（2）利用和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得遞推關(guān)系：，配方得,即得，根據(jù)等差數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式可得.最后利用裂項(xiàng)相消法求和試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， （2）當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，是公差的等差數(shù)列.構(gòu)成等比數(shù)列，解得,由（1）可知， 是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列. 數(shù)列的通項(xiàng)公式為.點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是指將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和的形式，然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的方法，裂項(xiàng)相消法適用于形如 (其中是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項(xiàng)相消法求和，常見(jiàn)的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和(如本例)，還有一類隔一