常微分習(xí)題解答VIP

常微分方程習(xí)題解答東北師范大學(xué)微分方程教研室(第二版)高等教育出版社習(xí)題1.21 求下列可分離變量微分方程的通解：(1) 解：積分，得 即 (2) 解： 為特解，當(dāng)時，積分，得，即(3) 解： 變形得 積分，得(4) 解：變形得，為特解，當(dāng)時，.積分，得,即2求下列方程滿足給定初值條件的解：(1) 解： 為特解，當(dāng)時，積分，得 將代入，得 ，即為所求的解。(2) 解： 為特解，當(dāng)時，積分，得 將代入，得 ，即為所求的解。 (3) 解： 為特解，當(dāng)時，積分，得 將代入，得 ，即和均為所求的解。(4) 解： 為特解，當(dāng)時，積分，得 將代入，得 ，即為所求的解。4求解方程 解：為特解，當(dāng)時， 積分，得 6求一曲線，使其具有以下性質(zhì)：曲線上各點處的切線與切點到原點的向徑及x軸可圍成一個等腰三角形(以x軸為底)，且通過點(1,2).解：設(shè)所求曲線為 對其上任一點的切線方程：于x軸上的截距為由題意建立方程：即 求得方程的通解為再由得c = ln2 , 得所求曲線為為7人工繁殖細(xì)菌，其增長速度和當(dāng)時的細(xì)菌數(shù)成正比（1） 如果4小時的細(xì)菌數(shù)為原細(xì)菌數(shù)的2倍，那么經(jīng)過12小時應(yīng)有多少？（2） 如果在3小時時的細(xì)菌數(shù)為得個，在5小時時的細(xì)菌數(shù)為得個，那么在開始時有多少個細(xì)菌？解：設(shè)t時刻的細(xì)菌數(shù)為q (t) , 由題意建立微分方程求解方程得 再設(shè)t = 0時，細(xì)菌數(shù)為,求得方程的解為（1） 由 即 得 （2）由條件 比較兩式得， 再由 得習(xí)題1.31 解下列方程：(2) 解：方程改寫為 令 ，有 整理為 積分，得 即代回變量，得通解也是方程的解(4) 解：方程改寫為 令 ，有 即積分，得 代回變量，得通解(5) 解：方程改寫為 令 ，有 當(dāng)時 積分，得 代回變量，得通解(6) 解：方程改寫為 令 ，有 分離變量 積分，得 代回變量，得通解也是方程的解2 解下列方程：(1) 解：方程改寫為 令，解得 作變換 有 再令 上方程可化為整理為 積分，得 代回變量，得通解也是方程的解(2) 解：方程改寫為 令 ，有 分離變量 積分，得 代回變量，得通解(4) 解：令 則原方程變?yōu)?再令 ，則方程化為 分離變量 積分，得 代回變量，得通解3 解方程 解：方程改寫為 即 令 則 再令 解得作變換 ，則方程化為 再作變換 ，則方程化為 積分，得 代回原變量，得原方程的通解為習(xí)題1.41 解下列方程. (1) 解：原方程對應(yīng)的齊次方程的通解為.由常數(shù)變易法得原方程的一個特解為.則原方程的通解為$y=Ce-x2+2$. (2) 解： 原方程對應(yīng)的齊次方程的通解為.由常數(shù)變易法得原方程的一個特解為.則原方程的通解為. (3) 解： 原方程對應(yīng)的齊次方程的通解為.由常數(shù)變易法得原方程的一個特解為.則原方程的通解為, 或者.2 求曲線,使其切線在縱軸上的截距等于切點的橫坐標(biāo).解：設(shè)所求曲線為,則它在曲線上任一點的斜率.過點的方程為.依題意得, 即.它對應(yīng)的齊次方程的通解為.它的一個特解為.因此,所求曲線為.3 解下列伯努利方程(2)解：原方程可化為.令$z=y-3$, 則有.它對應(yīng)的齊次線性方程為. 當(dāng)時,有,得; 當(dāng)時,有,得.令為方程的一個解, 則有.兩邊積分得,帶回得原方程的通解為,即.(4) 解：方程兩邊同乘以得.令,則. 于是.該方程對應(yīng)的齊次方程的通解為.由常數(shù)變易法得一個特解為.則它的通解為.于是原方程的通解為.另外，也是原方程的解.6. 設(shè)在上連續(xù)可微, 且 , 證明 .證明：設(shè) ,則, , 對充分大的, 當(dāng)時, 有. 故由的任意性有 . 習(xí)題1.51 (1) 解：因為,所以方程是全微分方程. 于是方程的通解為. (2)解：,所以方程是全微分方程. 于是方程的通解為.2. 求下列方程的積分因子和積分. (1)解：由于,所以方程不是全微分方程. 而只與有關(guān),故可得積分因子為. 以積分因子乘以原方程兩端,得全微分方程：.則原方程的的通解為.(2) 解：由于, , 所以方程不是全微分方程. 而只與有關(guān),故可得積分因子為.以積分因子乘以原方程兩端,得全微分方程：.則原方程的的通解為. (3)解：因為,所以方程不是全微分方程. 而只與有關(guān),用積分因子乘以原方程兩端，得全微分方程：.于是原方程的通解為 (4)解：由于,所以方程不是全微分方程. 而只與有關(guān), 故積分因子為.用積分因子乘以原方程兩端，得全微分方程：.于是原方程的通解為.習(xí)題1.61. 求解下列方程.(1)解：因為,所以或. 由得; 由得.因此原方程的通解為.(2) 解：令, 可得. 此式關(guān)于求導(dǎo)數(shù)整理得.于是.從而原方程的通解為.另外,也是原方程的解.(3) 解：首先, 是方程的解. 令, 則. 于是,從而.由此可得原方程的通解為即.（4）解：方程關(guān)于是齊次的,作代換可把方程降一階，其中是的新的未知函數(shù).故.把的表達(dá)式代入方程并消去,得,或，這是線性方程,它的左邊可以寫成,由此得，或，.原方程的通解是 或此外,方程還有解.習(xí)題2.11. 試?yán)L出下列各方程的積分曲線圖:(1) (為常數(shù)); (2) (3) ; (4) 圖 (1)(5) 解：(1) 由于, 不依賴于和, 所以線素場的線素均平行, 其斜率為. 從而可以根據(jù)線素場線素的趨勢, 大體描出積分曲線. 如圖(1)所示.圖 (2)(2) 由于, 不依賴于, 因而, 在直線 上線素場的線素都平行, 其斜率為右端函數(shù) 橫坐標(biāo)的平方. 于是, 橫坐標(biāo)的絕對值越大, 線素場的方向越陡. 從而, 可以根據(jù)線素場線素的趨勢, 大體上描出積分曲線. 如圖(2)所示.(3) 由于, 不依賴于, 因而在直線(為常數(shù))上, 線素場的線素都平行, 斜率為縱坐標(biāo)的絕對值, 故當(dāng)時, 其積分曲線如圖(3)所示; 當(dāng)時, 其積分曲線如圖(6)所示; 當(dāng)時, 其積分曲線如圖(7)所示.圖 (7)圖(6)圖 (8)2. 試畫出方程在平面上的積分曲線的大致圖像.解：這個方程是不可積的, 但易于畫出它的線素場. 在同一以原點為對稱中心的雙曲線上, 線素場的線素都平行. 其斜率等于雙曲線實半軸長的平方. 于是, 實半軸越長, 線素場的方向越陡. 從而,根據(jù)線素場線素的趨勢, 大體上可以描出積分曲線. 如圖(8)所示.3. 試用歐拉折線法,取步長,求初值問題的解在時的近似值.解 令 ,.則 習(xí)題2.21. 試判斷方程在區(qū)域(1)(2) 上是否滿足定理的條件?解：(1) 不滿足. 因為在區(qū)域上,右端函數(shù)當(dāng)時不連續(xù).(2) 滿足. 因為在區(qū)域上,右端函數(shù)連續(xù)且有界.2. 判斷下列方程在什么樣的區(qū)域上保證初值解存在且唯一?(1) ; (2) ;(3) ; (4) .解：(1) 因為及在整個平面上連續(xù), 所以在整個平面上滿足存在唯一性定理條件. 進(jìn)而在平面上保證初值解存在且唯一.(2) 因為及在整個平面上連續(xù), 所以在整個平面上滿足存在唯一性定理條件. 進(jìn)而在平面上保證初值解存在且唯一.(3) 因為方程右端函數(shù)在除去軸外的整個平面上連續(xù)且, 所以在除去軸外的整個平面上初值解存在且唯一.(4) 因為方程右端函數(shù)= 在整個平面上連續(xù), 而 在除去軸外的整個平面上連續(xù), 所以在除去軸外的整個平面上初值解存在且唯一.3. 討論方程 在怎么樣的區(qū)域中滿足定理的條件. 并求通過的一切解.解：右端函數(shù)對的偏導(dǎo)數(shù), 顯然它在任何一個不包含軸上的點的有界閉區(qū)域中是有界的, 因此在這種區(qū)域中解是存在唯一的. 即, 只有通過 上的點可能出現(xiàn)多個解的情況(方程右端的連續(xù)性保證在任何有界區(qū)域中,解是存在的). 原方程分離變量得上式兩端取積分得其中 此外有特解. 因此過點有無窮多個解(如圖(9)所示) .,圖(9) 4. 試用逐次逼近法求方程滿足初值條件 的近似解:解： 5. 試用逐次逼近法求方程滿足初值條件 的近似解:解：6. 試證明定理中的次近似解與精確解有如下的誤差估計式:證：由 及迭代列,得設(shè)則由歸納法可知,對任意次近似解, 估計式 成立.7. 利用上面的估計式, 估計: (1) 4題中的三次近似 在和時的誤差; (2) 5題中的二次近似在時的誤差.解：(1) 顯然初值問題, 在區(qū)域 上存在唯一解, 由解的存在唯一性定理知,解的定義區(qū)間為其中, . 這里 從而,即得解的定義區(qū)間為.則由誤差估計公式其中是李普希茲常數(shù). 因為 可取 當(dāng)時, 有.當(dāng)時, 有.(2) 顯然初值問題, 在區(qū)域 上存在唯一解, 由解的存在唯一性