數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生和重要意義(畢業(yè)論文).doc

編號(hào)編號(hào) 學(xué)學(xué)士士學(xué)學(xué)位位論論文文 數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生和重要意義數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生和重要意義 學(xué)生姓名 依比熱依木 艾山江 學(xué) 號(hào) 20080102054 系 部 數(shù)學(xué)系 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí) 2008 年級(jí) 2 班 指導(dǎo)教師 杜剛老師 完成日期 年 月 日 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 中文摘要 三次數(shù)學(xué)危機(jī)實(shí)際上是西方數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程矛盾斗爭(zhēng)的結(jié)果 也能看出在西 方社會(huì) 數(shù)學(xué)文化的精神已經(jīng)進(jìn)入到西方社會(huì) 是普通民眾的所具有的精神 一旦數(shù)學(xué)上問(wèn)題與社會(huì)意識(shí)發(fā)生矛盾時(shí) 便會(huì)引起全社會(huì)的爭(zhēng)論 進(jìn)而產(chǎn)生了 危機(jī) 這些危機(jī)的解決是需要對(duì)數(shù)學(xué)的再認(rèn)識(shí) 再理解 在數(shù)學(xué)內(nèi)部用純粹知 識(shí)就可解決 三次危機(jī)一方面促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展 另一方面也展示了西方數(shù)學(xué) 在西方社會(huì)的文化地位 以及對(duì)西方人思維的影響 前者只需要數(shù)學(xué)發(fā)展歷程 可看出 而后者是需要我們進(jìn)一步仔細(xì)思考的內(nèi)容 關(guān)鍵詞 關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)危機(jī) 危機(jī)的發(fā)生 危機(jī)的解決 危機(jī)的重要意義 Mathematics crises and important meaning Abstract Three mathematical crisis in fact is the western mathematics development process of the struggle contradictions result can also see that in western society the spirit of mathematical culture has entered the western society is ordinary people a spirit once the math problem and social consciousness is contradictory will cause the social debate which brings the crisis The crisis is needed to solve the recognition of mathematics and understand in mathematical internal use pure knowledge can be solved Three crisis on one hand promoted mathematics of development on the other hand also shows the western mathematics in western society culture status and the influence of the thinking of westerners The former only need math development can 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 2 be seen and the latter is we need to think carefully about further the content Key words Mathematical crisis Crises The solution of the crisis The significance of the crisis 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 3 目 錄 中文摘要中文摘要 1 ABSTRACT 1 引言引言 2 1 1 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 2 1 1 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生 2 1 2 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決 4 1 3 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響和重要意義 5 2 2 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 7 2 1 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生 7 2 2 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決 10 2 2 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響和重要意義 11 3 3 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 12 3 1 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生 12 3 2 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決 14 3 2 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響和重要意義 16 參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn) 18 致謝致謝 18 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 2 引言 本文詳細(xì)介紹了三次數(shù)學(xué)危機(jī)的來(lái)龍去脈 每一次數(shù)學(xué)危機(jī)用一節(jié)的篇幅 包括危機(jī)的引發(fā) 危機(jī)的解決 在解決過(guò)程中產(chǎn)生的各種數(shù)學(xué)成果以及危機(jī)解 決后產(chǎn)生的深遠(yuǎn)影響 讀者通過(guò)本文可以充分了解危機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展所起到的巨 大作用 又能對(duì)數(shù)學(xué)中歐幾里得幾何 無(wú)理數(shù) 微積分 集合論等的來(lái)龍去脈 獲得更清晰的認(rèn)識(shí) 并理解枝繁葉茂的數(shù)學(xué)大樹(shù)是如何一步一步成長(zhǎng)起來(lái)的 在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中存在許多更為深刻的矛盾 有窮與無(wú)窮 連續(xù)與離散 乃至存在與結(jié)構(gòu) 邏輯與直觀 概念與計(jì)算等等 數(shù)學(xué)的發(fā)展史貫穿著矛盾的 斗爭(zhēng)和解決 而在矛盾激化到涉及整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí) 就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī) 1 第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 1 11 1 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生 第一次危機(jī)發(fā)生在公元前 580 568 年之間的古希臘 那是的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥 拉斯建立了畢達(dá)哥拉斯派 畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家和 哲學(xué)家 由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題 萬(wàn)物皆數(shù) 是該學(xué)派的哲學(xué)基礎(chǔ) 而 一切數(shù)均可標(biāo)成整數(shù)或整數(shù)之比 這是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰 但是人們對(duì)有 理數(shù)的認(rèn)識(shí)還很有限 對(duì)于無(wú)理數(shù)的概念更是一無(wú)所知 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所說(shuō) 的數(shù) 原來(lái)是指整數(shù) 他們不把分?jǐn)?shù)看成一種數(shù) 而僅看作兩個(gè)整數(shù)之比 他 們的錯(cuò)誤的認(rèn)為 宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比 然而 具有戲 劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻稱了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派學(xué)數(shù)學(xué)信 仰的 奠基人 關(guān)于第一次危機(jī)還有一個(gè)十分悲情著名的事件 他有一個(gè)學(xué)生西帕索斯絕頂聰明 畢達(dá)哥拉斯在許多場(chǎng)合都講西帕索斯的 智慧超群 夸獎(jiǎng)他的創(chuàng)新精神 為了摸清勾股數(shù)底子 畢達(dá)哥拉斯把篩選三元 數(shù)組的任務(wù)交給了西帕索斯 在研究過(guò)程中碰到了這樣一個(gè)問(wèn)題 正方形的變 長(zhǎng)為 1 那么 對(duì)角線多少呢 西帕索斯用了很長(zhǎng)的時(shí)間 發(fā)現(xiàn)對(duì)角線的長(zhǎng) 既不是整數(shù) 也不是兩個(gè)整數(shù)之比 于是他向畢達(dá)哥拉斯請(qǐng)教 西帕索斯思想清晰 敢于堅(jiān)持真理的人 他沒(méi)有被權(quán)威嚇到 也沒(méi)有被放 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 3 棄對(duì)的探究 一有機(jī)會(huì)就宣傳這個(gè)無(wú)理數(shù)的存在 對(duì)此畢達(dá)哥拉斯堅(jiān)持不住了 他認(rèn)為西帕索斯反叛于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派 最后把他殘忍的扔進(jìn)海里淹死了 這 就是數(shù)學(xué)史上著名的 第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 然而 他發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)相等的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)并不能整數(shù)或者整數(shù)之比表示 假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 1 并設(shè)其對(duì)角線長(zhǎng)為 以勾股定理應(yīng)有 即d 222 11d 那么 d 是多少呢 顯然不是整數(shù) 那它必是兩整數(shù)之比 西帕索斯 2 2d d 花了很長(zhǎng)時(shí)間來(lái)尋找這兩個(gè)整數(shù)之比 結(jié)果沒(méi)有找著 反而找到了兩數(shù)不可通 約性的證明 用反證法證明如下 設(shè) 兩直角邊為 則由勾股定Rt ABC ab 理有 已設(shè)將中的公約數(shù)約去 即已經(jīng)互素 于是 為偶數(shù) 22 2ca ca和 a cc 為奇數(shù) 不妨令 則有 于是為偶數(shù) 這與前面已證 a2cm 2 2 22ma aa 互素矛盾 c 在這個(gè)模型中 一切事物的存在方式取決于數(shù)量及其幾何形狀 都是由點(diǎn) 或最小的存在單元按照相應(yīng)的各種幾何形象組合而成的 他指出 萬(wàn)物的本 源是一 從一生產(chǎn)出二 二是屬于一的不定的質(zhì)料 一則是原因 從完滿的一 與不定的二中生產(chǎn)出各種數(shù)目 從數(shù)產(chǎn)生出點(diǎn) 從點(diǎn)產(chǎn)生出線 從線產(chǎn)生出面 既然數(shù)學(xué)是萬(wàn)物的基礎(chǔ)和本質(zhì) 那么數(shù)是什么呢 在畢達(dá)哥拉斯看來(lái) 數(shù) 就是整數(shù)或整數(shù)之比 用整數(shù)之比表達(dá)的比稱可公度比 以及相比兩量可用公 共量單位量盡 確切的說(shuō) 無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯關(guān)于信條的破產(chǎn) 并進(jìn)一步導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯以數(shù)為基礎(chǔ)的宇宙模型的破產(chǎn) 從數(shù)學(xué)上講 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都是無(wú)窮多個(gè)的 當(dāng)代數(shù)學(xué)家把無(wú)窮集合中 元素個(gè)數(shù)稱為基數(shù) 若一個(gè)集合元素個(gè)數(shù)和整數(shù)集合的元素個(gè)數(shù)相同則成為可 數(shù)集合 若一個(gè)幾何元素個(gè)數(shù)和全體實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)相同則成為不可數(shù)集 顯然不 可數(shù)無(wú)窮集合的元素個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于可數(shù)無(wú)窮集合的個(gè)數(shù) 但是現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)證 明有理數(shù)集合只是一個(gè)可數(shù)無(wú)窮集 在整個(gè)實(shí)數(shù)集里面有理數(shù)只占了很少的一 部分 而廣大的無(wú)理數(shù)才占據(jù)了大多數(shù)席次 在畢達(dá)哥拉斯的時(shí)代科學(xué)家或者 哲學(xué)家門僅僅 猜到 了無(wú)窮宇宙中的一個(gè)很少的部分并沒(méi)有對(duì)眾多的無(wú)理數(shù) 做合理的解釋 而正是無(wú)理數(shù)的出現(xiàn)導(dǎo)致了危機(jī)的出現(xiàn) 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 4 1 21 2 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決 數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)的解決大約在公元前 370 年 才華橫溢的希臘數(shù)學(xué)家畢 達(dá)哥拉斯的學(xué)生阿契塔和歐多克索斯以及柏拉圖給出兩個(gè)相等的定義從而消除 了這次危機(jī) 他們給出的定義與所涉及的量是否有公度無(wú)關(guān) 其實(shí)這也是自然 的 因?yàn)閮蓚€(gè)線段的比本來(lái)與第三條線段無(wú)關(guān) 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先給出了以單位長(zhǎng)為邊長(zhǎng)的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度本能 用整數(shù)之比來(lái)表示的證明方法 證明過(guò)程如下 假設(shè) 是有理數(shù) 設(shè) 22 q p 1p qp q 是自然數(shù) 且 兩邊平方得 22 21pq 則必是兩倍數(shù) 也是兩倍數(shù) 2 q 2 q 1p q 為奇數(shù)p 2q q 是自然數(shù) 21ppp 是自然數(shù) 將上面兩個(gè)式子代入得 1 22 2 212pq 即 2 2 2 4414ppq 兩邊除以 2 得 2 2 4412ppq 觀察此式可看出等式左邊為奇數(shù) 右邊為偶數(shù) 這樣出現(xiàn)奇數(shù)等于偶數(shù) 引出矛盾 故是無(wú)理數(shù) 目前 證明是無(wú)理數(shù)的方法很多 無(wú)論是用初22 等數(shù)學(xué)知識(shí)還是高等數(shù)學(xué)知識(shí)都可以證明是無(wú)理數(shù) 2 數(shù) 并且可以從不同的角度來(lái)加以證明 例如 從無(wú)理數(shù)被發(fā)現(xiàn)的角度 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 5 從方程的角度 從正整數(shù)標(biāo)準(zhǔn)分解式的角度 從數(shù)的進(jìn)位制角度 從自然數(shù)公 里的角度等等 是無(wú)理數(shù)的種種證明 使我們對(duì)無(wú)理數(shù)有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí) 2 對(duì)數(shù)學(xué)中的美 對(duì)各種豐富的數(shù)學(xué)思想方法有更深刻的感受 這場(chǎng)危機(jī)通過(guò)在幾何學(xué)中引進(jìn)不可通約量概念而得到解決 兩個(gè)幾何線段 如果存在一個(gè)第三線段能同時(shí)量盡它們 就稱這兩個(gè)線段是可通約的 否則稱 為不可通約的 正方形的一邊與對(duì)角線 就不存在能同時(shí)量盡的它們的第三線 段 因此它們是不可通約的 很顯然 只要承認(rèn)不可通約量的存在使幾何量不 再受整數(shù)的限制 所謂數(shù)學(xué)危機(jī)就不復(fù)存在了 不可通約量的研究開(kāi)始于公元 前 4 世紀(jì)的歐多克斯 其成果被歐幾里得所吸收 部分被收入他的 幾何原本 中 1 31 3 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響和重要意義第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響和重要意義 畢達(dá)哥拉斯悖論的出現(xiàn) 對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派產(chǎn)生了沉重的打擊 數(shù)即萬(wàn)物 的世界觀被極大的動(dòng)搖了 有理數(shù)的尊崇地位也受到了挑戰(zhàn) 因此也影響到了 整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 使數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了極度的思維混亂 歷史上成為第一次數(shù)學(xué)危 機(jī) 從第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的歷史論述中可知 哲學(xué) 邏輯和數(shù)學(xué)之間有緊密的聯(lián) 系 正確的哲學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展具有十分重要的指導(dǎo)意義 此外 哲學(xué)與邏 輯也必須不斷總結(jié)數(shù)學(xué)的新成果來(lái)發(fā)展自己 這兩方面的關(guān)系是不能偏廢的 否則就會(huì)使人類的知識(shí)出現(xiàn)不必要的曲折和危機(jī) 數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)的實(shí)質(zhì)主 要在于數(shù)學(xué)家思維囿于錯(cuò)誤的哲學(xué)思想 即主要在于數(shù)學(xué)家的思維被錯(cuò)誤哲學(xué) 思想支配了 本來(lái)就是一個(gè)數(shù) 但它的發(fā)現(xiàn)結(jié)果反而導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的危機(jī) 并2 成了數(shù)即萬(wàn)物 而數(shù) 又只能是整數(shù)或者整數(shù)之比這種錯(cuò)誤哲學(xué)觀點(diǎn)的犧牲 品 二百年后 大約在公元前 370 年 才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的 比理論 他本人著作已失傳 他的成果被呆存在歐幾里德 幾何原本 一書(shū)第 五篇中 歐多克索的巧妙方法可以避免無(wú)理數(shù)這一 邏輯上丑聞 并保留住與 之相關(guān)的一些結(jié)論 從而解決了由無(wú)理數(shù)出現(xiàn)而引起的數(shù)學(xué)危機(jī) 但歐多克索 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 6 的解決方式 是借助幾何方法 通過(guò)避免直接出現(xiàn)無(wú)理數(shù)而實(shí)現(xiàn)的 這就生硬 地把數(shù)和量肢解開(kāi)來(lái) 在這種方案下 對(duì)無(wú)理數(shù)的使用只有在幾何中是允許的 合法的 在代數(shù)中就是非法的 不合邏輯的 或者說(shuō)無(wú)理數(shù)只當(dāng)作是附在幾何 上的單純符號(hào) 而不被當(dāng)作真正的數(shù) 一直到 18 世紀(jì) 當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常 數(shù)如圓周率是無(wú)理數(shù)時(shí) 擁護(hù)無(wú)理數(shù)存在的人才多起來(lái) 到十九世紀(jì)下半葉 現(xiàn)在意義上的實(shí)數(shù)理論建立起來(lái)后 無(wú)理數(shù)本質(zhì)被徹底高清 無(wú)理數(shù)在數(shù)學(xué)園 地中真正扎下了根 無(wú)理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立 一方面使人類對(duì)數(shù)的認(rèn) 識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù) 另一方面也真正徹底 圓滿的解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響巨大的 它極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)及其相關(guān)科學(xué)的發(fā)展 首先 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)讓人們認(rèn)識(shí)到了無(wú)理數(shù)的存在 無(wú)理數(shù)從此誕生了 之 后 許多數(shù)學(xué)家正式研究了無(wú)理數(shù) 給出了無(wú)理數(shù)的嚴(yán)格定義 提出了一個(gè)含 有有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的新的數(shù)類 并建立了完整的實(shí)數(shù)理論 為數(shù)學(xué)分析的發(fā)展 奠定了基礎(chǔ) 再者 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明 直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住 推理證 明才是可靠的 從此希臘人開(kāi)始重視演繹推理 并由此建立了集合公里體系 歐氏幾何就是人們?yōu)榱讼?解除危機(jī) 在這個(gè)時(shí)候應(yīng)運(yùn)而生的 第一次 數(shù)學(xué)危機(jī) 極大地促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展 使幾何學(xué)在此后兩千年間成為幾乎是全 部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 這不能不說(shuō)是數(shù)學(xué)思想史上的一次據(jù)大革命 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 7 2 第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 2 12 1 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生 這次數(shù)學(xué)危機(jī)的萌芽出現(xiàn)在大約公元前 450 年 從歷史或邏輯觀點(diǎn)來(lái)看 這次危機(jī)的發(fā)生帶有必然性 芝諾悖論的提出可能有更深的背景 不一定是專門針對(duì)數(shù)學(xué)的 但是它們 在數(shù)學(xué)王國(guó)中卻激起了一場(chǎng)軒然大波 它們說(shuō)明了希臘人已經(jīng)看到 無(wú)窮小 與 很小很小 的矛盾 但他們無(wú)法解決這些矛盾 其后果是 希臘證明幾何 中從此就排除了無(wú)窮小 經(jīng)過(guò)許多人多年的努力 終于在 17 世紀(jì)晚期 形成了無(wú)窮小演算 微積分 這門科學(xué) 牛頓和萊布尼茲被公認(rèn)為微積分的奠基者 他們的功績(jī)主要在于 把各種有關(guān)問(wèn)題的解法統(tǒng)一成微分法和積分法 有明確的計(jì)算步驟 微分法和 積分法互為逆運(yùn)算 由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性 微積分成為解決問(wèn)題 的重要工具 同時(shí) 關(guān)于微積分基礎(chǔ)的問(wèn)題也是越來(lái)越嚴(yán)重 求速度為例 瞬時(shí)速度是 當(dāng)趨近于零的值 是零 是很少的量 還是v 什么東西 無(wú)窮小量究竟是不是零 無(wú)窮小及其分析是否合理 由此而引起了 數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論 造成第二次動(dòng)搖數(shù)序理論基礎(chǔ)的危 機(jī) 無(wú)窮小量究竟是不是零 兩種答案都會(huì)導(dǎo)致矛盾 牛頓對(duì)它曾作過(guò)三種不 同解釋 1669 年說(shuō)它是一種常量 1671 年又說(shuō)它是一個(gè)趨于零的變量 1676 年又說(shuō)它是 兩個(gè)正在消逝的量的最終比 但是 他始終無(wú)法解決上述矛盾 萊布尼茲試圖用和無(wú)窮小量成比例的有限量的差分來(lái)代替無(wú)窮小量 當(dāng)時(shí)一些數(shù)學(xué)家和其他學(xué)者 也批評(píng)過(guò)微積分的一些問(wèn)題 指出其缺乏必 要的邏輯基礎(chǔ) 在那個(gè)勇于創(chuàng)造時(shí)代的初期 科學(xué)中 邏輯中存在這樣那樣的 問(wèn)題 并不是個(gè)別現(xiàn)象 萊布尼茲在研究級(jí)教時(shí) 也認(rèn)為格拉弟的結(jié)論 1 1 1 1 1 2 是正確的 并解釋說(shuō) 這就像一件東西 今天放在這個(gè)人處 明天放在那 個(gè)人處 于是相當(dāng)一人一生 對(duì)于無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō) 有些運(yùn)算律并非都可以用 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 8 而要看條件 例如 上面 對(duì)上面的級(jí)數(shù) 如果利用結(jié)合律 則有 1 1 1 11 11 10000 利用交換律和結(jié)合律 就有 1 1 1 11 11 11 1 11 11 11 1 1 0003 利用結(jié)合律和分配律 就有 1 1 1 111 11 11 001 由此可見(jiàn) 如果不顧條件的話 盡管是正確的定律的定律也會(huì)導(dǎo)出荒謬的 結(jié)果 18 世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的 直觀的 他強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管 基礎(chǔ)的可靠 其中特別是 沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念 從而導(dǎo)數(shù) 微分 積分等 概念不清楚 無(wú)窮大概念不清楚 所以說(shuō) 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)導(dǎo)源于微積分工具的使用 伴隨著人們科學(xué)理論 與實(shí)踐認(rèn)識(shí)的提高 十七世紀(jì)幾乎在同一時(shí)期 微積分這一銳利無(wú)比的數(shù)學(xué)工 具為牛頓 萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn) 這一工具一問(wèn)世 就顯示出它的非凡能力 但是不管是牛頓 還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都不是嚴(yán)格的 兩人的理 論都建立在無(wú)窮小分析之上 但他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用 卻是混亂的 因而 從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對(duì)與攻擊 其中攻擊 最猛烈的是英國(guó)大主教貝克萊 例如牛頓當(dāng)時(shí)是這樣的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的 n yx 然后用自變 2 12 1 2 nn nnn n n xxxn xxxxx 量的增量除以函數(shù)的增量 得 x y 21 12 1 2 n n nn nn xxx n ny n xxxn xxx xx 最后扔掉其中含有無(wú)窮小量的的項(xiàng) 即得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 x n yx 1n ynx 對(duì)于牛頓對(duì)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過(guò)程的論述 哲學(xué)家貝克萊很快發(fā)現(xiàn)了其中的問(wèn)題 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 9 他一針見(jiàn)血的指出 先用為除以 說(shuō)明不等于零 然后又扔掉含有x y x 的項(xiàng) 則又說(shuō)明等于零 這豈不是自相矛盾嗎 因此貝克萊嘲弄無(wú)窮小x x 是 逝去的量的靈魂 他認(rèn)為微積分是依靠雙重的錯(cuò)誤得到了正確的結(jié)果 說(shuō) 微積分的推到是 分明的詭辯 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)導(dǎo)源于微積分工具的使用 數(shù)學(xué)先驅(qū)們的努力建立起來(lái)了 微積分基礎(chǔ) 然而還有一步最關(guān)鍵的工作有待完成 正如萊布尼茨后來(lái)所說(shuō)的 在這樣的科學(xué)成就后 所缺少的只是引出問(wèn)題的迷宮的一條線 即依照代數(shù) 樣式的解析計(jì)算法 這一步就是 以一般形式建立起新計(jì)算方法的基本概念及 相互聯(lián)系 創(chuàng)立一套一般的符號(hào)體系 建立正規(guī)的程序或算法 而完成這一步 絕非易事 世紀(jì)晚期 兩位科學(xué)巨匠牛頓和萊布尼茨幾乎同時(shí)再這一關(guān)鍵 工作上取得重大進(jìn)展 但是不管是牛頓的流數(shù)論 還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積 分理論 在創(chuàng)立之初都是不嚴(yán)格的 兩人的理論都建立在無(wú)窮小分析之上 但 他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的 因而 從微積分誕 生時(shí)就遭到了一些人的反對(duì)與攻擊 其中攻擊最猛烈的是英國(guó)大主教貝克萊 1734 年 貝克萊以 渺小的哲學(xué)家 之名出版了一本標(biāo)題很長(zhǎng)的書(shū) 分析 學(xué)家 或一篇致一位不信神數(shù)學(xué)家的論文 其中審查一下近代分析學(xué)的對(duì)象 原則及論斷是不是比宗教的神秘 信仰的要點(diǎn)有更清晰的表達(dá) 或更明顯的推 理 在這本書(shū)中 貝克萊對(duì)牛頓的流數(shù)理論進(jìn)行了攻擊 例如他指責(zé)牛頓 為 計(jì)算比如說(shuō)的導(dǎo)數(shù) 先將取一個(gè)不為 0 的增量 由 得到 2 xxx 2 2 xxx 后再被除 得到 最后突然令 求得導(dǎo)數(shù)為 2 2x xx x 2xx 0 x 2x 這是 依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果 瞪著眼睛說(shuō)瞎話 是 分 明的詭辯 因?yàn)闊o(wú)窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒說(shuō)是零 一會(huì)兒又說(shuō)不是零 因此 貝克萊嘲笑無(wú)窮小量是 已死量的幽靈 貝克萊的攻擊雖說(shuō)出自維護(hù)神 學(xué)的目的 但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷 是切中要害的 同時(shí)貝克萊還 指出萊布尼茨的微積分理論中 忽略高階無(wú)窮小消除誤差 的做法所得相互的 結(jié)論 是從錯(cuò)誤的原理出發(fā)通過(guò) 錯(cuò)誤的抵消 獲得的等等 無(wú)窮級(jí)數(shù)到底等于什么 1 1 1 1 1S 當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為一方面 另一方面 1 11 10S 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 10 再有就是 所 11 11 11S 11 1 1 1 11SS 以 那么豈非這一矛盾竟使傅立葉那樣的數(shù)學(xué)家困惑不解 甚 1 2 S 1 01 2 至連被后人稱之為數(shù)學(xué)家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯(cuò)誤 他在得到 后 令 得出 23 1 1 1 n xxxx x 1x 1 1 1 1 1 1 2 s 令 得出2x 1 1248 161 1 2 而這樣的荒謬結(jié)果歐拉居然也接受了 不僅如此 格蘭弟還發(fā)現(xiàn)了更有趣 的結(jié)論 3467 2 1 1 1 xxxxx xx 令 得到 用這種方法還可以得到?jīng)]有定值 1x 1 3 s 1 1 4 5 s 由此一例 即不難看出當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的混亂局面了 消除不諧和音 把 分析重新建立在邏輯基礎(chǔ)之上就成為數(shù)學(xué)家們迫在眉睫的任務(wù) 到十九世紀(jì) 批判 系統(tǒng)化和嚴(yán)密論證的必要時(shí)期降臨了 2 22 2 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決 對(duì)于牛頓對(duì)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)過(guò)程的論述 哲學(xué)家貝克萊很快發(fā)現(xiàn)了其中的問(wèn)題 他一針見(jiàn)血的指出 先用為除數(shù)除以 說(shuō)明不等于零 而后又扔掉含x y x 有的項(xiàng) 則又說(shuō)明等于零 這不就是自相矛盾嗎 因此貝克萊嘲弄無(wú)窮x x 小是 逝去的量的鬼魂 他認(rèn)為微積分是依靠雙重的錯(cuò)誤得到了正確的結(jié)果 說(shuō)微積分的推導(dǎo)是 分明的詭辯 直到 19 世紀(jì) 柯西詳細(xì)而有系統(tǒng)地發(fā)展了極限理論 柯西認(rèn)為把無(wú)窮小量 作為確定的量 即使是零 都說(shuō)不過(guò)去 它會(huì)與極限的定義發(fā)生矛盾 無(wú)窮小 量應(yīng)該是要怎樣小就怎樣小的量 因此本質(zhì)上它是變量 而且是以零為極限的 量 至此柯西澄清了前人的無(wú)窮小的概念 另外創(chuàng)立了 極限理論 加Weistrass 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 11 上實(shí)數(shù)理論 集合論的建立 從而把無(wú)窮小量從形而上學(xué)的束縛中解放出來(lái) 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)基本解決 而我自己的理解是一個(gè)無(wú)窮小量 是不是零要看它 是運(yùn)動(dòng)的還是靜止的 如果是靜止的 我們當(dāng)然認(rèn)為它可以看為零 如果是運(yùn) 動(dòng)的 比如說(shuō) 我們說(shuō) 但個(gè)相乘就為 1 這就不是無(wú)窮小量了 當(dāng)我 1 n n 1 n 們遇到無(wú)窮小量等情況時(shí) 我們可以用洛比達(dá)法則反復(fù)求導(dǎo)來(lái)考查極限 也可 以用展式展開(kāi)后 一階一階的比 我們總會(huì)在有限階比出大小 Taylor 2 22 2 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響和重要意義第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響和重要意義 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn) 迫使數(shù)學(xué)家們不得不認(rèn)真對(duì)待無(wú)窮小量 為了x 克服由此引起思維上的混亂 解決這一危機(jī) 無(wú)數(shù)人投入大量的勞動(dòng) 在初期 經(jīng)過(guò)歐拉 拉格朗日等人的努力 微積分取得了一些進(jìn)展 從 19 世紀(jì)開(kāi)始為徹 底解決微積分的基礎(chǔ)問(wèn)題 柯西 外爾斯特拉斯等人進(jìn)行了微積分理論的嚴(yán)格 化工作 微積分內(nèi)在的根本矛盾 就是怎樣用數(shù)學(xué)的和邏輯的方法來(lái)表現(xiàn)無(wú)窮 小 從而表現(xiàn)與無(wú)窮小緊密相關(guān)的微積分的本質(zhì) 在解決使無(wú)窮小數(shù)學(xué)化的問(wèn) 題上 出現(xiàn)了羅比達(dá)公理 一個(gè)量增加或減少與之相比是無(wú)窮小的另一個(gè)量 則可認(rèn)為它保持不變 而柯西采用的方法刻畫(huà)無(wú)窮小 把無(wú)窮小定義為以 0 為極限的變量 沿用到今 無(wú)窮小被極限代替了 后來(lái)外爾斯特拉斯又把它 明確化 給出了極限的嚴(yán)格定義 建立了極限理論 這樣就使微積分建立在極 限基礎(chǔ)之上了 極限的定義就是用靜態(tài)的刻畫(huà)動(dòng)態(tài)極限 用有限量來(lái) 描述無(wú)限性過(guò)程 它是從有限到無(wú)限的橋梁和路標(biāo) 它表現(xiàn)了有限與無(wú)限的關(guān) 系 使微積分朝科學(xué)化 數(shù)學(xué)化前進(jìn)了一大步 極限理論的建立加速了微積分 的發(fā)展 它不僅在數(shù)學(xué)上 而且在認(rèn)識(shí)論上也有重大的意義 后來(lái)在考查極限 理論的基礎(chǔ)中 經(jīng)過(guò)代德金 康托爾 海涅 外爾斯特拉斯和巴門赫等人的努 力 產(chǎn)生了實(shí)數(shù)理論 在考查實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)時(shí) 康托爾又創(chuàng)立了集合論 這 樣有了極限理論 實(shí)數(shù)理論和集合論三大理論后 微積分才算建立在比較穩(wěn)固 和完美的基礎(chǔ)之上了 從而結(jié)束了二百多年的紛亂爭(zhēng)論局面 進(jìn)而開(kāi)辟了下一 個(gè)世紀(jì)的函數(shù)論的發(fā)展道路 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)由人們對(duì)無(wú)窮量的探索而起 而貝克萊悖論是這一危機(jī)的 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 12 直接導(dǎo)火索 這一危機(jī)的產(chǎn)生 發(fā)展和解決造就了 18 世紀(jì)分析學(xué)的輝煌 18 世紀(jì)因而被稱為 分析時(shí)代 一代代數(shù)學(xué)先驅(qū)為將數(shù)學(xué)分析建立在嚴(yán)格堅(jiān)實(shí)的 基礎(chǔ)之上而不懈奮斗 直到 1889 年 皮亞諾給出了舉世聞名的自然數(shù)公理 建 立起自然數(shù)的皮亞諾公理系統(tǒng) 在自然數(shù)公理的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)明扼要地建立起了自 然數(shù)系 數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)依賴于使數(shù) 實(shí)數(shù)依賴于有理數(shù) 而有理數(shù)最終依賴于 自然數(shù) 一旦對(duì)自然數(shù)的邏輯處理完之后 家里實(shí)數(shù)的基本問(wèn)題也就宣告完備 了 再經(jīng)過(guò)這樣自上而下既有趣又耐人尋味的基礎(chǔ)重建工程后 數(shù)學(xué)分析完全 建立在實(shí)數(shù)理論基礎(chǔ)之上了 于是 隨著分析的算術(shù)化 建立在十?dāng)?shù)理論之上 的微積分理論有了嚴(yán)格的基礎(chǔ) 微積分學(xué)無(wú)論在基本概念 還是邏輯嚴(yán)密性 形式嚴(yán)謹(jǐn)性上 都有如歐幾里得幾何學(xué)一般的令人驚嘆 然而 良日總是苦短 不久后 數(shù)學(xué)家們就只能以向往的心情回顧這段短暫 的數(shù)學(xué)天堂歲月了 新的轉(zhuǎn)折來(lái)自在分析嚴(yán)格化過(guò)程中產(chǎn)生的一個(gè)新的數(shù)學(xué)領(lǐng) 域 集合論 3 第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 3 13 1 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生 十九世紀(jì)下半葉 康托爾創(chuàng)立了著名的集合論 在集合論剛產(chǎn)生時(shí) 曾遭 到許多人的猛烈攻擊 但不久這一開(kāi)創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了 并且 獲得廣泛而高度的贊譽(yù) 數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn) 從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立 起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈 1900 年 國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上 法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興 高采烈地宣稱 借助集合論概念 我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈 今 天 我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了 可是 好景不長(zhǎng) 1903 年 一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出 集合論是有漏洞 的 這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論 羅素構(gòu)造了一個(gè)集合由一切不是自身元素的集合所組成 然后羅素問(wèn) S S 是否屬于呢 根據(jù)排中律 一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合 或者不屬于某個(gè)SS 集合 因此 對(duì)于一個(gè)給定的集合 問(wèn)是否屬于它自己是有意義的 但對(duì)這個(gè) 看似合理的問(wèn)題的回答卻會(huì)陷入兩難境地 如果屬于 根據(jù)的定義 就SSSS 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 13 不屬于 反之 如果不屬于 同樣根據(jù)定義 就屬于 無(wú)論如何都是SSSSS 矛盾的 其實(shí) 在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論 如 1897 年 布拉利和福爾 蒂提出了最大序數(shù)悖論 1899 年 康托爾自己發(fā)現(xiàn)了最大基數(shù)悖論 但是 由 于這兩個(gè)悖論都涉及集合中的許多復(fù)雜理論 所以只是在數(shù)學(xué)界揭起了一點(diǎn)小 漣漪 未能引起大的注意 羅素悖論則不同 它非常淺顯易懂 而且所涉及的 只是集合論中最基本的東西 所以 羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界與邏輯 學(xué)界內(nèi)引起了極大震動(dòng) 如 弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說(shuō) G 一個(gè)科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過(guò)于是在他的工作即將結(jié)束時(shí) 其基 礎(chǔ)崩潰了 羅素先生的一封信正好把我置于這個(gè)境地 戴德金也因此推遲了他 的 什么是數(shù)的本質(zhì)和作用 一文的再版 可以說(shuō) 這一悖論就象在平靜的數(shù) 學(xué)水面上投下了一塊巨石 而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 西班牙的小鎮(zhèn)塞維利亞有一個(gè)理發(fā)師 他有一條很特別的規(guī)定 只給那些不 給自己刮胡子的人刮胡子 但有一天 一個(gè)好事的人跑去問(wèn)這個(gè)理發(fā)師一個(gè)問(wèn)題 著實(shí)讓他很為難 也暴 露了這個(gè)特別規(guī)定的矛盾 那個(gè)人的問(wèn)題是 理發(fā)師先生 您給不給自己刮胡子呢 這讓理發(fā)師不可避免地陷入了兩難境地 如果他給自己刮胡子 他就是自己 刮胡子的人 按照他的規(guī)定 他不能給自己刮胡子 如果他不給自己刮胡子 他就 是不給自己刮胡子的人 按照他的規(guī)定 他就應(yīng)該給自己刮胡子 不管怎樣的推 論 理發(fā)師的做法都是自相矛盾的 這真是令人哭笑不得的結(jié)果 用集合語(yǔ)言將這個(gè)問(wèn)題表述如下 以表示是其自身成員的集合的集合 M 表示不是其自身成員的集合的集合 然后問(wèn)是否為它自身的成員 如果NN 是它自身的成員 則屬于而不屬于 也就是說(shuō)不是它自身的成員 NNMNN 另一方面 如果不是它自身的成員 則屬于而不屬于 也就是說(shuō)NNNM 是它自身的成員 無(wú)論出現(xiàn)哪一種情況都將導(dǎo)出矛盾的結(jié)論 這就是著名的N 羅素悖論 1919 年 羅素又給出了這個(gè)悖論的通俗形式 即前面所提到的理發(fā) 師悖論 十九世紀(jì)下半葉 康托爾創(chuàng)立了著名的集合論 先簡(jiǎn)單的介紹一下康托爾的集合論 康托爾是從研究 函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 14 達(dá)式的唯一性問(wèn)題 的過(guò)程中 先是涉及無(wú)窮點(diǎn)集 隨后一步步地發(fā)展出一般 集合概念 并把集合論發(fā)函稱一門獨(dú)立的學(xué)科 在這個(gè)過(guò)程中 康托爾展示了 他讓世人驚異得想象力和創(chuàng)造力 在發(fā)現(xiàn)了無(wú)窮的存在后 從未有人試圖再把 無(wú)窮加以區(qū)分 然而康托爾的集合論告訴我們 無(wú)窮是分等級(jí)的 譬如 有理 數(shù)集合無(wú)理數(shù)集都是無(wú)窮集合 然而有理數(shù)集是可數(shù)集 無(wú)理數(shù)集是不可數(shù)集 而不可數(shù)集的級(jí)別要高于可數(shù)集 也就是說(shuō) 無(wú)理數(shù)其實(shí)要比有理數(shù)多得多 這顯然是與我們的常識(shí)相違背的 更加不可思議的發(fā)現(xiàn)接踵而至 就像是打開(kāi) 了的潘多拉魔盒 康托爾證明了直線上的點(diǎn)與 維空間中的點(diǎn)存在一一對(duì)應(yīng)關(guān) 系 繼而又發(fā)現(xiàn)了無(wú)窮集可分為無(wú)窮多的層次 并對(duì)各種無(wú)窮大建立了一個(gè)完 整的序列 康托爾全然不顧眾人的瞠目結(jié)舌 又發(fā)揮驚人的想象力從另一角度 創(chuàng)造了一種無(wú)限集的無(wú)窮譜集 康托爾為我們描繪出一幅無(wú)限王國(guó)的完整圖景 在集合論剛產(chǎn)生時(shí) 曾遭到許多人的猛烈攻擊 甚至康托爾的老師 著名 數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克也認(rèn)為康托爾的想法是極其荒謬的 是異想天開(kāi)的 集合論顛 覆了人們 整體大于部分 等等的舊觀念 超限等理論又十分抽象難以理解 且往往與直覺(jué)或常識(shí)相悖 所以不難想象 在當(dāng)時(shí) 康托爾的集合論給了數(shù)學(xué) 家的心靈怎樣的震撼與沖擊 但不久這一開(kāi)創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了 并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù) 康托爾的集合論從本質(zhì)上揭示了無(wú)窮的特性 使 人們對(duì)無(wú)窮的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的層次 集合論給數(shù)學(xué)開(kāi)辟了廣闊的新領(lǐng)域 數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn) 從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈 嚴(yán)格的 分析基礎(chǔ)被歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論 而實(shí)數(shù)理論又需要在自然數(shù)理論和集合論的基礎(chǔ) 上發(fā)展起來(lái) 因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石 一切數(shù)學(xué)成果可建立在集合論 基礎(chǔ)上 這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆?1900 年 國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上 法國(guó)著 名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱 借助集合論概念 我們可以建 造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈 今天 我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了 可是 好景不長(zhǎng) 1903 年 一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出 集合論是有漏洞 的 這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的羅素悖論 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 15 3 23 2 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決 羅素的悖論發(fā)表之后 許多以前被看作消遣性智力游戲的古老悖論進(jìn)入了 數(shù)學(xué)家們的視野 一連串的悖論相繼提出并產(chǎn)生了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)后 眾多數(shù) 學(xué)家開(kāi)始分析悖論產(chǎn)生之因 并尋求消除悖論的解決方案 當(dāng)回顧這段歷史時(shí) 我們不得不說(shuō) 悖論的出現(xiàn) 尤其是引起普遍關(guān)注 實(shí)在是恰逢其時(shí) 設(shè)若早 幾年出現(xiàn)這樣的事情 康托爾的反對(duì)派手中將增添一件極具殺傷力的武器 康 托爾的集合論能否幸存下來(lái)都很難預(yù)料了 好在悖論出現(xiàn)在集合論已經(jīng)贏得了 大量同盟軍的時(shí)刻 在這種情況下 固然會(huì)有反對(duì)派借題發(fā)揮 要求取消集合 論 但是更多卻站在保衛(wèi)集合論的立場(chǎng)上 迅速投入到解決危機(jī)的工作之中 人們希望能夠通過(guò)對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造 通過(guò)對(duì)集合定義加以限制來(lái)排 除悖論 這就需要建立新的原則 這些原則必須足夠狹窄 以保證排除一切矛 盾 另一方面又必須充分廣闊 使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存 下來(lái) 1908 年 策梅羅在自已這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系 他給出了 7 條公理 外延公理 對(duì)于兩個(gè)集合和 若屬于 且屬于 則 STSTTSST 這就是說(shuō) 每一個(gè)集合都是由它的元素所決定的 初等集合公理 存在一個(gè)沒(méi)有元素的集合 并稱它為空集合 對(duì)于對(duì)象 域中的任意元素 存在集合和 ab與 a a b 分離公理 假如對(duì)集合 命題函數(shù)p x 是確定的 那么就存在集合S T 它恰好只包含那些使得為真 xS p x 冪集合公理 如果S是一集合 則的冪集合仍然是一個(gè)集合 換言之 S 一集合的子集合仍然組成一集合 并集合公理 如果是一集合 則S的并仍然是一集合 S 選擇公理 如果是不空集合的不交集合 那么存在的并的一子集合T它SS 與S的每一元素都恰好有一個(gè)公共元素 無(wú)窮公理 存在一集合 它含有空集合 并且對(duì)于任一對(duì)象 若 ZaaZ 則 策梅羅設(shè)計(jì)這一公理 是為了保證一個(gè)無(wú)限集是可以構(gòu)造的 aZ 在策梅羅的這種處理下 集合論變成一個(gè)完全抽象的公理化理論 在這樣一 學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS 16 個(gè)公理化的理論中 集合這個(gè)概念不加定義 它是滿足上述 7 條公理的條件的 對(duì)象 后來(lái)經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn) 稱為系統(tǒng) 這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上ZF 彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷 除系統(tǒng)外 集合論的公理系統(tǒng)還有多種 ZF 如諾伊曼等人提出的系統(tǒng)等 公理化集合系統(tǒng)的建立 成功排除了集合論NBG 中出現(xiàn)的悖論 從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 但在另一方面 羅素 悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響 它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題第一次以最迫切的 需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前 導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究 而這方面的進(jìn) 一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué) 3 23 2 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響和重要意義第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響和重要意義 從 20 世紀(jì)初到 30 年代 圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭(zhēng) 形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名 的三大數(shù)學(xué)流派 邏輯主義 直覺(jué)主義和形式主義 這三大學(xué)派的爭(zhēng)論 成為 數(shù)理邏輯發(fā)展的巨大推動(dòng)力 邏輯主義的代表人物羅素 在于懷特海合作完成 的 數(shù)學(xué)原理 中 建立了一個(gè)完整的命題演算和謂詞演算系統(tǒng) 由于弗雷格 羅素等邏輯主義者的努力 形式邏輯從傳統(tǒng)路基到數(shù)理邏輯的發(fā)展基本實(shí)現(xiàn)了 而邏輯主義 代表另一個(gè)第一流的學(xué)術(shù)運(yùn)動(dòng) 是對(duì)于人類思想的力量和美妙的 巨大貢獻(xiàn) 直覺(jué)主義否定了排中律 發(fā)展了自己的邏輯系統(tǒng) 形式主義者對(duì)數(shù) 理邏輯的發(fā)展起了更為洪要的作用 譬如形式主義的杰出人物希爾伯特 歌德 爾等 他們的努力使數(shù)理邏輯走上了全新的道路 1930 年后 數(shù)理邏輯進(jìn)入一 個(gè)大發(fā)展的新階段 作為者們數(shù)學(xué)分支成熟與蓬勃發(fā)展的標(biāo)志 數(shù)理邏輯本身 又劃分出證明輪 遞歸論 模型論 公理集合論等多個(gè)數(shù)學(xué)分支 然而 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決也留給數(shù)學(xué)家們一些令人困惑的問(wèn)題 例如 在消除悖論時(shí)用到了重要的選擇公理 然而用選擇公理也可以證明出一些荒唐 的結(jié)論 且每一種選擇都會(huì)導(dǎo)致以資額無(wú)法控制的后果 這種選擇困難使數(shù)學(xué) 家在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中陷入了新的困境 問(wèn)題還在于無(wú)論如何選擇都意味