浙江臺州五校聯(lián)考高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段性考試

浙江省臺州五校聯(lián)考2020屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期階段性考試試題（含解析）一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知集合則為 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由已知得，因為，且，所以，又因為，所以，因此，故選A.2.已知為虛數(shù)單位），則“”是“為純虛數(shù)”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時，是純虛數(shù)，充分性成立，當(dāng)是純虛數(shù)時，則，解得必要性成立，是為純虛數(shù)的充分必要條件，故選C.3.已知直線、與平面下列命題正確的是 （ ）A. 且則B. 且則C. 且則D. 且則【答案】D【解析】【詳解】A. 且則，m與n可能相交，故A不對；B.當(dāng)m與n都與和的交線平行時，也符合條件，但是，故B不對；C.由面面垂直的性質(zhì)定理知，必須有時，否則不成立，故C不對；D.由且，得或，又因，則，故D正確,故選D【點睛】本題主要考查線面平行的判定與性質(zhì)、面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定，屬于難題.空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實實物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.4.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象 （ ）A. 向左平移個單位長度B. 向右平移個單位長度C. 向左平移個單位長度D. 向右平移個單位長度【答案】C【解析】由題意，由于函數(shù)，觀察發(fā)現(xiàn)可由函數(shù)向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象，故選C.5.已知點滿足，目標(biāo)函數(shù)僅在點處取得最小值，則的范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】畫出不等式組對應(yīng)的可行域，分兩類討論即可.【詳解】不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示：其中 若，因目標(biāo)函數(shù)僅在點處取得最小值，所以動直線的斜率，故.若，因目標(biāo)函數(shù)僅在點處取得最小值，所以動直線的斜率，故.綜上，選B.【點睛】二元一次不等式組條件下二元函數(shù)的最值問題，常通過線性規(guī)劃來求最值，求最值時往往要考二元函數(shù)的幾何意義，比如表示動直線的橫截距的三倍 ，而則表示動點與的連線的斜率含參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的最值問題，注意根據(jù)斜率分類討論.6.直線與圓交于兩點，則的面積為 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意，圓心為，半徑為，則的高，底邊長為，所以.故選B.7.設(shè)函數(shù)，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則的取值集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由題意，不令，不等式對任意實數(shù)恒成立，等價于函數(shù)大于或等于的最大值，由函數(shù)的解析式，可對的取值范圍進行分段討論，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，從而可得的最大值為，所以有，即或，解得或.故選B.8.已知平面平面，且.是正方形，在正方形內(nèi)部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】根據(jù)題意，以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖1所示，則，設(shè)，易知直線與平面所的角分別為，均為銳角，且，所以，即，因此，整理得，由此可得，點在正方形內(nèi)的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓弧上，如圖2所示，易知圓心角，所以.故選C.點睛：此題主要考查了線面角、坐標(biāo)法、弧長公式、軌跡方程等各方面的知識，屬于中高檔題，同時這些知識點也是高頻考點，在問題的解決過程中，經(jīng)歷了平面圖形立體圖形建系代數(shù)運算建模平面圖形的過程，加強了知識點的綜合性，充分體現(xiàn)了“坐標(biāo)法”在解決幾何問題中的優(yōu)越性.9.在平面內(nèi)，若則的取值范圍是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根據(jù)題意，不妨以原點，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，由，且，則，設(shè)，所以，將兩式相加得，即，又，所以.故選D.點睛：此題主要考查了坐標(biāo)法在平面向量中的應(yīng)用，以及向量模的運算等有關(guān)方面的知識，屬于中檔題型，也是高頻考點.根據(jù)題意，結(jié)合圖形特點合理科學(xué)地建立直角坐標(biāo)系，同時給出相關(guān)點的坐標(biāo)，從而得到相關(guān)向量的坐標(biāo)表示，通過向量的坐標(biāo)運算，從而解決問題，采用坐標(biāo)法使問題的解決過程顯得直觀形象易懂.10.若集合，則集合中的元素個數(shù)是（ ）A. 2016B. 2017C. 2018D. 2019【答案】A【解析】由題意知，所以，必為一奇一偶，即共2016種情況，又.故選A.二、填空題11.已知，則的最大值是_.【答案】【解析】由已知得，則，所以，當(dāng)時，等號成立.12.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是，則正視圖中的的值是_，該幾何體的表面積是_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，其直觀圖如圖所示，由棱錐的體積公式得，側(cè)面為直角三角形，側(cè)面是以為底的等腰三角形，所以該幾何體的表面積為.13.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，滿足對任意的正整數(shù)，均有，則_，公比_.【答案】 (1). (2). 2【解析】由，則，兩式相減得，則，由等比數(shù)列前項和公式得，即，從而解得.14.在中，角分別對應(yīng)邊，為的面積.已知，則_，_.【答案】 (1). 6. (2). .【解析】由正弦定理得，由余弦定理得，則，所以.15.一個口袋里裝有大小相同的6個小球，其中紅色、黃色、綠色的球各2個，現(xiàn)從中任意取出3個小球，其中恰有2個小球同顏色的概率是_.若取到紅球得1分，取到黃球得2分，取到綠球得3分，記變量為取出的三個小球得分之和，則的期望為_.【答案】 (1). (2). 6【解析】根據(jù)題意，紅、黃、綠球分別記為，則任取3個小球共有種，而其中恰有2個小球同顏色的有，故所求概率為；由題意得，變量的取值為4，5，6，7，8，因此.16.設(shè)雙曲線的右焦點為，過點作與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為，設(shè)為坐標(biāo)原點，若，則雙曲線的離心率的值是_.【答案】【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線為，右焦點為，則點的坐標(biāo)分別為，所以的坐標(biāo)為，又，則，即，又，易解得，所以.點睛：此題主要考查雙曲線的漸近線、離心率等，以及向量的坐標(biāo)運算、解方程等相關(guān)知識，屬于中檔題型，也是高頻考點.根據(jù)題意，通過雙曲線方程、漸近線方程分別求出點的坐標(biāo)，從而得到向量的坐標(biāo)，再根據(jù)條件建立關(guān)于的方程，由離心率公式，由此問題可得解.17.設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為，且在區(qū)間上恰好有兩個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_.【答案】【解析】由題意得，由方程，不妨令，又因在區(qū)間上恰好有兩個正整數(shù)，結(jié)合圖形，易知. 三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟18.已知，函數(shù)（）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若的最大值是，求的值【答案】（）,;（）.【解析】（）由，可先由兩角和差正弦公式、二倍角公式將函數(shù)解析式化簡為，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（）利用兩角和余弦公式、二倍角公式整理得，由函數(shù)最大值為，且對于型函數(shù)的最大值為，又，從而問題可得解.試題解析：（）由題意 由，得 所以單調(diào)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. （）由題意，由于函數(shù)的最大值為，即， 從而，又，故 19.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，平面，分別是的中點.（）求證：平面；（）若與平面所成的角為，求線段的長.【答案】（）見解析; （）.【解析】（）由條件可知四邊形為平行四邊形（菱形），則與的交點為的中點，又為的中點，根據(jù)線面平行判定定理，問題可得證；（）由題意，通過計算證明可得，與平面所成的角為，且三角形是以為直角的直角三角形，從而可求線段的長.試題解析：（）連接交與，連接.因為為的中點，所以.又因為，所以四邊形為平行四邊形， 所以為的中點，因為為的中點， 所以. 又因為，所以平面. （）由四邊形為平行四邊形，知，所以為等邊三角形，所以， 所以，即，即.因為平面，所以. 又因，所以平面， 所以為與平面所成的角，即， 所以. 20.已知，函數(shù). （）若函數(shù)在上遞減, 求實數(shù)取值范圍；（）當(dāng)時，求的最小值的最大值；（）設(shè)，求證：.【答案】（）;（）最大值為;（）見解析.【解析】（）根據(jù)題意，由函數(shù)為減函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)小于或等于零，從而可算出實數(shù)的取值范圍；（）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極小值函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出極小值函數(shù)的最大值；（）由（）可結(jié)論，對參數(shù)時行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求其最小值，從而問題可得證.試題解析：（） 函數(shù)在上遞減, 恒有成立,而,恒有成立,而, 則滿足條件. （）當(dāng)時, 0極小值的最小值=，0極大值的最大值為 （） 當(dāng)時，所以在上是增函數(shù)，故 當(dāng)時，解得或，綜上所述： 21.已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，直線與的兩個交點間的距離為.（）求橢圓的方程；（）分別過作滿足，設(shè)與的上半部分分別交于兩點，求四邊形面積的最大值.【答案】（）;（）3.【解析】（）由已知，根據(jù)橢圓對稱性易知橢圓過點，結(jié)合離心率及，即可求出橢圓方程；（）根據(jù)題意可設(shè)直線，由弦長公式可求出被橢圓截得的弦長，由點到直線距離公式可求出點到直線距離，從而可得的面積，并求出其最大值，由橢圓對稱性可知四邊形面積與的面積，從而問題得解.試題解析：（）易知橢圓過點，所以， 又， ， 得，所以橢圓的方程為. （）設(shè)直線，它與的另一個交點為.與聯(lián)立，消去，得， .， 又到的距離為， 所以. 令，則，所以當(dāng)時，最大值為3.又所以四邊形面積的最大值為3. 點睛：此題主要考查橢圓方程，橢圓與直線位置關(guān)系，以及面積最大值問題等有關(guān)方面知識，屬于中高檔題型，也是高頻考點. 在（）的解答中，根據(jù)題意結(jié)合橢圓對稱性可知橢圓過點，再結(jié)合離心率、橢圓中的關(guān)系，從而可求出橢圓方程；在（）解答中，把四邊形分割為兩個三角形，從而得到其面積的計算函數(shù)，再利用函數(shù)的最大值來進行求解即可.22.已知函數(shù).（）求方程的實數(shù)解；（）如果數(shù)列滿足，（），是否存在實數(shù)，使得對所有的都成立？證明你的結(jié)論（）在（）的條件下，設(shè)數(shù)列的前項的和為，證明：【答案】（）;（）存在使得;（）見解析.【解析】（）由題意，通過解分式方程即可得方程的實數(shù)解析；（）通過函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列通項的范圍，再利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明；（）由（）可得通項的范圍，構(gòu)造新數(shù)列，通過計算數(shù)列的前和及其范圍，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明之.試題解析：（）；（）存在使得證法1：因為，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以因為，所以由得且下面用數(shù)學(xué)歸納法證明因為，所以當(dāng)時結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)時結(jié)論成立，即由于為上的減函數(shù)，所以，從而，因此，即綜上所述，對一切，都成立，即存在使得 證法2：，且是以為首項，為公比的等比數(shù)列.所以.易知，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，即存在，使得.（）證明：由（2），我們有，從而.設(shè)，則由得.由于，因此n=1，2，3時，成立，左邊不等式均成立