上海市實驗學校2018-2019學年高二數(shù)學下學期期末考試試題（含解析）

上海市實驗學校2018-2019學年高二數(shù)學下學期期末考試試題（含解析）一、填空題（每題4分，一共40分）：1.若一個圓錐的母線長是底面半徑的3倍，則該圓錐的側面積是底面積的_倍；【答案】3；【解析】【分析】分別計算側面積和底面積后再比較【詳解】由題意，故答案為3【點睛】本題考查圓錐的側面積，掌握側面積計算公式是解題關鍵屬于基礎題2.如圖，在正三棱柱中，已知它的底面邊長為10，高為20，若p、q分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小為_（結果用反三角函數(shù)表示）【答案】；【解析】【分析】作出兩異面直線所成的角，然后在三角形求解【詳解】取中點，連接，是中點，異面直線與所成的角為或其補角在正三棱柱中，則，異面直線與所成的角的余弦為，角的大小為故答案為【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是作出兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形得出結論方法是根據(jù)定義，平移其中一條直線使之與另一條相交，則異面直線所成的角可確定平行線常常通過中位線、或者線面平行的性質定理等得出3.已知球的半徑為24cm，一個圓錐的高等于這個球的直徑，而且球的表面積等于圓錐的表面積，則這個圓錐的體積是_ cm3（結果保留圓周率p）【答案】【解析】【分析】結合球的表面積等于圓錐的表面積，建立等式，計算半徑r，利用體積計算公式，即可。【詳解】結合題意可知圓錐高h=48,設圓錐 底面半徑為r，則圓錐表面積 ，計算得到 ,所以圓錐的體積【點睛】本道題考查了立體幾何表面積和體積計算公式，結合題意，建立等式，計算半徑r，即可，屬于中等難度的題。4.某四棱錐的三視圖如圖所示，那么該四棱錐的體積為_ 【答案】【解析】【分析】先還原幾何體，再根據(jù)四棱錐體積公式求結果.【詳解】由三視圖知該幾何體如圖，v故答案為：【點睛】本題考查三視圖以及四棱錐的體積，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5.設等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=_【答案】【解析】由題意得 ，因此 6.已知棱長為1的正四面體，的中點為d，動點e在線段上，則直線與平面所成角的取值范圍為_；【答案】；【解析】【分析】當與重合時，直線與平面所成角為0最小，當從向移動時，直線與平面所成角逐漸增大，到達點時角最大詳解】如圖，是在底面上的射影，是在底面上的射影，由于是中點，則是中點，正四面體棱長為1，則，所求角的范圍是故答案為【點睛】本題考查直線與平面所成的角，解題時首先要作出直線與平面所成的角，同時要證明所作角就是要求的角，最后再計算，即一作二證三計算7.一個總體分為a，b兩層，其個體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本.已知b層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個體數(shù)為 _ 。【答案】40【解析】設b層中的個體數(shù)為，則，則總體中的個體數(shù)為8.有一個體積為2的長方體，它的長、寬、高依次為a，b，1，現(xiàn)將它的長增加1，寬增加2，且體積不變，則所得長方體高的最大值為_；【答案】；【解析】【分析】由體積公式得，長寬高變化后體積公式為，這樣可用表示，然后結合基本不等式求得最值【詳解】依題意，設新長方體高為，則，當且僅當時等號成立的最大值為故答案為【點睛】本題考查長方體體積，考查用基本不等式求最值，屬于中檔題型9.設關于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域為記區(qū)域上的點與點距離的最小值為，若，則的取值范圍是_；【答案】；【解析】【分析】根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域，又直線過點，因此可對分類討論，以求得，當時，是到直線的距離，在其他情況下，表示與可行域內頂點間的距離分別計算驗證【詳解】如圖，區(qū)域表示在第一象限（含軸的正半軸），直線過點，表示直線的上方，當時，滿足題意，當時，直線與軸正半軸交于點，當時，當時，滿足題意，當時，不滿足題意，綜上的取值范圍是故答案為【點睛】本題考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，解題關鍵是在求時要分類討論是直接求兩點間的距離還是求點到直線的距離，這要區(qū)分開來10.將前12個正整數(shù)構成的集合中的元素分成四個三元子集，使得每個三元子集中的三數(shù)都滿足：其中一數(shù)等于另外兩數(shù)之和，試求不同的分法種數(shù)【答案】8【解析】【詳解】設四個子集為，2，3，4，其中，2，3，4，設，則，所以，故，因此若，則由，得，即有，再由，必須，共得兩種情況：，；以及，對應于兩種分法：，；，若，則，于是，分別得，對于，得到三種分法：，；，；，對于，也得三種分法：，；，；，因此本題的分組方案共八種二、選擇題（每題4分，一共16分）：11.對于兩個平面和兩條直線，下列命題中真命題是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】d【解析】分析】根據(jù)線面平行垂直的位置關系判斷【詳解】a中可能在內，a錯；b中也可能在內，b錯；與可能平行，c錯；，則或，若，則由得，若，則內有直線，而易知，從而，d正確故選d【點睛】本題考查線面平行與垂直的關系，在說明一個命題是錯誤時可舉一反例說明命題是正確時必須證明12.學號分別為1，2，3，4的4位同學排成一排，若學號相鄰的同學不相鄰，則不同的排法種數(shù)為( )a. 2b. 4c. 6d. 8【答案】a【解析】【分析】先排1,2，再將3、4插空，用列舉法，即可得出結果.【詳解】先排好1、2，數(shù)字3、4插空，排除相鄰學號，只有2種排法：3142、2413故選a【點睛】本題主要考查計數(shù)原理，熟記概念即可，屬于基礎題型.13.的展開式的各項系數(shù)之和為3，則該展開式中項的系數(shù)為（ ）a. 2b. 8c. d. -17【答案】d【解析】【分析】令得各項系數(shù)和，可求得，再由二項式定理求得的系數(shù)，注意多項式乘法法則的應用【詳解】令，可得，在的展開式中的系數(shù)為：故選d【點睛】本題考查二項式定理，在二項展開式中，通過對變量適當?shù)馁x值可以求出一些特定的系數(shù)，如令可得展開式中所有項的系數(shù)和，再令可得展開式中偶數(shù)次項系數(shù)和與奇數(shù)次項系數(shù)和的差，兩者結合可得奇數(shù)項系數(shù)和以及偶數(shù)項系數(shù)和14.已知正方體棱長為2，p是底面上的動點,，則滿足條件的點p構成的圖形的面積等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】p是底面上的動點，因此只要在底面上討論即可，以為軸建立平面直角坐標系，設，根據(jù)已知列出滿足的關系【詳解】如圖，以為軸在平面內建立平面直角坐標系，設，由得，整理得，設直線與正方形的邊交于點，則點在內部（含邊界），易知，故選a【點睛】本題考查空間兩點間的距離問題，解題關鍵是在底面上建立平面直角坐標系，把空間問題轉化為平面問題去解決三、解答題（10+10+12+12，一共44分）15.袋中有紅、黃、白色球各1個，每次任取1個，有放回地抽三次，求基本事件的個數(shù)，寫出所有基本事件的全集，并計算下列事件的概率：（1）三次顏色各不相同；（2）三次顏色不全相同；（3）三次取出的球無紅色或黃色【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】【分析】按球顏色寫出所有基本事件；（1）計數(shù)三次顏色各不相同的事件數(shù)，計算概率；（2）計數(shù)三次顏色全相同的事件數(shù)，從對立事件角度計算概率；（3）計數(shù)三次取出的球無紅色或黃色事件數(shù)，計算概率；【詳解】按抽取的順序，基本事件全集為：（紅紅紅），（紅紅黃），（紅紅藍），（紅黃紅），（紅黃黃），（紅黃藍），（紅藍紅），（紅藍黃），（紅藍藍），（黃紅紅），（黃紅黃），（黃紅藍），（黃黃紅），（黃黃黃），（黃黃藍），（黃藍紅），（黃藍黃），（黃藍藍），（藍紅紅），（藍紅黃），（藍紅藍），（藍黃紅），（藍黃黃），（藍黃藍），（藍藍紅），（藍藍黃），（藍藍藍），共27個（1）三次顏色各不相同的事件有（紅黃藍），（紅藍黃），（黃紅藍），（黃藍紅），（藍紅黃），（藍黃紅），共6個，概率為；（2）其中顏色全相同的有3個，因此所求概率為；（3）三次取出的球紅黃都有的事件有12個，因此三次取出的球無紅色或黃色事件有15個，概率為無紅色或黃色事件【點睛】本題考查古典概型概率，解題關鍵是寫出所有基本事件的集合，然后按照要求計數(shù)即可，當然有時也可從對立事件的角度考慮16.已知的展開式中有連續(xù)三項的系數(shù)之比為123，（1）這三項是第幾項？（2）若展開式的倒數(shù)第二項為112，求x的值【答案】（1）第5、6、7項；（2）或；【解析】【分析】（1）先求展開式各項的系數(shù)，由有連續(xù)三項的系數(shù)之比為123，求出及項數(shù)；（2）再由通項公式寫出倒數(shù)第二項，由它等于112求出【詳解】（1）展開式各項系數(shù)為，由題意，即，解得，這三項第5、6、7項（2）倒數(shù)第二項為，112，即，或【點睛】本題考查二項式定理，考查組合數(shù)公式的計算，題中難點有兩個，一個是把組合數(shù)用階乘表示出來后求解較方便，一個是解方程時要先取以2為底的對數(shù)后才能求解17.如圖，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內有20cm深的溶液現(xiàn)將此容器傾斜一定角度（圖），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖、均為容器的縱截面）（1）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，角的最大值是多少？（2）現(xiàn)需要倒出不少于的溶液，當時，能實現(xiàn)要求嗎？請說明理由【答案】（1）要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，的最大值是45（2）不能實現(xiàn)要求，詳見解析【解析】【分析】（1）當傾斜至上液面經過點b時，容器內溶液恰好不會溢出，此時最大（2）當時，設剩余的液面為，比較與60的大小后發(fā)現(xiàn)在上，計算此時倒出的液體體積，比小，從而得出結論【詳解】（1）如圖，當傾斜至上液面經過點b時，容器內溶液恰好不會溢出，此時最大解法一：此時，梯形的面積等于，因為，所以， 即，解得，所以，要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，的最大值是45解法二：此時，的面積等于圖中沒有液體部分的面積，即，因為，所以，即，解得，所以，要使傾斜后容器內的溶液不會溢出，的最大值是45（2）如圖，當時，設上液面為，因為，所以點f在線段上，此時，,剩余溶液的體積為，由題意，原來溶液的體積為，因為，所以倒出的溶液不滿所以，要倒出不少于的溶液，當時，不能實現(xiàn)要求【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應用，解題關鍵是確定傾斜后容器內的溶液的液面位置，然后才能計算解決問題18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，為的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析； （2）.【解析】【分析】（1）證明，再證明平面，即可證明；（2）以為原點建立空間直角坐標系，再求平面以及平面的法向量，再求兩個平面法向量夾角的余弦值，結合圖像即可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，.因為四邊形是菱形且，為的中點，所以.因為平面，所以，又，所以平面，則.因為，所以. （2）以為原點建立空間直角坐標系（其中為與的交點），如圖所示，則，.設平面的法向量為，則，即，令，得.設平面的法向量為，則，即，令，得.所以 ，由圖可知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.【點睛】本題主要考查空間幾何元素位置關系的證明，考查二面角的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和空間想象轉化分析推理能力.四、附加題（10+10，一共20分）19.在六條棱長分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中，最大的體積是多少？證明你的結論【答案】；證明見解析【解析】【分析】根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊這個性質，按題設數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（a）3,3；（b）5,5；（c）4，5；（d）3,4，從而題設四面體中，以棱長為2的棱為公共邊的兩個面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（i）（a）與（b），（ii）（a）與（c）；（iii）（b）與（c），于是問題轉化為對棱長分別為（i）（ii）（iii）的四面體來計算體積的最大值（或估計）.【詳解】由三角形兩邊之差小于第三邊這個性質，按題設數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（a）3,3；（b）5,5；（c）4，5；（d）3,4，從而題設四面體中，以棱長為2為公共邊的兩個面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（i）（a）與（b），（ii）（a）與（c）；（iii）（b）與（c）.對情形（i）（a）與（b），四邊形沿ab折疊后使，則由得，即是四面體以為底面的高，體積為；對情形（ii）（a）與（c）四邊形沿ab折疊后使，有兩種情形，它們體積相等，記為，為鈍角，與平面斜交，；對情形（iii），（b）與（c），這樣的四面體也有兩個，體積也相等，記為，.最大體積為.【點睛】本題考查四面體的體積，解題關鍵是找到以棱