偏導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù).ppt

Chapter2(2),偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),目的要求:,一.理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的概念,二.熟練掌握求一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的方法,重點(diǎn)：,一.一階、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算,三.熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用,二.偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用,與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)關(guān)于自變量的變,數(shù)學(xué)上，人們將這種變化率稱之為偏導(dǎo)數(shù)。,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),而對(duì)另一個(gè)自變量求變化率。,我們可按實(shí)際需要，把其中的一個(gè)自變量視為常數(shù),情況下，二元函數(shù)的自變量都是彼此無(wú)關(guān)的，,化率仍然是一個(gè)十分重要的概念。由于在通常的,所以，,繁,啦,！,煩,多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的推廣,其計(jì)算往往是借用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式和方法,但實(shí)際計(jì)算往往較繁.在推廣中有一些東西將起質(zhì)的變化.我們通常介紹二元函數(shù)的情形,所得結(jié)果可以推廣到更高元的函數(shù)中,一般不會(huì)遇到原則性問(wèn)題.,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算,在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，柯布-道格拉斯生產(chǎn)函,這里為常數(shù)，,當(dāng)勞動(dòng)力投入不變時(shí),產(chǎn)量對(duì)資本投入的變化率為,當(dāng)資本投入不變時(shí)，產(chǎn)量對(duì)勞動(dòng)力投入的變化率,該問(wèn)題說(shuō)明有時(shí)需要求二元函數(shù)在某個(gè)變量不變的條件下，,Q表示產(chǎn)量.,別表示投入的勞動(dòng)力數(shù)量和資本數(shù)量，,分,數(shù)為,引例,對(duì)另一個(gè)變量的變化率.,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),（1）函數(shù)的偏改變量（偏增量）,及,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),（2）函數(shù)的全改變量（全增量）,或,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),2.偏導(dǎo)數(shù)概念,設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,則稱此極限值為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的,記為,一元函數(shù)導(dǎo)數(shù),如果極限存在,函數(shù)有增量,相應(yīng),(1)定義,當(dāng)y固定在y0,而x在x0處有增量x時(shí),偏導(dǎo)數(shù).,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),即,類似地,函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)為,也可記為,變量x和y的偏導(dǎo)數(shù)均存在,則稱函數(shù),在點(diǎn),可偏導(dǎo).,2.偏導(dǎo)數(shù)概念,內(nèi)可偏導(dǎo).,處均可偏導(dǎo),與一元函數(shù)的情況類似,函數(shù)在區(qū)域上的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個(gè)偏導(dǎo)函數(shù),（2）二元函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）,分別記作,函數(shù)在區(qū)域上的偏導(dǎo)數(shù).,一般仍稱為,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的多元函數(shù).,如函數(shù)在處,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),注意！,全導(dǎo)數(shù),第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行的：,實(shí)質(zhì)上是,2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,忘記了,請(qǐng)趕快復(fù)習(xí)一下.,如果一元函數(shù)的求導(dǎo)方法和公式,2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,沒(méi)有任何技術(shù)性的新東西.,求偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只要將n個(gè)自變量,中的某一個(gè)看成變量,自變量均視為常數(shù),的求導(dǎo)方法進(jìn)行計(jì)算即可.,方法:,其余的n1個(gè),然后按一元函數(shù),2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,將y看成常數(shù)時(shí),將x看成常數(shù)時(shí),解,是對(duì)冪函數(shù)求導(dǎo).,是對(duì)指數(shù)函數(shù)求導(dǎo).,例1求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).,2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,例2求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).,例2求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).,解,2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,例3求函數(shù)在點(diǎn)(1,3)處對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù).,例3求函數(shù)在點(diǎn)(1,3)處對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù).,解,將點(diǎn)(1,3)代入上式，得,可得,所以,在求定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，,先代入固定變量取值，,然后再求導(dǎo)，可簡(jiǎn)化求導(dǎo)計(jì)算。,2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,或,例4設(shè),求,解,所以,二元以上多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可類似地定義和計(jì)算,例求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).,對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)就是視y,z為常數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)數(shù),同理,因?yàn)?解,2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,例5,解,求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求,由偏導(dǎo)數(shù)定義可知：,故,2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,小結(jié),二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算,一、多元函數(shù)的連續(xù)性,Chapter2(3)、2（4）,一、偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)二、全微分,P523.確定并畫(huà)出下列函數(shù)的定義域:,解,函數(shù)的定義域?yàn)?要使函數(shù)有意義須滿足,作業(yè)講評(píng):,Solution.,所求定義域?yàn)?作業(yè)講評(píng):,Solution.,P581.求下列極限,由夾逼準(zhǔn)則,即,P59.4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性,解,Chapter2(3)、2（4）,一、偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)二、全微分,復(fù)習(xí),二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算,一、多元函數(shù)的連續(xù)性,二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)處處連續(xù).,3.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,當(dāng)y=y0時(shí),曲面z=f(x,y)與平面y=y0的交線方程為,在點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處,由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：,fx(x0,y0)幾何意義是,對(duì)x軸的切線斜率.,同理,二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形表示空間一張曲面.,曲線,即,fx(x0,y0),第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),4.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系,對(duì)于二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系如何？,連續(xù),解,一元函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：,可導(dǎo),由偏導(dǎo)數(shù)定義,例,第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù),所以，函數(shù)在(0,0)處對(duì)變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)存在.,讓沿直線而趨于（0,0），,它將隨k的不同而具有不同的值，,結(jié)論：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在,但未必連續(xù).,則有,所以函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).,不存在.,因此極限,求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求,4.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系,例說(shuō)明二元函數(shù)，在點(diǎn)(0,0)處是連續(xù)的,但在(0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在.,解,所以，函數(shù)在點(diǎn)處(0,0)連續(xù).,又因?yàn)?極限不存在，,因?yàn)?所以偏導(dǎo)數(shù)不存在.,結(jié)論：二元函數(shù)連續(xù),但偏導(dǎo)數(shù)未必存在.,4.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系,偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).,一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)連續(xù)，,可見(jiàn)，多元函數(shù)的理論除了與一元函數(shù)的理論有許多類似之處，也是還有一些本質(zhì)的差別。,二、高階偏導(dǎo)數(shù),設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)有偏導(dǎo)函數(shù)與,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù),按求導(dǎo)順序不同,偏導(dǎo)數(shù).,則稱其偏導(dǎo)數(shù)為二階,且其偏導(dǎo)數(shù)仍存在,一個(gè)多元函數(shù)的n1階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),例1求的二階偏導(dǎo)數(shù).,解,高階偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)原則是逐階求導(dǎo).,二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).,同樣可定義三階、四階以至n階偏導(dǎo)數(shù).,n階偏導(dǎo)數(shù).,稱為原來(lái)函數(shù)的,1、先求一階偏導(dǎo)數(shù),2、再求二階偏導(dǎo)數(shù),稱為一階偏導(dǎo)數(shù),（低階偏導(dǎo)數(shù)）.,二、高階偏導(dǎo)數(shù),解,二、高階偏導(dǎo)數(shù),原函數(shù)圖形,偏導(dǎo)函數(shù)圖形,偏導(dǎo)函數(shù)圖形,二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形,觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：,二、高階偏導(dǎo)數(shù),解,例3求的二階混合偏導(dǎo)數(shù).,此例中兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等.,如果函數(shù)z=f(x,y)在開(kāi)區(qū)域D上二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在什么條件下兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等？,兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)也未必一定相等,數(shù)運(yùn)算的次序不同，,但是由于求偏導(dǎo),定理,則在該區(qū)域上任一點(diǎn)處必有,即：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無(wú)關(guān),這給混合偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算帶來(lái)了方便.,二、高階偏導(dǎo)數(shù),問(wèn)題：,混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？,解,問(wèn)題：,混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？,顯然,Solution.,例5,二、高階偏導(dǎo)數(shù),Proof.,例6,二、高階偏導(dǎo)數(shù),證明,這是因?yàn)檫B續(xù)只保證當(dāng)點(diǎn)(x,y)以任意方式趨于點(diǎn)(x0,y0)時(shí),二元函數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系：,(x0,y0)點(diǎn)時(shí),變化率存在.,但不能保證點(diǎn)(x,y),函數(shù)f(x,y)趨于f(x0,y0).,